第十五届“希望杯”全国数学邀请赛四年级第2试真题及答案详解

第十五届小学希望杯全国数学邀请赛四年级

第2试 真题

1. 计算：1100÷25×4÷11=_________

2. 有15个数，它们的平均数是17，加入1个数后，平均数变成20，则加入的数是_________ 3. 若abc和def是两个三位数，且a=b+1, b=c+2, abc×3+4=def=,则def= 4. 已知a+b=100，若a除以3，余数是2，b除以7，余数是5，则a×b的值最大是_________ 5. 如图所示，两个完全相同的等腰三角形中各有一个正方形，图乙中的正方形面积为36平方厘米，则图甲中的正方形面积为_________平方厘米

6. 边长为20的正方形的面积恰好等于边长为a和边长为b的两个正方形的面积的和，若a和b都是自然数，则a+b=_________

7. 今年是2017年，年份的数字和是10，则本世纪内，数字和是10的所有年份的和是_________ 8. 在纸上画2个圆，最多可以得到2个交点，画3个圆，最多可得到6个交点。那么，如果在纸上画10个圆，最多可得到________个交点

9. 小红带了面额50元，20元，10元的人民币各5张，6张，7张，她买了230元的商品，那么有________种付款方式。

10. 甲、乙、丙的三个数的和是2017，甲比乙的2倍少3，乙比丙的3倍多20，则甲是________ 11. 篮球比赛中，三分线外投中1球得3分，三分线内投中1球得2分，罚篮投中1球得1分，某球队在一次比赛中共投进32球，得65分，已知2分球的个数比三分球的个数的4倍多3个，则这个球队在比赛中罚篮共投中________球

12. 篮球比赛中，三分线外投中1球得3分，三分线内投中1球得2分，罚篮投中1球得1分，某球队在一次比赛中共投进32球，得65分，已知2分球的个数比三分球的个数的4倍多3个，则这个球队在比赛中罚篮共投中________球

二、解答题（每小题15分，共60分.）每题都要写出推算过程.13

13.甲、乙两人同时从A、B两地出发，相向而行，甲每分钟走70米，乙每分钟走60米，两人在距离中点80米的地方相遇，求A，B两地之间的距离

14.老师给学生分水果，准备了两种水果，其中橘子的个数比苹果的个数的3倍多3个，每人分2个苹果，则余下6个苹果，每人分7个橘子，最后一人只能分得1个橘子，求学生的人数

15. 两个相同的正方形重合在一起，将上层的正方形向右移动3厘米，再向下移动5厘米，得到图中的图形，已知阴影部分的面积是57平方厘米，求正方形的边长。

16. 商店推出某款新手机的分期付款活动，有两种方案供选择：

方案一：第一个月付款800元，以后每月付款200元

方案二：前一半时间每月付款350元，后一半时间每月付款150元 两种方案付款总额和时间都相同，求这款手机的价格。

第十五届小学希望杯全国数学邀请赛四年级

第2试真题答案

01.计算：1100÷25×4÷11=_________ 【答案】16

【学习时间点】启智数学B体系 三年级秋季第1讲 【考点】乘除法凑整 【解析】1100÷25× 4÷11 =1100÷11÷25×4 =100÷25×4 =16

02.有15个数，它们的平均数是17，加入1个数后，平均数变成20，则加入的数是_________ 【答案】65

【学习时间点】启智数学B体系 四年级秋季第3讲 【考点】平均数，两组平均数间的关系

【解析】第一组数的总和是15×17=255，加入一个数之后，第二组数总共有15+1=16个数，其平均数是20，那么第二组数的总和是16×20=320。加入的数是320-255=65。 03

