10.4教案(四个课时)

二项式定理教案（一）

高二数学 田茂成

教学目标：

（1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广

（2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理 教学重点、难点

重点：用计数原理分析(a?b)3的展开式得到二项式定理。

难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。 教学过程

（一）提出问题：

引入：二项式定理研究的是(a?b)n的展开式。如(a?b)2?a2?2ab?b2，(a?b)3=? (a?b)4=? (a?b)100=? 更进一步：(a?b)n=？

（二）对(a?b)2展开式的分析

(a?b)2?(a?b)(a?b) 展开后其项的形式为：a2,ab,b2

考虑b，每个都不取b的情况有1种，即c002 ,则a2前的系数为c2 恰有1个取b的情况有c1ab前的系数为c12种，则2 恰有2个取b的情况有c2222 种，则b前的系数为c2 所以 (a?b)2?a2?2ab?b2?c02222a?c12ab?c2b

类似地 (a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3?c03a3?c12b?c22333a3ab?c3b 思考：(a?b)4?(a?b)(a?b)(a?b)(a?b)=? 问题：

1)．(a?b)4展开后各项形式分别是什么？a4 a3b a2b2 2)．各项前的系数代表着什么？

各项前的系数 就是在4个括号中选几个取b的方法种数 3)．你能分析说明各项前的系数吗？

每个都不取b的情况有1种，即c04前的系数为c04,则a4 恰有1个取b的情况有c1314种，则ab前的系数为c4

恰有2个取b的情况有c2b2前的系数为c24 种，则a24 恰有3个取b的情况有c334 种，则ab3前的系数为c4

那么：

ab3 b4 44恰有4个取b的情况有c4种，则b4前的系数为c4 0432223344则 (a?b)4?c4a?c14ab?c4ab?c4ab?c4b

推广：得二项展开式定理： 一般地，对于n?N*有

0nn?12n?223n?33rn?rrn?1nn(a?b)n?cna?c1b?cnab?cnab?......?cnab?......cnabn?1?cnb na右边的多项式叫做(a?b)n的二项展开式

rn?rrcnab：二项展开式的通项，记作Tr?1 02rncn,c1n,cn,......,cn,......,cn： 二项式系数

注1）．二项展开式共有n?1项，每项前都有二项式系数 2）．各项中a的指数从n起依次减小1，到0为此

各项中b的指数从0起依次增加1，到n为此

22rrn?1n?1?xn 如(1?x)n?1?c1nx?cnx?...?cnx?...?cnx板书设计

二项式定理 (a?b)2?a2?2ab?b2 例题 (a?b)3=? (a?b)4=? (a?b)100=? 0nn?12n?223n?33rn?rrn?1nn(a?b)n?cna?c1b?cnab?cnab?......?cnab?......cnabn?1?cnb na练习 注意：1， 作业 2， 总结

二项式定理(二)

教学目的：

1．进一步熟悉二项式定理及二项展开式的通项公式，并能灵活的应用；

r2.展开式中的第r?1项的二项式系数Cn与第r?1项的系数是不同的概念。

教学重点：二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用。 教学难点：二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用。 教学过程： 一、复习巩固

1．二项式定理及其特例：

0n1nrn?rrnna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N?)， （1）(a?b)n?Cn1rrx???Cnx???xn. （2）(1?x)n?1?Cnrn?rrab 2．二项展开式的通项公式：Tr?1?Cn二、知识运用 【例1】

（1）求(1?2x)7的展开式的第四项的系数；

（2）求(x?)9的展开式中x3的系数及二项式系数 1x3(2x)3?280x3， 解：(1?2x)7的展开式的第四项是T3?1?C7∴(1?2x)7的展开式的第四项的系数是280．

r9?rx(?)r?(?1)rC9rx9?2r， （2）∵(x?)9的展开式的通项是Tr?1?C91x∴9?2r?3，r?3，

1x33??84，x3的二项式系数C9?84． ∴x3的系数(?1)3C9【例2】

求(x2?3x?4)4的展开式中x的系数 分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理

展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开 解：（法一）(x2?3x?4)4?[(x2?3x)?4]4

02122324?C4(x?3x)4?C4(x?3x)3?4?C4(x2?3x)2?42?C4(x?3x)?43?C4?44，

显然，上式中只有第四项中含x的项，

3∴展开式中含x的项的系数是?C4?3?43??768

（法二）：(x2?3x?4)4?[(x?1)(x?4)]4?(x?1)4(x?4)4

0413223404132234?(C4x?C4x?C4x?C4x?C4)(C4x?C4x?4?C4x?42?C4x?43?C4?44)

