2019年江苏省中考数学试题分类汇编之圆（解析版）

2019江苏省中考数学试题分类汇编之圆

一、选择题

1．（2019江苏镇江）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DC?CB．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于（ ）

A．55° 【答案】A．

【解析】解：连接AC，

∵四边形ABCD是半圆的内接四边形， ∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°， ∵DC?CB， ∴∠CAB＝

B．60°

C．65°

D．70°

1∠DAB＝35°， 2∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°， 故选：A．

2．（2019年江苏无锡）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P=40°，则∠B的度数为（ ） A．20° B．25° C．40° D．50°

APABOBO

A 1 / 27

y

FOE-6Ox【答案】B.

【解析】连结AO，因为PA是切线，所以∠PAO=90°，则∠AOP=90°-40°=50°，又因为同弧所对的圆周角=圆心角的一半，所以∠B=50°÷2=25°，故选B.

APOB

3．（2019江苏苏州）如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD，若?ABO?36o，则?ADC的度数为（） A．54o

AB．36o C．32o D．27o

DOCB

【答案】D.

【答案】由切线性质得到?BAO?90o， ??AOB?90o?36o?54o． QOD?OA， ??OAD??ODA． Q?AOB??OAD??ODA，

??ADC??ADO?27o．

故选D.

4．（2019江苏宿迁）一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积 是（ ）

A．20π 【答案】B．

【解析】解：由勾股定理可得：底面圆的半径＝3，则底面周长＝6π，底面半径＝3，

2 / 27

B．15π C．12π D．9π

由图得，母线长＝5，侧面面积＝故选：B．

1×6π×5＝15π． 25．（2019江苏宿迁）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半 圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（ ）

A．63﹣π 【答案】A．

【解答】解：6个月牙形的面积之和＝3π﹣（22π﹣6×故选：A． 二、填空题

6．（2019江苏泰州）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧 围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为 cm．

B．63﹣2π

C．63+π

D．63+2π

1×2×3）＝63﹣π， 2 【答案】12π． 【解析】∵l=

n?R120??6==4π，∴4π×3=12π． 180180故答案为：12π．

7．（2019江苏连云港）如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为 ．

3 / 27

【答案】6．

【解析】连结OB，OC，因为∠BOC=2∠A=60°，则△BOC为等边三角形，所以半径为6. 8．（2019江苏盐城）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且AB的度数为50°，则∠E+∠C＝ °．

【答案】155． 【解析】解：连接EA， ∵AB为50°， ∴∠BEA＝25°，

∵四边形DCAE为⊙O的内接四边形， ∴∠DEA+∠C＝180°，

∴∠DEB+∠C＝180°﹣25°＝155°， 故答案为：155．

9．（2019江苏南京）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若 ∠P＝102°，则∠A+∠C＝ ．

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【答案】219°． 【解析】解：连接AB， ∵PA、PB是⊙O的切线， ∴PA＝PB， ∵∠P＝102°， ∴∠PAB＝∠PBA＝

1（180°﹣102°）＝39°， 2∵∠DAB+∠C＝180°，

∴∠PAD+∠C＝∠PAB+∠DAB+∠C＝180°+39°＝219°， 故答案为：219°．

10．（2019江苏常州）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°， 则∠CDB＝ °．

【答案】30．

【解析】解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°， ∴∠CDB＝

1∠BOC＝30°． 2故答案为30．

11．（2019江苏常州）如图，半径为3的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、 BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝ ．

5 / 27

【答案】

3． 5【解析】解：连接OB，作OD⊥BC于D， ∵⊙O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切， ∴∠OBC＝∠OBA＝

1∠ABC＝30°， 2∴tan∠OBC＝

OD， BD∴BD＝

OD?tan303＝3， 33∴CD＝BC﹣BD＝8﹣3＝5， ∴tan∠OCB＝

OD3?． CD5故答案为3． 5

12.（2019江苏扬州）如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n= .