【答案】964

【学习时间点】启智数学B体系 三年级暑假第5讲 【考点】枚举法

【解析】由题目可知，a=b+1=c+2+1=c+3，所以a=c+3,b=c+2,现在从小到大进行枚举：当c=0时，b=2,a=3,第一个三位数是320，所以答案是320×3+4=964，符合题意。当c=1时，b=3,a=4,第二个三位数是431，此时431×3+4=1297，不是三位数，不符合题意，并且之后的答案都不会是三位数。所以答案是964。

04已知a+b=100，若a除以3，余数是2，b除以7，余数是5，则a×b的值最大是_________ 【答案】2491

【学习时间点】启智数学B体系 四年级春季第4讲 【考点】整除，余数，和定积大

【解析】a可以表示成3x+2的形式，b可以表示成7y+5的形式，代入a+b=100中去，得到3x+7y=93，因为3x和93都可以被3整除，根据整除的可减性，可知7y也可以被3整除，又因为7不能被3整除，所以得知y可以被3整除，所以b进一步可以表示成21z+5的形式，因为b<100,所以b只可能是5、26、47、68、89这5个数，而此时a分别对应是95、74、53、32、11这5个数。两个数的和确定的时候，这两个数的差越小，积越大，所以a×b的值最大是53×47=2491。

05如图所示，两个完全相同的等腰三角形中各有一个正方形，图乙中的正方形面积为36平方厘米，则图甲中的正方形面积为_________平方厘米

【答案】32

【学习时间点】启智数学B体系 四年级暑假第7讲 【考点】割补法

【解析】根据图形补的方法，可以将图乙补成所示图形，可以发现所补图形（即大正方形）面积的正好是图乙

面积的2倍，又是图乙中的小正方形面积的4倍，所以图乙、图甲的面积是36×2=72平方厘米。

根据图形割的方法，可以将图甲割成所示图形，可以发现图甲被分割成9个小的，面积相等的等腰三角形，所以1个小的等腰三角形面积是72÷9=8平方厘米，图甲的正方形面积则是8×4=32平方厘米。

06边长为20的正方形的面积恰好等于边长为a和边长为b的两个正方形的面积的和，若a和b都是自然数，则a+b=_________ 【答案】28

【学习时间点】启智数学B体系 四年级秋季第13讲

【考点】勾股定理，整除

【解析】在勾股定理中学到过最基本的一个算式是，而题目中的算式是，又知道5可以被20整除，20÷5=4，所以，再根据得知：a÷4=3以及b÷4=4；或者是a÷4=4以及b÷4=3。所以a、b的值分别是12、16或者是16、12，而a+b则一定是12+16=28。

07今年是2017年，年份的数字和是10，则本世纪内，数字和是10的所有年份的和是_________ 【答案】18396

【学习时间点】启智数学B体系 三年级秋季第9讲 【考点】等差数列，加减法巧算

【解析】本世纪的年份是从2000年-2099年，即20ab年，因为年份的数字和是10，所以2+0+a+b=10，得a+b=8，年份最小的是2008年，最大的是2080年。且年份从小到大每变化一次，十位加1同时个位减1，所以其年份是一组以9为公差，首项为2008，末项为2080的9项等差数列，其和=2008+2017+……+2072+2080=（2000+8）+（2000+17）+……+（2000+72）+（2000+80）=2000×9+（8+17+……+72+80）=18000+（8+80）×9÷2=18396。 08在纸上画2个圆，最多可以得到2个交点，画3个圆，最多可得到6个交点。那么，如果在纸上画10个圆，最多可得到________个交点 【答案】90

【学习时间点】启智数学B体系 三年级秋季第3讲 【考点】图形找规律

【解析】在稿纸上尝试画4个圆时，发现：最多可得到12个交点。现在开始找规律：，2个圆对应2个交点，3个圆对应6个交点，4个圆对应12个交点。可发现2=1×2；6=2×3；12=3×4，找到规律后应用于题目中去：画10个圆时，最多可以得到 （10-1）×10=90个交点。