3433∴展开式中含x的项的系数是?C44?C44??768．

【例3】

已知f(x)??1?2x???1?4x? (m,n?N*)的展开式中含x项的系数为36，求展

mn开式中含x2项的系数最小值 分析：展开式中含x2项的系数是关于m,n的关系式，由展开式中含x项的系数为36，可得

2m?4n?36，从而转化为关于m或n的二次函数求解 解：?1?2x???1?4x?展开式中含x的项为

mn1111Cm?2x?Cn?4x?(2Cm?4Cn)x

11?4Cn)?36，即m?2n?18， ∴(2Cm?1?2x?m??1?4x?n展开式中含x2的项的系数为

2222t?Cm2?Cn4?2m2?2m?8n2?8n，

∵m?2n?18， ∴m?18?2n，

∴t?2(18?2n)2?2(18?2n)?8n2?8n?16n2?148n?612

?16(n2?3715337n?)，∴当n?时，t取最小值，但n?N*， 448∴ n?5时，t即x2项的系数最小，最小值为272，此时n?5,m?8． 【例4】

已知(x?124x)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，

（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项 12??1?Cn?()2，即n2?9n?8?0，∴n?8(n?1舍去） 解：由题意：2Cn1212 ∴Tr?1?Cr8?x?8?r16?3rrrr??0?r?8?1rr8?rC824?(?4)?(?)?C8x?x???1?r?x4?? 22r?Z2x??1r①若Tr?1是常数项，则

16?3r?0，即16?3r?0， 416?3r为整数， 4351?2x，T9?x 8256∵r?Z，这不可能，∴展开式中没有常数项； ②若Tr?1是有理项，当且仅当

∴0?r?8,r?Z，∴ r?0,4,8，

即 展开式中有三项有理项，分别是：T1?x4，T5?三、课堂练习 1．(x?26)展开式中常数项是（ ） x44A.第4项 B.24C6 C.C6 D.2

2．(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是（ ） A.-2048 B.-1023 C.-1024 D.1024 3．(1?2)7展开式中有理项的项数是（ ） A.4 B.5 C.6 D.7

4．设(2x-3)4=a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4，则a0+a1+a2+a3的值为（ ） A.1 B.16 C.-15 D.15

5．(x3?)11展开式中的中间两项为（ ）

5125126951051359517513x,C11x B.C11x,?C11x C. ?C11A.?C11x,C11x D.C11x,?C11x

1x6．在(2x?y)7展开式中，x5y2的系数是 13122nn7．C0n?3Cn?3Cn???3Cn? 8. (35?120)的展开式中的有理项是展开式的第 项 59．(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是 10．(1?3x?3x2?x3)10展开式中系数最大的项是 答案：

36?r32r44r2，选（B）1．通项Tr?1?Cx()?C6x22r，由6?r?0?r?4，常数项是T5?C6

2xr66?r2．设f(x)=(x-1)11, 偶次项系数之和是

r2f(1)?f(?1)?(?2)11/2??1024，选C 2rr(2)r?C72，当r=0，2，4，6时，均为有理项，故有理项的项数为4个，3．通项Tr?1?C7选（A）

4.C 5.C 6.

224; 7.4n; 8.3,9,15,21 39．(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为35 1510．(1+3x+3x2+x3)10=(1+x)30中的系数就是二项式系数，系数最大的项是T16=C1530x.

四、小结 ：1．三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性；

2．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二项式定理(三)

教学目的：

1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； 2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题；

3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力 教学重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用。 教学难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用。 教学过程： 一、复习巩固

1． 二项式定理及其特例：

0n1nrn?rrnna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N?)， （1）(a?b)n?Cn

1rrx???Cnx???xn. （2）(1?x)n?1?Cnrn?rrab 。 2． 二项展开式的通项公式：Tr?1?Cn3． 求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注

意到指数及项数的整数性。 4． 二项式系数表（杨辉三角）

当n依次取1,2,3?时，(a?b)n展开式的二项式系数，

表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩

5． 二项式系数的性质：

012，Cn，Cn，?，(a?b)n展开式的二项式系数是Cn二项式系数表，上两个数的和。

nrCn．Cn可以看

成以r为自变量的函数f(r)

