2010迎春杯六年级数学竞赛试题及详解

2010年数学解题能力展示初赛详解

（六年级）

姓名______ 分数_______ 一、填空题

1、 11?1?22?2?44?4?2010计算结果的数字和是______； ?????????100个150个225个4答案：303

考点：多位数的计算

详解：要求100位数的数字和，需要搞清楚每位上的数字，重点看有没有进位。 原式?11?133?377?7?2010?11?133?377?79787， ??????????????????50个125个225个450个125个221个4 数字和为1?50?3?25?7?21??9?7?8?7?303；

评注：常见的求数字和的题目要把结果具体求出来，也往往利用a?99其中a?99?9?a00?0?a，?9，?????????n个9n个0n个9数字和为9n；

2、 小明带着一些钱去买签字笔，到商店后发现这种笔降价了12.5%，如果他带的钱恰好可以比原来多买

13支，那么降价前这些钱可以买______支签字笔； 答案：91

考点：百分数问题

解法一：设每支签字笔原价100元，原来买x支，则

100x?100??1?12.5%???x?13?12.5x?87.5?13x?91解法二：设每支签字笔原价100元，每支降价后减少12.5元，现价为87.5元，由于12.5?7?87.5，即原来买7支的钱，现在可以多买1支。现在多买13支，故原来可以买13?7?91支。 评注：本题也可以看作和差倍中的不变量（和）问题，数量与单价成反比。

a b c

3、 满足图中算式的三位数abc最小值是______；

答案：102

考点：数字谜问题

详解：为了使得abc最小，那么a?1，由于三个积的十位数字为0、1、0，那么b?0，个位上可以进位、不进位都必须出现，那么c?2，所以abc?102；

1 0 2

评注：这是有极值要求的残缺数字谜问题，如果没有abc最小的限制，那么方法很多，即使在abc最小时，也有很多填法。本题可以改编成计数与数字谜的综合试题，其它条件不变，“在abc最小时，共有______种不同填法；”，答案：20；

? 2 5 2

2 0 4 5 1 0 2 0 4

0

? 1 0

2

2 5 7 0 4

4、 三个半径为100厘米且圆心角为600的扇形如图摆放；那么，这个封闭图形的周长是

______厘米；（?取3.14）

答案：314

考点：扇形、周长问题

详解：三个扇形的弧长相当于半径100厘米，圆心角为1800的扇形的弧长，2?3.14?180?314厘米； 3605、 用0~9这10个数字组成若干个合数，每个数字都恰好用依次，那么这些合数之和的最小值是______；

答案：99

考点：质数、合数问题

详解：要使合数的和最小，当然都是一位数最小，可是0、1、2、3、5、7不是合数，处理的办法是两个组成合数，且十位上数字尽可能小，为1□、2□、3□，具体的合数是15、27、35，这样六个合数的和为4?6?8?9?10?27?35?99；

评注：原来我们所做的练习中，“用0~9这些数字各一次，组成一些质数，这些质数和最小为______；”答案：2?3?5?67?89?401?567；

6、 梯形的上底为5，下底为10，两腰分别为3和4，那么梯形的面积为______；

答案：18

考点：梯形面积

详解：如图，过A作AE∥BC交DC于E，作AF⊥DC于F，那么四边形ABCE是平行四边形，AE?BC?4，DE?10?5?5，又知AD?3，根据勾股定理得到△ADE

为直角三角形，AF?3?4?5?2.4，S梯形ABCE?(5?10)?2.4?2?18；

A B 评注：要求梯形的面积，现在知道了上底和下底，那么只需得到高，如何求

D C F E 出高，是本题的关键，通过添加辅助线，转化成平行四边形和一个直角三角

形问题。

7、 有5个不同的正整数，它们中任意两数的乘积都是12的倍数，那么这5个数之和的最小值是______；

答案：62

考点：约数与倍数

详解：为了5个数的和最小，那么12?1?12?2?6?3?4。

（1）若为1、12、□、□、□，那么后面的三个数必须是12的倍数，最小为24、36、48，和为121； （2）若为2、6、□、□、□，那么后面的三个数必须是6的倍数，最小为12、18、24，和为62； （3）若为3、4、□、□、□，那么后面的三个数必须是12的倍数，最小为12、24、36，和为79； 综上所述，得到的最小值为62。

