（浙江版）2018年高考数学一轮复习（讲+练+测）： 专题9.9 圆锥曲线的综合问题（测）

第九节 圆锥曲线的综合问题

班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的．）

x2y21.【2016高考天津】已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线

ab2x?y?0 垂直，则双曲线的方程为（ ）

x2y222?y?1?1 （A）（B）x?44

3x23y23x23y2??1??1 （D）（C）

520205

【答案】A

b1x2y2??1，选A. 【解析】由题意得c?5,??a?2,b?1?a2412.【浙江省温州市2017届高三8月模拟】点P到图形C上所有点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到圆C外的定点A的距离相等的点的轨迹是（ ） A．射线 B．椭圆 C．双曲线的一支 【答案】C.

D．抛物线

3.【2017届广东省广雅中学、江西省南昌二中高三下联考】自圆：

外一点

引

该圆的一条切线，切点为，切线的长度等于点到原点的长，则点轨迹方程为（ ） A. 【答案】D 【解析】由题意得

,所以

，即

，选D.

B.

C.

D.

4.【2018届黑龙江省海林市朝鲜中学高三高考综合卷（一）】已知两点A?a,0?， B??a,0?（a?0），若曲线x2?y2?23x?2y?3?0上存在点P，使得?APB?90?，则正实数a的取值范围为（ ） A. ?0,3 B. 1,3 C. 2,3 D. 1,2

???????【答案】B

5.【2017届江西省抚州市临川区第一中学高三4月模拟】已知B、C为单位圆上不重合的两个定点， A为此单位圆上的动点，若点P满足AP?PB?PC，则点P的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 【答案】D

【解析】设P?x,y?， A?cos?,sin??， B?x1,y1?， C?x2,y2?，设单位圆圆心为O，则根据

AP?PB?PC可有： PA?PB?PC?0，所以点P为?ABC的重心，根据重心坐标公式有

x1?x2?cos?22x1?x2??y1?y2?1?3{ ，整理得?x???y??，所以点P的轨迹为圆，故选择D. ??y?y2?sin?3??3?9?y?13x?6.【2017届贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学高三下月考七】已知直线

l:?m?2?x??m?1?y?4?4m?0上总存在点M，使得过M点作的圆C： x2?y2?2x?4y?3?0的两条切线互相垂直，则实数m的取值范围是（ ）

A. m?1或m?2 B. 2?m?8 C. ?2?m?10 D. m??2或m?8 【答案】C

【解析】

x2y2?2=1（b>0）7.【2016高考天津理数】已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的4b圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）

x23y2x24y2x2y2x2y2?=1（B）?=1（C）?2=1（D）?=1（A）44434b412

【答案】D

4?x??x?y?4?b2?4??【解析】根据对称性，不妨设A在第一象限，A(x,y)，∴?， ??b4b?y?x?y???2?b2?42?22x2y216bb2???b?12，故双曲线的方程为??1，故选D. ∴xy?2b?422412x2y2??1上，若点A的坐标为?3,0?，点M满8.【2017届河北省石家庄市二模】已知动点P在椭圆

3627足AM?1， PM?AM?0，则PM的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 22 D. 3 【答案】C

【解析】

PM?AM?0?PM?AM ，

9.【2018届广西钦州市高三上学期第一次检测】抛物线

的焦点为，点

为该抛物线上的动点，

点是抛物线的准线与坐标轴的交点，则A. B. 【答案】B

C.

D.