定义域是{0,1,2,?,n}，例当n?6时，其图象是7个孤立的（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相

mn?m?Cn（∵Cn）．

点（如图）

等

直线r?n是图象的对称轴． 2n(n?1)(n?2)?(n?k?1)k?1n?k?1?Cn?，

k!kn?k?1n?k?1n?1kk?1?1?k?∴Cn相对于Cn的增减情况由决定，，

kk2n?1当k?时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得

2k?（2）增减性与最大值．∵Cn最大值；

当n是偶数时，中间一项C（3）各二项式系数和：

1rr∵(1?x)n?1?Cnx???Cnx???xn，

n2n取得最大值；当

n是奇数时，中间两项Cn?12n，

Cn?12n取得最大值．

012rn?Cn?Cn???Cn???Cn令x?1，则2n?Cn 二、知识运用 【例1】

在(a?b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。

0n1nrn?rrnna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N?)中，令a?1,b??1，证明：在展开式(a?b)n?Cn0123n?Cn?Cn?Cn???(?1)nCn则(1?1)n?Cn，

02130213?Cn??)?(Cn?Cn??)，∴Cn?Cn???Cn?Cn??， 即0?(Cn即在(a?b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

0213?Cn???Cn?Cn???2n?1. 说明：由性质（3）及例1知Cn【例2】

已知(1?2x)7?a0?a1x?a2x2???a7x7，求：

（1）a1?a2???a7；（2）a1?a3?a5?a7；（3）|a0|?|a1|???|a7|. 解：（1）当x?1时，(1?2x)7?(1?2)7??1，展开式右边为

a0?a1?a2???a7

∴a0?a1?a2???a7??1，

当x?0时，a0?1，∴a1?a2???a7??1?1??2，

（2）令x?1， a0?a1?a2???a7??1 ① 令x??1，a0?a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7?37 ②

1?37①?② 得：2(a1?a3?a5?a7)??1?3，∴ a1?a3?a5?a7??.

27（3）由展开式知：a1,a3,a5,a7均为负，a0,a2,a4,a8均为正， ∴由（2）中①+② 得：2(a0?a2?a4?a6)??1?37，

?1?37∴ a0?a2?a4?a6?，

2∴|a0|?|a1|???|a7|?a0?a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7

?(a0?a2?a4?a6)?(a1?a3?a5?a7)?37 【例3】 求(1+x)+(1+x)2+?+(1+x)10展开式中x3的系数 (1?x)[1?(1?x)10]（1?x）?解：(1?x)?(1?x)??

1?(1?x)210(x?1)11?(x?1)=，

x7∴原式中x3实为这分子中的x4，则所求系数为C11 【例4】 在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数 解：∵(x2?3x?2)5?(x?1)5(x?2)5

∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为C15?5x，

4在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为C152x?80x

∴展开式中含x的项为 1?(80x)?5x(32)?240x， ∴此展开式中x的系数为240 【例5】

已知(x?2n)的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展2x开式的常数项。

24解：依题意C4C2n:Cn?14:3?3Cn?14n

∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!?n=10。 设第r+1项为常数项，又 Tr?1?C(x)令

r1010?r10?5r2rrr(?2)?(?2)C10x2 x10?5r?0?r?2， 22?T2?1?C10(?2)2?180.此所求常数项为180。

三、课堂练习

（1）?2x?5y?的展开式中二项式系数的和为 ，各项系数的和为 ，二项式

20系数最大的项为第 项；

（2）(x?)n的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 ．

012n123n?729，则Cn（3）Cn+2Cn+4Cn+??2nCn?Cn?Cn???Cn?（ ）

1xA．63 B.64

C.31 D.32

（4）已知：(2?3x)50?a0?a1x?a2x2???a50x50，

求：(a0?a2???a50)2?(a1?a3???a49)2的值。 答案：（1）220，320，11；

（2）?展开式中只有第六项的二项式系数最大，

3(x)7()3?120x； ∴ n?10， T4?C101x（3）A． 四、课堂小结

rn?r?Cn1．性质1是组合数公式Cn的再现，性质2是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，

性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和；

2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法。

二项式定理（四）

1. 二项式定理的几种形式

?a?b??Ca?Can0nn1nn?1b?Cnan?12n?2b???Cnb22nn?222nn?a?b??Ca?(?1)Cab???1?Cab?????1?Cb?1?x??1?Cx?Cx????Cx

n0nn1nnnnn1n2n2nnnnn?rr通项：二项式展开式中第r+1项为: Tr?1?Crab（r=0,1, 2??,n) n2. 两个特别容易混淆的概念：

（1）二项式系数：Cin ( i=0,1, 2??,n)叫做二项式系数.