09小红带了面额50元，20元，10元的人民币各5张，6张，7张，她买了230元的商品，那么有________种付款方式。 【答案】11

【学习时间点】启智数学B体系 三年级寒假第1讲 【考点】分类枚举

【解析】1、用了0张50元的情况时：小红最多用了20×6+10×7=190元，不符合题意；

2、用了1张50元的情况时，小红需要用20元和10元的人民币买230-50=180元，只有：20×6+10×6=180这1种情况；

3、用了2张50元的情况时，小红需要用20元和10元的人民币买230-50×2=130元，有20×6+10×1；20×5+10×3；20×4+10×5；20×3+10×7这4种情况；

4、用了3张50元的情况时，小红需要用20元和10元的人民币买230-50×3=80元，有20×4+10×0；20×3+10×2；20×2+10×4；20×1+10×6这4种情况；

5、用了4张50元的情况时，小红要需要用20元和10元的人民币买230-50×4=30元，有20×1+10×1；20×0+10×3这2情况；

5、用了5张50元的情况时：因为50×5=250>230，不符合题意 综合以上情况，总共有1+4+4+2=11种付款方式。

10甲、乙、丙的三个数的和是2017，甲比乙的2倍少3，乙比丙的3倍多20，则甲是________ 【答案】1213

【学习时间点】启智数学B体系 三年级秋季第5讲 【考点】和差倍线段图，设份数 【解析】

由线段图可知，令丙为1份，乙是3份多20，甲线段到红色端点处，有3份+20+3份+20，总共是6份多40，可实际上甲线段只到右边的黑色端点处，未到红色顶端处，所以甲线段实际长度为6份多37。那现在丙是1份，乙是3份多20，甲是6份多37，三者的和是2017，可知道1+3+6=10份是对应2017-37-20=1960的，所以1份是1960÷10=196，则甲是196×6+37=1213。

11篮球比赛中，三分线外投中1球得3分，三分线内投中1球得2分，罚篮投中1球得1分，某球队在一次比赛中共投进32球，得65分，已知2分球的个数比三分球的个数的4倍多3个，则这个球队在比赛中罚篮共投中________球 【答案】4

【学习时间点】启智数学B体系 三年级秋季第11讲 【考点】鸡兔同笼，寻找问题中的“头”和“腿”

【解析】可以让题目中的2分球与三分球之间成整倍关系，即65-2×3=59分，32-3=29球。那题目可转化成：共进29球，得59分，且此时已知2分球的个数是三分球个数的4倍，那根据多元素鸡兔同笼的做法，可将2分球与三分球合体为一个物体，即（2×4+3×1）÷（1+4）=2.2，即将2分球与三分球合体为“2.2分球”，那题目可转化为：罚球有1个头，1条腿。5个“2.2分球”有11条腿。总共有29个头，59条腿。那进一步扩倍，将所有腿分成5条小腿，

即题目转变成：罚球有1个头，5条小腿，1个“2.2分球”有1个头，11条小腿。总共有29个头，59×5=295条小腿。每个“2.2分球”比罚球多11-5=6条小腿。假设所有的29个头都是“2.2分球”，那么应该会有29×11=319条小腿，可实际上只有295条小腿，多出了319-295=24条小腿，那罚球的数量应为24÷6=4个，即这个球队在比赛中罚篮共投中4球。

12篮球比赛中，三分线外投中1球得3分，三分线内投中1球得2分，罚篮投中1球得1分，某球队在一次比赛中共投进32球，得65分，已知2分球的个数比三分球的个数的4倍多3个，则这个球队在比赛中罚篮共投中________球 【答案】4

【学习时间点】启智数学B体系 三年级秋季第11讲 【考点】鸡兔同笼，寻找问题中的“头”和“腿”

【解析】可以让题目中的2分球与三分球之间成整倍关系，即65-2×3=59分，32-3=29球。那题目可转化成：共进29球，得59分，且此时已知2分球的个数是三分球个数的4倍，那根据多元素

