角动量算符的本征值方程求解

第23卷第6期2010年12月高等函授学报(自然科学版)

JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences) Vol.23No.6 2010

大学教学

角动量算符的本征值方程求解

何崇荣

(武汉市黄陂区第一中学,武汉430300)

摘 要:通过旋转坐标系,在新的坐标系下,L^x,L^y的表示形式与旧坐标系中L^z的表示形式一致,L^2算符在新旧坐标系中表示形式没有改变。因此,L^x,L^y的本征值方程得到简化,从而容易求解。另外,本文也给出了(L^x,L^2),(L^y,L^2),(L^z,L^2)各自共同本征函数之间的转化公式,便于求解角动量的平均值、可能值以及取值几率。

关键词:角动量算符;共同本征函数;本征值方程中图分类号:O413

文献标识码:A 文章编号:1006-7353(2010)06-0039-03

2

0, 1, 2#),Ylm( , );m ,l(l+1) 。

在参考文献[1]、[2]等教材中只给出了L^z和L^2

算符的本征值方程的解,L^x,L^y算符的本征值方程是偏微分方程,直接求解比较困难。本文利用求解L^z和L^2算符本征值方程的思路,通过坐标系旋转,使得^x,LL^y的本征值方程简化,且易于求解。1角动量算符的本征值方程

角动量算符L=r!p在直角笛卡儿坐标中的三个分量:

L^x=yP^z-zP^y=(y-z)

iL^y=zP^x-xP^z=(z-x)

i x z

L^z=xP^y-yP^x=(x-y)

i角动量平方算符:L^2=L^2x+L^2y+L^2z=(yP^z

-zP^y)2+(zP^x-xP^z)2+(xP^y-yP^x)2。1.1L^z和L^算符的本征值方程的求解

利用球极坐标来表示L^z和L^2算符,得到:

2

L^z=-i L^2=- [(sin)+

sin 2

]

sin此时L^z,L^2算符本征值方程容易求解。解得它们

im

的本征函数、本征值分别是:!m( )=(m=

2

2

^

^

^

由于[L^2,L^z]=0,因此它们有共同的本征函数。显然L^zYlm( , )=m Ylm( , ),所以Ylm( , )是L^z与L^2算符的共同的本征函数。1.2L^x算符的本征值方程求解

在旧坐标系中,L^x的的本征值方程是偏微分方程,直接求解比较困难。通过旋转坐标系,使新

坐标系的z 轴与x轴重合(见图1)。则新旧坐标之间的关系为:x =y,y =z,z =x对应的球极坐标之间的关系为:

r=r ,sin cos =sin sin ,sin sin =cos ,cos =sin cos (1)

那么在新的坐标系下,角动量算符各分量表达式变为:

L^x =x P^y -y P^x L^y =y P^z -z P^y

L^z =z P^x -x P^z

角动量平方算符:

L^ 2=^L2x +L^2y +^L2z =(x P^y -y P^x )2+(y P^z -z P^y )2+(z P^x -x P^z )2

由此可见,在新坐标系中,L^2的表示形式与旧坐标系中表示形式一致,L^x的表示形式与旧坐标系中L^z表示形式一致,因此,可以用新坐标系

收稿日期:2010-10-20.

作者简介:何崇荣(1985 ),男,湖北省武汉市人,中教二级,研究方向:中学物理教学.

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中对应的球极坐标来表示L^x的本征值方程。显然得到结果与在旧坐标系下求解L^z本征值方程所得结果形式一致,只是自变量代表的含义不同。

2

展开,

即Ylm( , )=

m =-l

l

Cm Ylm ( , )

L^x的本征值方程为:

L^xYlm( , )=m Ylm( , )

图1

(2)

利用升降算符L^+,L^-的性质:L^ Ylm ( , )=

l,m 1( , )

(3)

将L^x=(L^++L^-)以及(3)式代入(2)式得

2Ylm( , )=

m =-l

故L^x,L^本征函数、本

im

征值分别是:!m( )=e(m=0, 1,

2

2

2#),Ylm( , );m ,l(l+1)

同样,[L^2,L^x]=0,它们的共同本征函数为Ylm( , ),这里, , 的含义如图2所示,P 是P在平面x oy 内的投影。 表示OP与z 轴正半轴的夹角,在旧坐标系中,实际上是与x轴正半轴的夹角。 表示OP 与x 轴正半轴的夹角,在旧坐标系中,实际上是与y轴正半轴的夹角。1.3L^y算符的本征值方程求解

同求解L^x算符的本征值方程一样,旋转坐标系使新坐标系的z 轴与y轴重合,于是可以得到,L^y与^的本征函数、L本征值分别是:!m( %)=

2

l

l

m

[2m

l(l+1)-m (m +1)Yl,m +1( , )

+

m =-l

l,m -1( , )]=Cm Ylm ( , )

(4)

通过比较系数以及Ylm( , )的归一化,可以求出各个系数Cm 。

2.2(L^y,L^2)共同的本征函数Ylm( %, %)按(L^z,L^)的共同本征函数族展开

将Ylm( %, %)按(L^z,L^)的共同本征函数族展开,即Ylm( %, %)=

m =-l

2

2

im %(m

2

2

=0, 1, 2#),Ylm( %, %);m ,l(l+1)