6 / 27

OA【答案】15. 【解析】

BC

解：连接OB，∵AC是⊙O的内接正六边形的一边， ∴∠AOC=360°÷6=60°，

∵BC是⊙O的内接正十边形的一边， ∴∠BOC=360°÷10=36°， ∴∠AOB=60°-36°=24°， 即360°÷n=24°，∴n=15

OABC

13．（2019江苏连云港）一圆锥的底面半径为2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为 ． 【答案】6?．

【解析】根据圆锥侧面积公式S侧??rl?2?3???6?.

14．（2019年江苏无锡）已知圆锥的母线成为5cm，侧面积为15πcm2，则这个圆锥的底面圆半径为 cm． 【答案】3

【解析】因为圆锥侧面积公式是：S侧??rl，所以圆锥底面圆的半径r=15?÷5?=3. 15．（2019江苏淮安）若圆锥的侧面积是15π，母线长是5，则该圆锥底面圆的半径是 ． 【答案】3．

【解析】解：设该圆锥底面圆的半径是为r，

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根据题意得

1×2π×r×5＝15π，解得r＝3． 2即该圆锥底面圆的半径是3． 故答案为3．

16．（2019江苏徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的 底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为 cm．

【答案】6．

【解析】解：圆锥的底面周长＝2π×2＝4πcm， 设圆锥的母线长为R，则：解得R＝6． 故答案为：6．

17.（2019江苏扬州）如图，将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°至AB′C′D′的位置，若AB=16cm，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】32π. 【解析】

∵阴影部分面积=扇形BB′A的面积+四边形ABCD的面积-四AB′C′D′的面积

＝4π，

45π?162?32π. ∴阴影部分面积=扇形BB′A的面积=

360CDD'BC'B'

A18．（2019江苏苏州）如图，扇形OAB中，?AOB?90?，P为弧AB上的一点，过点P作PC?OA，垂足为C，PC与AB交于点D，若PD?2,CD?1，则该扇形的半径长为

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___________．

BPDOCA

【答案】5．

【解析】解：∵OA=OB，?AOB?90? ∴∠OAB=∠OBA=45°， ∵PC⊥OA，

∴∠CAD=∠CDA=45°， ∴CA=CD=1， ∵PD=2，∴PC=3， BPDOCA

设扇形半径为x，连接OP，则OP=x，OC=x-1，在Rt△OPC中，由勾股定理得：

OC2?PC2?OP2，即32?(x?1)2?x2，解得x=5. 所以扇形的半径长为5.

19．（2019江苏泰州）如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3, 过点A作AP的垂线交于⊙O点B、C.设PB=x，PC=y，则y与x的函数表达式为 ．

P B A C

? O

【答案】y=

30. x【解析】如图，连接PO并延长交⊙O于点N，连接BN， . ∵PN是直径，∴∠PBN=90°∵AP⊥BC，∴∠PAC =90°，

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∴∠PBN=∠PAC，

又∵∠PNB=∠PCA，∴△PBN∽△PAC， ∴

PBPN30x10=. ∴y=. ，∴=

y3PAPCx30. x故答案为：y=

P B A C

? O N

20．（2019年江苏无锡）如图，在△ABC中，AC：BC：AB＝5：12：13，⊙O在△ABC内 自由移动，若⊙O的半径为1，且圆心O在△ABC内所能到达的区域的面积为的周长为 ．

10，则△ABC 3AOC【答案】25

【解析】圆心能到达的面积为图中阴影区域，如图1，设OO1=5x，OO2=12x，则

B

1105x12x?， 23解得x?155，∴OO1=，∴DF=，四边形ADO1E、四边形CFOG、四边形MNO2B拼起来， 333恰好拼成一个5：12：13的三角形，扇形O1DE、扇形OFG、扇形O2MN恰好拼成一个整圆， 如图2设图2中的AC=5x，BC=12x，AB=13x，则内切圆半径为

5x?12x?13x?2x?1，

2∴x?25155AC?BC?AB25??25．，∴AC=，即AD+CF=．∴图1中的AC=，周长为

222AC66 10 / 27

ADO1EMO2NB

AOCB

FOCG图1 图2

21．（2019江苏连云港）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与 直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则