二、解答题（每小题15分，共60分.）每题都要写出推算过程.13

甲、乙两人同时从A、B两地出发，相向而行，甲每分钟走70米，乙每分钟走60米，两人在距离中点80米的地方相遇，求A，B两地之间的距离 【答案】2080米

【学习时间点】启智数学B体系 三年级春季第13讲

【考点】行程问题线段图；速度差和路程差的分析；速度和与路程和的分析 【解析】

由路线图可知，甲走了一半路程多80米，乙走了一半路程少80米，甲乙的路程差为80+80=160米，因为速度差×时间=路程差，速度差为80-70=10米/分，所以时间为160÷10=16分钟，相遇问题中，根据相遇问题的公式：速度和×时间=总路程，得：A、B两地距离为（70+60）×16=2080米。

14老师给学生分水果，准备了两种水果，其中橘子的个数比苹果的个数的3倍多3个，每人分2个苹果，则余下6个苹果，每人分7个橘子，最后一人只能分得1个橘子，求学生的人数 【答案】27人

【学习时间点】启智数学B体系 四年级暑假第3讲

【考点】和差倍综合应用题，画线段图，份数扩倍，盈亏问题思想 【解析】

题目中出现和差倍关系，那先假设苹果为1份，可是因为每人分2个苹果，所以需要扩倍份数。由线段图可知：苹果有2份，橘子有6份多3个，每个学生分7个橘子，最后一人只有1个，可以假设橘子多出6个（红色线段部分），则橘子给每个学生分7个，正好可以分完。同理，可以让苹果总数少6个，正好每个学生分2个。从线段图可得知：

2份学生=2份水果-6个（苹果与学生的线段图）→1份学生=1份水果-3个→7份学生=7份水果-21个且7分学生=6份水果+9个（橘子与学生的线段图），所以：7份水果-21个=6份水果+9个。得到1份水果是30个，所以学生是有30-3=27人。

15两个相同的正方形重合在一起，将上层的正方形向右移动3厘米，再向下移动5厘米，得到图中的图形，已知阴影部分的面积是57平方厘米，求正方形的边长。

【答案】9厘米

【学习时间点】启智数学B体系 四年级暑假第6讲、第7讲 【考点】巧算面积，图形拼接，寻找份数 【解析】

将原正方形分成4块，先看第①、第④块的面积和与第③、第④块的面积和，因为正方形四条边长相等，其关系只与5厘米、3厘米的两条边长相关。所以设第①、第④块的面积和是5份，则第③、第④块的面积和则是3份，且得知（①+④）+（③+④）=阴影部分面积+④=57+3×5=72平方厘米，总共是有5+3=8份占72平方厘米，所以一份是72÷8=9平方厘米，①+④=5×9=45平方厘米，所以正方形边长是45÷5=9厘米。 16商店推出某款新手机的分期付款活动，有两种方案供选择： 方案一：第一个月付款800元，以后每月付款200元

方案二：前一半时间每月付款350元，后一半时间每月付款150元 两种方案付款总额和时间都相同，求这款手机的价格。 【答案】3000元

【学习时间点】启智数学B体系 三年级暑假第3讲

【考点】基本应用题，寻找题目数量关系，寻找题目条件变化下的不变量。

【解析】题目中有部分条件发生变化，但是不变化的有两个量：付款总额、时间，根据题目数量关系：平均月付款额=付款总额÷时间，得知两个方案的平均月付款额是相同的。那方案二中，因为前一半每月付款350元，后一半时间每月付款150元，所以方案二的平均月付款额是（350+150）÷2=250元，所以第一个方案的平均月付款额也是250元，那方案一中，第一个月超出了平均月付款额800-250=550元，而后的每个月都得多分配

250-200=50元，则需要550÷50=11个月来分配这多出来的550元，所以第一个方案用了11+1=12个月，根据方案一算得：这款手机的价格是800+200×11=3000元。

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