（2）展开式中项的系数：展开式中某一项的系数。

3. 递推二项式定理的过程，即某一项的形成过程.

例如：Crnan?rbr的形成过程：从n个括号中取r个括号中的b，另外n-r个括号中取a，

rrn?rn?r故得. CnbCn?ra?Cnarn?rb

r二、知识运用（除常规的展开外） 1. 递推过程的应用：

例1.在(x+y+z)9中，求展开式中x4y3z2的系数.

解：由x4y3z2的形成过程可知，在9个括号中取4个括号中的x，剩下5个括号中取3个括号取y，再剩下的两个括号中取z，故得x4y3z2系数为 C9C5C2=1260.

例2.在(1+x)(2+x)(3+x)????(19+x)(20+x)的展开式中,求x18的系数. 解：在20个括号中取出18个括号取x，另外剩下两个括号取常数，由于各个常数不相等，故不能简单地用“组合数”计算，而应按实际数值计算。即在1，2，3??，20中任取两个数求积（所取两数不能重复组合），再求出这些积的和. 如以“1”为准时，其积的和为： 1?2+1?3+1?4+1?5????1?19+1?20=209； 以“2”为准时，其积的和为： 2?3+2?4+2?5????2?19+2?20=414； ??

以此类推，最后为19?20=380，故x18的系数为这些和的和，即20615.

例3.求(1+2x)(1+22x)(1+23x)?(1+2nx)展开式中x项的系数与x2项的系数。 x项的系数是2n?14324n?1?8n?2?2，与x项的系数是?2。

32

2. 求特定的项或特定项的系数：

例1.求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5展开式中x2项的系数.

解：（方法一）可逐项分析：(x-1)中没有x2项，-(x-1)2中x2项的系数为?C2，(x-1)3

10中x2项的系数为?C3，-(x-1)4中x2项的系数为?C4，(x-1)5中x2项的系数为?C5，于是，展开式中x2项的系数为：

23?C2?C3?C4?C5=-20.

0123 （方法二）原式可以看成是一个首项为(x-1)，公比为（1-x)的等比数列之和，

?x?1?1??1?x?5?x?1???1?x?6 于是，原式==

1??1?x?x

∴展开式中x2的系数即为(x-1)6的展开式中x3的系数， ∴系数为

????1?C=-20.

336 例2.求(1+x)6(1-x)4的展开式中x3的系数.

解：由乘法法则可知，展开式中x3的项分别由(1+x)6中的项x0, x, x2, x3与(1-x)4中的x3, x2，x, x0项对应相乘合并而成，

故得展开式中x3的系数为?C6C4?C6C4?C6C4?C6C4 =-8.

例3.求（1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数.

510523

解：同上例，可知展开式中x的项是由(1+x)中的x项, x项分别与1-x相乘合并而成，故得x5的系数为C10?C10=207.

9?中x3的系数是9，求a的值. 例4.已知?ax???4?x2???0312213052

?x?r3rrrr?a?r?9?r?9解：??2???????1?1C9????C92ax2 Tr?1?x??2?令3r?9?3得r = 8

29?rr

故T9?16??1?C2889?4ax3?93ax 16∴9a?9 ∴a=4

43. 有关整除或求余数：

例1.求2100除以9的余数. 解:2?964100?3?1?9797100?C1003?C1003?C1003???

982991000100199298?C1003?C1003?C1003_C1003?C100 =(3???C1003)?C1009?C1003?1 =(3???C10027)+9?4950-300+1 ∵(3???C10027)能被9整除，

1009710097100398993故余数由9?4950-300+1确定，而9?4950-300+1=44251=4916?9+7 故余数为7

例2.设n∈N n≠1求证33n-26n-1能被676整除 证明: 33n-26n-1=27 n-26n-1=(26+1)n -26n –1

n?12n?2n?22n?1n=26n?C1-26n-1 ?????26?26C26C26CCnnnnn=26(26=676(26而(262n?2?Cn26???Cn)

1n?3n?21n?3n?2n?2?Cn26???Cn)

1n?3n?2n?2?Cn26???Cn)为整数

故33 n-26n-1能被676整除. 4. 求有理项或求最大项系数；

例1.求?1?展开式中项系数最大的项及展开式中的有理项.

?x?3x?2??1010

解：Tr?1?Cr?x??(r?1)?(r?1)10?r?13??1?x?Cxx2?2?r10r10?r2rr3 =

C2x10r?r30?r6

（1）设第r+1项系数最大，则

C210rr?r≥C10≥C10r?122

C210?rr?1811解第一个不等式得r≥解第二个不等式得r≤，因为r为正整数，故r=3.