AP的最大值是 ． ATPDTCAB

【答案】3．

【解析】连接AC，由勾股定理得AC=5，依据等面积可得⊙C半径r=3×4÷5=直线BD相切于点Q，则CQ=

12.设⊙C与 512.如图1，过点A作AM∥BD，过点P作PH⊥AM于点H， 5APPH12AP交BD于点G，则，∵GH=CQ=，∴所以求的最大值就转化为求PH的 ?ATGH5AT最大值，即求PG的最大值，显然当点P在QC的延长线上时PG最大，如图2此时 PG=2CQ=2GH，所以

AP的最大值是3． ATPPDTGQAHMCDTQCBAHBM

图1 图2

三、解答题

22．（2019江苏南京）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．

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求证：PA＝PC．

【答案】见解析． 【解析】证明：连接AC， ∵AB＝CD， ∴AB?CD，

∴AB?BD?CD?BD，即AD?CB， ∴∠C＝∠A， ∴PA＝PC．

23．（2019年江苏无锡）

一次函数y?kx?b的图像与x轴的负半轴相交于点A，与y轴的正半轴相交于点B，且sin

∠ABO＝3．△OAB的外接圆的圆心M的横坐标为﹣3． 2（1）求一次函数的解析式； （2）求图中阴影部分的面积．

yBMAOx

【答案与解析】

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（1）作MN?BO，由垂径定理得N为OB中点，MN=

1OA． 2∵MN=3，

∴OA=6，即A（-6,0）． ∵sin∠ABO=

3，OA=6， 2∴OB=23．即B（0，23）．

设y=kx+b，将A、B带入得到y=3x+23． 3（2）∵第一问解得∠ABO=60°，∴∠AMO=120°

所以阴影部分面积为S=π（23）-13232（23）=4π-33． 4yBMAOx

24．（2019江苏徐州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD． （1）求证：∠A＝∠DOB；

（2）DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．

的中点．过点D

N

【答案】（1）见解析；（2）DE与⊙O相切，理由见解析．

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【解析】（1）证明：连接OC， ∵D为∴

＝

的中点， ，

BOC， BOC，

∴∠BCD＝∵∠BAC＝

∴∠A＝∠DOB；

（2）解：DE与⊙O相切，理由如下： ∵∠A＝∠DOB， ∴AE∥OD， ∵DE⊥AE， ∴OD⊥DE， ∴DE与⊙O相切．

25．（2019江苏宿迁）在Rt△ABC中，∠C＝90°．

（1）如图①，点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，与边AC相切于点F．求证：∠1＝∠2； （2）在图②中作⊙M，使它满足以下条件： ①圆心在边AB上；②经过点B；③与边AC相切． （尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）

【答案】（1）见解析；（2）见解析．

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【解析】解：（1）证明：如图①，连接OF，

∵AC是⊙O的切线， ∴OE⊥AC， ∵∠C＝90°， ∴OE∥BC， ∴∠1＝∠OFB， ∵OF＝OB， ∴∠OFB＝∠2， ∴∠1＝∠2．

（2）如图②所示⊙M为所求．①

①作∠ABC平分线交AC于F点，

②作BF的垂直平分线交AB于M，以MB为半径作圆， 即⊙M为所求．

证明：∵M在BF的垂直平分线上， ∴MF＝MB， ∴∠MBF＝∠MFB， 又∵BF平分∠ABC， ∴∠MBF＝∠CBF， ∴∠CBF＝∠MFB， ∴MF∥BC，

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∵∠C＝90°， ∴FM⊥AC，

∴⊙M与边AC相切．

26．（2019江苏盐城）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以 CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E． （1）若⊙O的半径为

5，AC＝6，求BN的长； 2（2）求证：NE与⊙O相切．

【答案】（1）BN＝4；（2）见解析． 【解析】解：（1）连接DN，ON，

∵⊙O的半径为∴CD＝5．

∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线， ∴BD＝CD＝AD＝5， ∴AB＝10，

∴由勾股定理得BC＝8， ∵CD为直径，

∴∠CND＝90°，且BD＝CD． ∴BN＝NC＝4．

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5， 2（2）∵∠ACB＝90°，D为斜边的中点， ∴CD＝DA＝DB＝∴∠BCD＝∠B， ∵OC＝ON， ∴∠BCD＝∠ONC， ∴∠ONC＝∠B， ∴ON∥AB， ∵NE⊥AB， ∴ON⊥NE， ∴NE为⊙O的切线．