的最小值是（ ）

【解析】

过P作PN垂直直线x=﹣1于N，

由题意可知，抛物线的准线方程为x=﹣1，A（﹣1，0），

由抛物线的定义可知PF=PN，连结PA，当PA是抛物线的切线时，最大，就是直线PA的斜率最大， 设在PA的方程为：y=k（x+1），所以解得：kx+（2k﹣4）x+k=0，

所以△=（2k﹣4）﹣4k=0，解得k=±1，

2

2

4

22

2

2

有最小值，则∠APN最大，即∠PAF

，

所以∠NPA=45°，

=cos∠NPA=故选B．

210. 设圆?x?1??y?25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平

2．

分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为 （ ）

4x24y24x24y2??1 B、??1 A、252121254x24y24x24y2??1 D、??1 C、25212125【答案】A

11.【2018届云南省昆明一中高三第一次摸底】设O为坐标原点， P是以F为焦点的抛物线y2?2px（p?0）上任意一点， M是线段PF上的点，且PM?2MF，则直线OM的斜率的最大值为（ ）

A.

232 B. C. D. 1 332【答案】A

2?y0??p?【解析】由题意可得F?,0?，设P?,y0?,(y0?0)，则

?2??2p?2?y01112py?OM?OF?FM?OF?FP?OF?OP?OF?OP?OF???,0?，可得

3333?6p33???k?2y0p?6p33?1y0p?2py0?y12p．当且仅当0?时取得等号，选A. ?22py0yp202py0的焦点为，准线为

12.【2017届云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考（五）】已知抛物线

，抛物线的对称轴与准线交于点，为抛物线上的动点，焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ） A.

B.

C.

D.

，当最小时，点恰好在以为

【答案】D 【解析】

二、填空题

13.【2018届海南省（海南中学、文昌中学、海口市第一中学、农垦中学）等八校联考】已知F是抛物线C:y2?16x的焦点，过F的直线l与直线x?3y?1?0垂直，且直线l与抛物线C交于A， B两点，则AB?__________． 【答案】

64 32【解析】F是抛物线C:y?16x的焦点，∴F?4,0?，又过F的直线l与直线x?3y?1?0垂直

22∴直线l的方程为： y?3?x?4?，带入抛物线C:y?16x，易得： 3x?40x?48?0

设A??x1，y1?， B??x2，y2?， x1?x2?40，x1x2?16 3AB?1?3故答案为：

?x1?x2?2?4x1x2?64。 364 314.【2017届山西省太原市高三三模】已知过点A??2,0?的直线与x?2相交于点C，过点B?2,0?的直线与x??2相交于点D，若直线CD与圆x?y?4相切，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为__________.

22x2?y2?1?y?0? 【答案】4

直线CD的方程为： y?4k1??k1?k2??x?2? ， 整理可得： ?k1?k2?x?y?2?k1?k2??0 直线与圆相切，则： 2?k1?k2??k1?k2?2?2 ，

?1据此可得： k1k2??1 ， 4由于： y?k1?x?2?,y?k2?x?2?，

22两式相乘可得： y?k1k2x?4????12x?1 4x2?y2?1?y?0?. 即直线AC与BD的交点M的轨迹方程为415.已知抛物线y?2px(p?0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若

2?FPM为边长是12的等边三角形，则此抛物线方程为 .

【答案】y?12x

2?m2?【解析】?FPM为等边三角形，PF?PM，由抛物线的定义得PM?抛物线的准线，设P? ?2p,m??，

???m2p??12?2p2?m2?108??p??p?则点M??,m?，焦点F?,0?，由于?FPM是等边三角形，?，得?，

2?2??2??p?6??pp?2???m?12????22?因此抛物线方程y?12x.

16.【2017 届浙江省杭州高级中学高三2月模拟】设圆x?y?12与抛物线x?4y相交于A,B两点，

2222F为抛物线的焦点，若过点F且斜率为1的直线与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为

P1,P2,P3,P4，则PP12?PP34的值__________ ，若直线m与抛物线相交于M,N两点，且与圆相切，切

点D在劣弧AB上，则MF?NF的取值范是__________. 【答案】 52 ?2?43,22?

??【解析】如图所示，联立圆与抛物线的方程可得交点坐标为： A?22,2,B22,2

????