33∴项系数最大的项是第4项，这一项为：T4?15x4x. （2）要使展开式为有理项，须∵0≤r≤10 故r=0或r=6

即第一项和第七项为有理项，它们分别是：T1=x5, T7=

30?r为整数 61054

x. 32例2.当（1+x+Px2)4的展开式中x4的系数取到最小值时，求P的值. 解：（1+x+Px2）4=[1+(x+Px2)4

Tr?1?C4r?x?Px?2r?CCx?Pxrkrr?k40312k??CCPx4r2rkkr?k

令r+k=4 ∵0≤r≤4, 0≤k≤r

则r, k的值可能是(4,0), (3,1), (2,2)

故展开式中的系数为C4C4?C4C3P?C4C2P=1+12P+6P2

422 当x4的系数取到最小值时P= -1（此时最小值是-5） 5. 证明有关组合数的等式：

例1.求证：Cn?2Cn?3Cn????nCn?n?2证明：（方法一） ∵kCn?kk123nn?1

n!n! ?k!(n?k)!(k?1)!(n?k)!

=

n(n?1)!k?1?nCn?1 (k=1, 2??,n)

(k?1)![(n?1)?(k?1)]!012n?1故：左边=nCn?1?nCn?1?nCn?1???nCn?1=n?右边=n

2n?1=右边

（方法二）

?C?C???C?=nC01n?1n?1nn0?nCn?1???nCn?1 n?1(n?1)(n?2)?3?2?11n?1=n?1+n? (n-1)+n?(n?1)(n?2)???n?(n?1)(n?2)?3?2?1

1?2=Cn?2Cn?3Cn???(n?1)Cn?nCn=左边 （方法三） 令

123n?1nsn?Cn?2Cn?3Cn???(n?1)Cn?nCn ①

n?1n?2n?31n123n?1n则sn?Cn?2Cn?3Cn???(n?1)Cn?nCn ② 两式相加①+②得

2n?nCn?[1?(n?1)]Cn?[2?(n?2)]Cn???[(n?1)?1]Cn+nCn

n12n?1sn=nCn?nCn?nCn???nCn?nCn?n?2 故

012n?1nnsn?n?2

1?<3 n∈N, n≥2

?1???n?nnn?1例2.求证2

证明：?1?1???n??=1+1+

121n1????=1+CnCnn nCnn2n1n

C?2n1n2???Cn1nn＞2.

C＜

in1nin!n(n?1)(n?2)?(n?i?1) ?i1?2?3??i?n?n?ni!(n?i)!n

111＜ =i?1 (i=2??n)

1?2?3?i1?2?2?22n

?1?1?=1+C11?C21???Cn1＜1+1+1?1???1

nn2nn2n?1??n2nnn22??=2+1-

12n ＜3.

∴2

n???n?

例3.求证：Cn?011121n1n?1=?????1.

2Cn3Cnn?1Cnn?12??证明:

1101n?112n?1右边=(Cn?1?Cn?1???Cn?1?1)=(Cn?1?Cn?1???Cn?1)

n?1n?1

n11(n?1)!i?1?=? Cn?1?i?0n?1i?0n?1(i?1)!(n?1?i?1)!nn1n!1i?=??Cn i?1i!(n?i)!i?1i?0i?0n

=

C0n?11121n????=左边 2Cn3Cnn?1Cn6. 有关数列的计算；

例1.已知（2x+3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4, 求(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值. 解：令x=1得a0+a1+a2+a3+a4=(2+3)4 令x= -1得a0-a1+a2-a3+a4=(2-3)4

∴(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2= (a0+a1+a2+a3+a4) (a0-a1+a2-a3+a4) = (2+3)4(2-3)4=1

例2.若(1-3x)8= a0+a1x????a8x8 , 求|a0|+|a1|+|a2|????|a8|的值

解：由已知a1,a3,a5,a7得均小于0而a0,a2,a4,a6,a8均大于0 ∴|a0|+|a1|+|a2|????|a8|=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8 故可令x=-1即得 |a0|+|a1|+|a2|????|a8|=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8=48

例3.求1?2Cn?4Cn?8Cn???解:倒用二项式定理可得:

231-2C1?4?8???CCnnn12=C0?(?2)?CnnCn123??2?C的值

nnn??2?C

nnnn??2?2n???Cn(?2)