共同本征函数为Ylm( %, %). %, %

的含义见图3。

l

Cm Ylm ( , )

(5)

L^y的本征值方程为:

L^yYlm( %, %)=m Ylm( %, %)L^y=

l

(L^+-L^-)以及(3)式代入(5)式得:2i

Ylm( %, %)=

m =-l

l

m [2mi

l(l+1)-m (m +1)Yl,m +1( ,

)-综上所述,L^x,L^y,L^z三者本征函数形式一致,本征值相同,L^在不同坐标系中,本征函数形式一致,

本征值相同,只是各自自变量表示含义不同,可见角动量算符的本征值不因坐标系的选择而改变。2(L^x,L^2),(L^y,L^2),(L^z,L^2)各自共同的本征函数之间的相互转化

2.1(L^x,L^)共同的本征函数Ylm( , )按(L^z,L^)共同本征函数族展开

将Ylm( , )按(L^z,L^2)的共同本征函数族2

22

m =-l

l,m -1( , )]=Cm Ylm ( , )

(6)

同样通过比较系数以及Ylm( %, %)的归一化,可以求出各个系Cm 。

2.3(L^y,^L2),(L^z,L^2)共同的本征函数按(L^x,L^2)共同的本征函数族展开

由旋转坐标系上图(2)所示,则在xyz坐标系下可以求得(L^z,L^2),(L^y,L^2)各自共同的本征函数按(L^x,L^)共同的本征函数族展开的表达式,即

Ylm( , )=

2

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m =-l

lll

l

m [2mi

l(l+1)-m (m +1)Yl,m +1( ,

几率与平均值。

解 在#态下,要求L^x的可能取值,取值几率与平均值,只需要将#按(L^x,L^2)的共同本征函数族展开,利用(7)式得到:

Y11( , )=C-1Y1-1( , )+C0Y10( , )+

C1Y11( , )=[(C-1-C1)Y10( , )+

2i

C0Y11( , )-C0Y1-1( , )]0

=-C1,再由Y11( , )2的归一化得:|C0|=取C0=所以Y11( , )=

2

[Y1-1( , )-Y11( , )]+Y10( , )22

比较系数得:C-1=同理得Y20( , )Y2-2( , )]-=-[Y22( , )+

4

)-m =-l

l,m -1( , )]=

(7)

Cm Ylm ( , )Ylm( %, %)=

m =-l

Cm [

2m

l(l+1)-m (m +1)Yl,m +1( ,

)+

m =-l

l,m -1( , )]=

(8)

Cm Ylm ( , )

同样通过比较系数以及波函数的归一化,可以求出各个系数Cm 。

图3中xyz坐标系似为旋转之后的坐标系,在xyz坐标系下可以求得(L^x,L^),(L^z,L^)共同的本征函数按(L^y,L^)共同的本征函数族展开表

达式,即

Ylm( , )=

m =-l

2

2

2

Y20( , )2

lll

l

后面的具体求解过程省略。

例2 在t=0时,氢原子的波函数为:

100+#210+211+21-1)#(r!,0)=2#2#3#10

其中下标指量子数n,l,m的值,忽略自旋和辐射跃迁。

求:假设一次测量发现,L=1,Lx=1用上面#nlm描述这一测量后瞬间的波函数。

解 根据题意,实际上就是要将Y11( , )按(L^z,L^2)共同本征函数族展开,利用

(4)式,将m=1,l=1代入,通过比较系数,

得:C1==C-1,

m [2mi

l(l+1)-m (m +1)Yl,m +1( %,

%)-m =-l

l,m -1( %, %)]=

(9)

Cm Ylm ( %, %)Ylm( , )=

m =-l

Cm [

2m

l(l+1)-m (m +1)Yl,m +1( %,

%)+

m =-l

l,m -1( %, %)]=

(10)

2

2

2

Cm Ylm ( %, %)

到这里,(L^x,L^),(L^y,L^),(L^z,L^)各自共同的本征函数之间的相互转化得以实现,它们之

间的转化也可以利用各自坐标系中与(1)式类似的式子和欧拉公式来实现。

3(L^x,L^)共同的本征函数与(L^z,L^)共同的本征函数之间转化方法应用

应用上述的转化方法,可以得到当体系处于某一态,可以是(L^x,L^2),(L^y,L^2),(L^z,L^2)各自共同本征函态或者是它们共同本征态叠加态时,可以计算角动量的可能取值以及取值几率,平均值等。

例1 设体系处于=C1Y11( , )+C2Y20( , )且|C1|2+|C2|2=1,求L^x的可能取值,取值

2

2

再由波函数的归一化得C0=取C0=于是得到:Y11( , )=Y1-1( , )+

2Y10( , )]。

参考文献

[1]汪德新.量子力学[M].武汉:湖北科学技术出版社,

2000:85-90.

[2]张永德.量子力学[M].北京:科学出版社,2002:94

-97.

[Y11( , )+2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/brkm.html