∵点F坐标为(0,1),∴kFB=

2,∴kl>kFB， 4

∴PP12?P3P4?2???x2?x1???x4?x3????2???x2?x4???x1?x3????52，

所以|P1P2|+|P3P4|的值等于52. 设直线m的方程为y=k+b(b>0)， 代入抛物线方程得x?4kx?4b=0， 设点M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=4k， 则y1+y2=k(x1+x2)+2b=4k+2b，

22

b2?12,即k??1， ∵直线m与该圆相切,∴212k?1b2又|MF|=y1+1,|NF|=y2+1，

2∴MF?NF?y1?y2?2?4k?2b?2?12?b?3??5， 3∵kOA??22,∴分别过A. B的圆的切线的斜率为2,?2. ,kOB?222

b2∴k∈[?2,2],∴0?k?2,∴0剟?112，

12∵b>0,∴b∈[23,6]

所以|MF|+|NF|的取值范围为?2?43,22?.

??三、解答题

17. 已知抛物线E:x2?4y.

（1）若直线y?x?1与抛物线E相交于P,Q两点，求PQ弦长；

BC边过定点N(0,2)，（2）已知△ABC的三个顶点在抛物线E上运动.若点A在坐标原点，点M在BC上且AM?BC?0，求点M的轨迹方程.

【答案】（1）8；（2）x2?y2?2y?0（y?0） .

（注：用其他方法也相应给分）

（2）设点M的坐标为(x,y)，由BC边所在的方程过定点N(0,2)，

AM?(x,y) MN?(?x,2?y)

AM?BC?0 ?AM?MN?0

所以?x?x?y(2?y)?0, 即x?y?2y?0（y?0）

2218.【2018届河南省师范大学附属中学高三8月开学】已知椭圆为椭圆的上顶点，为坐标原点，且（1）求椭圆的方程； （2）是否存在直线交椭圆于

两点，且使为

是等腰直角三角形.

的右焦点为，

的垂心（垂心：三角形三条高的交点）？若存在，

求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）（2）

试题解析：

（1）由△OMF是等腰直角三角形得b=1，a =

故椭圆方程为

（2）假设存在直线l交椭圆于P,Q两点，且使F为△PQM的垂心 设P（,）,Q（,） 因为M（0,1），F（1,0），故于是设直线l的方程为由

得

，故直线l的斜率

由题意知△＞0，即由题意应有故

＜3，且，又

解得

或

经检验，当当

时，△PQM不存在，故舍去

满足题意

；

时，所求直线

综上，存在直线l，且直线l的方程为

,2)在抛物19.【江苏省苏州市2017届高三暑假自主测试】已知抛物线C的方程为y2?2px(p?0)，点R(1线C上．

（1）求抛物线C的方程；

（2）过点Q（1,1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B．若直线AR,BR分别交直线l:y?2x?2 于

M,N两点，求线段MN最小时直线AB的方程．

【答案】（1）y2?4x（2）x?y?2?0

y2?4my?4(m?1)?0，所以y1?y2?4m,y1y2?4(m?1)

设AR：y?k1(x?1)?2，

……5分

y?2y1?24k1?y?k1(x?1)?2k1?1?2?由?得xM?，而x1?1y1y1?2

k?2?1y?2x?21?4可得xM??

22x??，同理N

y1y2

m2?m?1所以|MN|?5|xM?xN|?25……8分

|m?1|令m?1?t(t?0)，则m?t?1

所以|MN|?5|xM?xN|?25(?)2?11t23?15 4

……10分

此时m??1，AB所在直线方程为：x?y?2?0

20. 【2017届宁夏石嘴山一中高三第二次模拟】已知椭圆：于不同的两点、. （1）设为弦

的中点，求动点的轨迹方程；

，斜率为的动直线l与椭圆交

（2）设、为椭圆的左、右焦点，是椭圆在第一象限上一点，满足最大值. 【答案】（1）

，

（2）

，求 面积的

试题解析：

解：（Ⅰ）设， （1） （2）

（1）-（2）得：又由中点在椭圆内部得所以点的轨迹方程为

，即

， ,

（Ⅱ）由，得点坐标为，

设直线的方程为

，代入椭圆方程中整理得： ，由

得

则

，

所以

，当时，

21.【2018届广东省汕头市金山中学高三上学期期中】在平面直角坐标系xoy中，设点Fl: x??1，点P在直线l上移动， R是线段PF与y轴的交点, 异于点R的点Q满足：PQ?l.