=(1-2)n=(-1)n

例4.已知（2x2+4x+3)6= a0+ a1(x+1)2+ a2 (x+1)4???? a6 (x+1)12 求:a0 +a2 +a4 +a6的值. 解：由已知得

（2x2+4x+3)6= [1+2(x+1)2]6=a0+ a1(x+1)2+ a2 (x+1)4????a6 (x+1)12 令x=0得a0+ a1+ a2+ a3+ a4+ a5+ a6 = 36= 729 令(x+1)2= -1（事实上是令x = i-1） 则得a0- a1+ a2- a3+ a4- a5 + a6 =(-1)6=1 两式相加得2(a0 +a2 +a4 +a6)=730 故a0 +a2 +a4 +a6=365

7.有关“杨辉三角”的研究：

例1.有一个数列：1，1，2，1，2，3，1，2，3，4，1，2，3，4，5，?? 求第100项的值.

解： 设以每个1开头的一段数的个数排成的数列为

?a?，即a=1a=2a=3a=4， 则

n1

2

3

4

sn?1?n1?nn，令sn?n?100，即得n2+n-200=0 22∴数列1，1，2，1，2，3，1，2，3，4，1，2，3，4，5，??的第100项为?an?中

∵n=13时，有n2+n-200=-18<0，当n=14时，有n2+n-200=10>0 故S13<0，而S14>0

a14的第9项，所以第100项为9

例2.如图，它满足：(1)第n行的首尾两数均为n ； 1 (2)表中的递推关系类似杨辉三角. 2 2 则第n 行的第2个数是多少？ 3 4 3 解：设第n 行的第2个数是an，则 4 7 7 4 an=(n-1)+an-1 于是 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6 可求得an?n

2?n?2 2…………… 例3.数列：1，2，4，3，9，27，81，4，16，64，256，1024，4096，16374，65496，???。

1.若ak?510，则k的最小值是多少？ 求：○ 则

2.求第1000项的值. ○

解：设分别以自然数1、2、3、???开头的一段等比数列的项数为数排成的数列为

n?b?，

n?b?是以1 为首项，以2为公比的等比数列。而第n段又由以相应自然数n为首项，以这

个自然数n为公比的等比数列

?n? (n=1、2、3、???)。

r1.∵ak?510，故数列中第一个ak位于以5 为首项，以5为公比的等比数列○

10项，又b1+b2+b3+b4=15， 所以ak?510为原数列中的第25项，kmin=25 2.bn?2 则sn?2?1令sn?2?1=1000 ○

∵29=512 ∴ 2 9-1=511<1000, 又210-1=1023>1000

n?1nn?5?的第

r所以取故原数列的第1000项是以自然数10为首项，以10为公比的等比数列10中的第489项，故原数列的第1000项为10489

例4.设数列 {an}是集合

??r?2?2|0?s?t, 且s、t?Z?中的数从小到大排列而成，即：

ts a1=3，a2=5，a3=6，a4=9，a5=10，?。

3 现将各数按照上小下大、左小右大的原则排成如下三角形表： 5 6 1.写出这个三角形的第四行和第五行的数； ○

9 10 12 …………………… 2.求a100; ○

3.设{bn}是集合 ○

?2?2?2|0?s?t?r, 且s、t、r?Z?中的数从小到大排列而成，已知

tsrbk=1160，求k的值.

解：○

1.显然第i行为t=i ( i =1,2,3,?)时，故 第四行为：17，18，20，24；

第五行为：33，34，36，40，48。

○2.以三角形数表中，每行的数字个数为数列各项建立等差数列?Cn?，

则C1=1，C2=2，C3=3，

则有s1?n1?nn?2n， 令sn?2n?100，

显然有S13=91<100，S14=105>100 故在第14行倒数第6位。

T=14, s=8 ∴a814100 =2?2=16640 ○

3.显然，当r取2时，可得一个数，即c21=2+21+20=7； 当r取3时，可得三个数，即c2=23+21+20=11,c33=2+22+20=13,c14=23+22+2=14；

当r取n+1时，可得个111n(n2CC?1)nn?1?2数.

以r取n+1时所得数的个数为各项建立数列

?cn?，

3故有s?3n?nn2?2n ， 而ak?1160?210?27?236

32 因为当取2、3、4、?、9时，共有s?3?8?88?2?86?120个，

又r取10时比t=7,s=3时小的数共有C1111117?C6?C5?C4?C2?C1?25个， 故

ak?1160时，k=145

教学反思：

当

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