实数连续性基本定理的等价性

2011届本科毕业论文

题目：实数连续性基本定理的等价性

所在学院：数学科学学院 专业班级：数学07-4班

学生姓名：努尔阿米乃姆.阿提汗 指导教师：塔实甫拉提老师 答辩日期：2011年5月10日

新疆师范大学教务处

新疆师范大学2011届本科毕业论文

目 录

1 引言.......................................................................................................................... 1 2 实数连续性的基本概念.......................................................................................... 1

2.1 有关实数连续性的定义............................................................................... 1 2.2 有关实数连续性的基本定理......................................................................... 2 3 六大基本定理等价性的证明.................................................................................. 3

3.1 单调有界定理的证明................................................................................... 3 3.2 区间套定理的证明......................................................................................... 4 3.3有限覆盖定理的证明...................................................................................... 4 3.4 聚点定理的证明............................................................................................. 5 3.5 柯西收敛准则的证明................................................................................... 6 3.6 确界原理的证明............................................................................................. 7 4 实数连续性基本定理的应用.................................................................................... 8 5 总结.......................................................................................................................... 9 参考文献...................................................................................................................... 10 致谢.............................................................................................................................. 11

1

新疆师范大学2011届本科毕业论文

实数连续性基本定理的等价性

摘要 实数集的连续性(又称完备性)是实数集的一个基本特征，它是微积分学的坚实的理论基础.可以从不同的角度来描述和刻画实数集的连续性，因此有多个实数集的连续性基本定理.本文给出了实数集连续性的六个基本定理且证明了这六个基本定理的等价性，是对实数集连续性基本定理等价性的系统的论述，从而我们获得了对实数集连续性的基本特征的进一步的认识和理解.本文还应用这些基本定理证明了关于闭区间上连续函数的一些性质.本文先承认确界原理为真，即作为公理，然后由它出发，依次证明单调有界定理，闭区间套定理，有限覆盖定理，聚点定理，柯西收敛准则，最后再利用柯西收敛准则证明确界原理.

关键词 实数连续性基本定理，等价性，循环证明

2

新疆师范大学2011届本科毕业论文

1 引言

实数集是连续的,这是实数集有别于有理数集的重要特征.数学分析是用极限的方法来研究微积分, 而极限论作为微积分的理论基础又恰恰是建立在实数连续性定理之上的.由有理数系扩充到实数系有不同的方法, 从而连续定理叙述的形式就不同, 但它们之间却是等价的.而一个数列是否存在极限，不仅与数列本身有关，而且也与数列所在的数集有关.因为实数集关于极限运算是封闭的，这个性质就是实数集的连续性.实数的连续性主要是由确界原理，单调有界定理，闭区间套定理，有限覆盖定理，聚点定理以及柯西收敛准则所描述的.虽然它们的数学形式不同，但是它们都描述了实数的连续性.

2 实数连续性的基本概念

2.1 有关实数连续性的定义

本文首先给予有关实数连续性的基本定义作以介绍： 定义2.1.1 设闭区间列??an,bn??具有如下性质：

（i）?an,bn???an?1,bn?1?, n?1,2,?; （ii）lim?bn?an?=0,

n??则称??an,bn??为闭区间套，或简称区间套. 类此地，在空间上区间套定义是如下叙述的：

R中所有和定点P0之距离小于定数??0的点的全体，即集合 ?P|d(P,P0)???

称为点P0的?领域，并记为??P0,??.在R1,R2,R3中的??P0,??就是以P0为中心

n?为半径的开区间，开圆和开球.

定义2.1.2 设S为数轴上的点集，?为定点（它可以属于S，也可以不属于S).若?的任何领域内都含有S中无穷多个点，则称?为点集S的一个聚点. 聚点定义的另两个等价定义如下：

定义2.1.2?对于点集S，若点?的任何?领域内都含有S中异于?的点，即

????;???S??,则称?为S的一个聚点.

定义2.1.2?? 若存在各项互异的收敛数列｛xn｝?S,则其极限limxn=?成为S

n?? 1

新疆师范大学2011届本科毕业论文

的一个极限.

聚点定义在空间上如下叙述的：设E是R中一点集，P0为Rn中一个定点，如果P0的任一领域内部都含有无穷多个属于E的点，则称P0为E的一个聚点. 定义2.1.3设S为数轴上的点集，H为开区间的集合（即H的每一个元素都是形如（?,?)的开区间）.若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或称H覆盖S.若H中开区间的个数是无限(有限)的，则称H为S的一个无限开覆盖（有限开覆盖）.

n2.2 有关实数连续性的基本定理

下面叙述有关实数连续性的六个基本定理.

定理2.2.1 (确界原理) 设 S为非空数集.若 S有上界，则 S必有上确界；若 S有下界，则 S必有下确界.

定理2.2.2 (单调有界定理) 在实数系中，有界的单调数列必有极限.

定理2.2.3 (区间套定理) 若??an,bn??是一个闭区间套，则在实数中存在唯一的一点 ?，使得???an,bn?,n?1,2,?,即

an???bn,n?1,2,?.

类似的，闭区间套定理在空间上的形式如下叙述的：

limｄ闭集套定理：设无穷闭集列｛Fn｝，至少一个为有界且Fn?Fn?1，（Fn）

n??????=0，（ｄ（Fn）是Fn的直径），则必有唯一的一点z0?Fn，ｎ=1,2，?.

下面来介绍一个很有用的区间套性质：

推论2.2.4 若???an,bn?,n?1,2,?, 是区间套??an,bn??所确定的点，则对任给的

????> 0，存在N> 0，使得当n>N 时有

?an,bn?????;??.

定理2.2.5 ((Heine-Borel)有限覆盖定理) 设H为闭区间?a,b? 的一个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖 ?a,b?.

覆盖定理在空间上的形式为如下：设F是一个有界闭集，?是一族开集

?Ui?i??它覆盖了F（即F??Ui）则?中一定存在有限多个开集U1,U2,?,Um，

i?? 2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/bs1d.html