（1）求动点Q的轨迹的方程；

（2） 记Q的轨迹的方程为E，过点F作两条互相垂直的曲线E 的弦AB. CD，设AB. CD 的中点分别为M，N． 问直线MN是否经过某个定点？如果是，求出该定点， 如果不是，说明理由．

【答案】(Ⅰ) y2?4x(x?0)；(Ⅱ)以直线MN恒过定点R ?3,0?．

，0)，直线

RQ?FP， (1

试题解析：(Ⅰ)依题意知，直线l的方程为： x??1．点R是线段FP的中点， 且RQ⊥FP，∴RQ是线段FP的垂直平分线． ∴PQ是点Q到直线l的距离．

∵点Q在线段FP的垂直平分线，∴PQ?QF． 故动点Q的轨迹E是以F为焦点， l为准线的抛物线， 其方程为： y2?4x(x?0)．

(Ⅱ) 设A?xA,yA?,B?xB,yB?， M?xM,yM?，N?xN,yN?，

由AB⊥CD，且AB、CD与抛物线均有两个不同的交点，故直线AB、CD斜率均存在，设直线AB的方程为

y?k?x?1?

则{yA2?4xAyB2?4xB?1? ?2?42，即yM?， kk22??2?1．所以点Ｍ的坐标为． ?1,??22kk??k（1）—（2）得yA?yB?代入方程y?k?x?1?，解得xM?2同理可得： N的坐标为2k?1,?2k．

??直线MN的斜率为kMN?yM?yNk，方程为 ?2xM?xN1?ky?2k?k22y1?k?k?x?3?， x?2k?1，整理得??21?k??显然，不论k为何值， ?3,0?均满足方程，所以直线MN恒过定点R ?3,0?．

22.【2018届辽宁省庄河市高级中学高三上学期开学】设点M是x轴上的一个定点，其横坐标为a（a?R），已知当a?1时，动圆N过点M且与直线x??1相切，记动圆N的圆心N的轨迹为C． （Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）当a?2时，若直线l与曲线C相切于点P?x0,y0?（y0?0），且l与以定点M为圆心的动圆M也相切，当动圆M的面积最小时，证明： M、P两点的横坐标之差为定值． 【答案】（Ⅰ）y2?4x；（Ⅱ）证明见解析.

试题解析：

（Ⅰ）因为圆N与直线x??1相切，所以点N到直线x??1的距离等于圆N的半径， 所以，点N到点M?1,0?的距离与到直线x??1的距离相等.

所以，点N的轨迹为以点M?1,0?为焦点，直线x??1为准线的抛物线， 所以圆心N的轨迹方程，即曲线C的方程为y?4x．

（Ⅱ）由题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y?y0?k?x?x0?， 由{2y?y0?k?x?x0?,k2y?y?kx0?y0?0， 得 24y?4x,又y02?4x0，所以

k2ky?y?y02?y0?0， 44因为直线l与曲线C相切，所以??1?k??2?k2?y0?y0??0，解得k?．

y0?4?所以，直线l的方程为4x?2y0y?y02?0． 动圆M的半径即为点M?a,0?到直线l的距离d?4a?y0216?4y02. 当动圆M的面积最小时，即d最小，而当a?2时；

d?4a?y0216?4y02?y02?4a2y0?42 ?y02?4?4a?42y0?42 ?y02?42?4a?42y0?42?2a?1. 当且仅当y02?4a?8，即x0?a?2时取等号， 所以当动圆M的面积最小时， a?x0?2，

即当动圆M的面积最小时， M、P两点的横坐标之差为定值.

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