8、 一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如图的立体图形，已知大、

中、小三个正方体的棱长分别为5厘米、2厘米、1厘米。那么，这个立体图形的表面积是______平方厘米； 答案：230

考点：立体图形的表面积

详解：采用“压缩”的方法，把上面都压到大正方体的上面，总表面积?大正方形的表面积?中正方体的侧面积?小正方体的侧面积?5?5?6?2?2?4?4?1?1?4?4?230平方厘米。

评注：表面积不计算两个物体的重叠面积，如何去掉重叠的面积，经常转化为标

B 准物体的表面积。 9、 九个大小相等的小正方形拼成了右图，现从A点走到B店，每次只能沿着

小正方形的对角线从一个顶点到另一个顶点，不允许走重复路线（如图的虚

线就是一种走法），那么从A点走到B点共有_____种不同的走法；

答案：9

考点：计数问题 A 详解：路线相当于右图中从A到B的不同路线（不走重复路线），从A到C、D到B方法都唯一，从C出发有3种方向，从D出发也有3种方向（不一

A B C D

定是最短路线），根据乘法原理，共有3?3?9种不同走法。 10、 学校打算在1月4日或1月10日组织同学们看电影，确定好日期后，老师告诉了班长，但是由于“四”

和“十”发音接近，班长有10%的可能性听错（把4听成10或者把10听成4），班长又把日期告诉了小明，小明也有10%的可能性听错。那么小明认为看电影的日期是正确的可能性为_____%；（82） 答案：82

考点：概率问题

详解：小明认为正确的情况有两种：（1）班长正确、小明正确，共（1?10%）?（1?10%）?81%；（2）两人都错误，10%?10%?1%。共81%?1%?82%。 评注：本题最容易的错误答案是81%。 11、 如图，C、D为AB的三等分点。8点整时甲从A出发匀速向B行走，8点12分乙从B出发匀速向A行

走，再过几分钟丙从B出发匀速向A行走；甲、乙在C点相遇时丙恰好走到D点，甲、丙8:30相遇时乙恰好到A。那么，丙出发时是____点_____分；

A C D B 答案：8:16

考点：行程问题

A C D B 详解：（1）如图可以看出，乙从B到A共用了18分，每段6分，甲、

6分 6分 6分 8:30 乙 乙相遇时刻为8:24，那么甲从A到C用24分，V甲:V乙?6:24?1:4；

8:24 8:12 E （2）甲、丙在C、D相向而行，共用6分钟，此时乙也走了相同的路甲 8:00 24分 丙 程CA，所以V甲:V丙?1:3； （3）丙走BD用6?3?4?8分，从B出发的时刻为8:16。

评注：对于复杂的同一线段的问题，可以把相同的点，转化成相同的线分析，使得问

a b 题更加清晰。

12、 图中是一个边长为1的正六边形，它被分成六个小三角形，将4、6、8、10、12、A B 14、16各一个填入7个圆圈之中，相邻的两个小正三角形可以组成6个菱形，把每个f F C c E D 菱形的四个顶点上的数相加，填在菱形的中心A、B、C、D、E、F位置上（例如：

d e a?b?g?f?A）已知A、B、C、D、E、F依次分布能被2、3、4、5、6、7整除，那么

a?g?d?______；（320,4,12,6,10,16,14） 答案：320

考点：数阵图问题

10 4 12 详解：先考虑菱形顶点的和为3、6的倍数，7个数被3除的

3 A B 余数分别为1、0、2、1、0、2、1，可以得到中间数g?8或

2 0 2 14 F 8 C 6 14，同样分析5的倍数，7的倍数，得到具体的填法（如图），

E D 6 a?g?d?4?8?10?320； 1 10 1 16 评注：采用余数分析法，找到关键数的填法。

8:30 8:24

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