27．（2019江苏镇江）如图，在△ABC中，AB＝AC，过AC延长线上的点O作OD⊥AO， 交BC的延长线于点D，以O为圆心，OD长为半径的圆过点B． （1）求证：直线AB与⊙O相切；

（2）若AB＝5，⊙O的半径为12，则tan∠BDO＝ ．

1AB， 2

【答案】（1）见解析；（2）

2． 3【解析】（1）证明：连接AB，如图所示： ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠OCD， ∴∠ABC＝∠OCD， ∵OD⊥AO， ∴∠COD＝90°，

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∴∠D+∠OCD＝90°， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠D， ∴∠OBD+∠ABC＝90°， 即∠ABO＝90°， ∴AB⊥OB， ∵点B在圆O上， ∴直线AB与⊙O相切； （2）解：∵∠ABO＝90°， ∴OA＝AB2?OB2?52?122?13，

∵AC＝AB＝5， ∴OC＝OA﹣AC＝8， ∴tan∠BDO＝

OC82??； OD123故答案为：

2． 3

28．（2019江苏泰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E. （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为5，AB=8，求CE的长.

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DAOE

CB【答案】（1）相切；（2）CE=

254． 【解析】（1） DE为⊙O的切线， 理由：连接OD，

∵AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点，∴AD?CD，

∴∠AOD＝∠COD＝90°， 又∵DE∥AC，

∴∠EDO＝∠AOD＝90°， ∴DE为⊙O的切线.

DAOE

CB（2）解：∵DE∥AC， ∴∠EDO＝∠ACD, ∵∠ACD＝∠ABD, ∵∠DCE＝∠BAD, ∴△DCE∽△BAD， ∴

CEAD?DCAB， ∵半径为5，∴AC＝10， ∵ D为弧AC的中点，

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∴AD＝CD＝52， ∴CE52， ?852∴CE＝

25. 429.（2019江苏扬州）如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交于AB于P，且CP=CB. （1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）已知∠BAO=25°，点Q是弧AmB上的一点， ①求∠AQB的度数； ②若OA=18，求弧AmB的长.

AmCPOQB

【答案】（1）见解析；（2）①65°，②23π. 【解析】

解（1）连接OB，

∵CP=CB，∴∠CPB=∠CBP， ∵OA⊥OC，∴∠AOC=90°， ∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA. ∵∠PAO+∠APO=90°， ∴∠ABO+∠CBP=90°. ∴∠OBC=90°， ∴BC是⊙O的切线.

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AmCPOQB

（2）①∵∠BAO=25°，OA=OB， ∴∠BAO=∠OBA=25°. ∴∠AOB=130°，∴∠AQB=65°. ②∵∠AOB=130°，OB=18，

∴l弧AmB=（360°-130°）π×18÷180=23π.

30.（2019江苏苏州）如图，AE为O的直径，D是弧BC的中点BC与AD，OD分别交于点E，F.

（1）求证：DO∥AC； （2）求证：DE?DA?DC2； （3）若tan?CAD?CEFAOB1，求sin?CDA的值. 2D

3【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．

5【解析】

（1）证明：∵D为弧BC的中点，OD为O的半径， ∴OD⊥BC．

又∵AB为O的直径， ∴?ACB?90?． ∴AC∥OD．

（2）证明：∵D为弧BC的中点，

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∴CD?BD． ∴?DCB??DAC． ∴?DCE∽?DAC． ∴

DCDE． ?DADC即DE?DA?DC2．

（3）解：∵?DCE∽?DAC，tan?CAD?∴

CDDECE1???． DADCAC21， 2设CD=2a，则DE=a，DA?4a， 又∵AC∥OD， ∴△AEC∽△DEF， ∴

CEAE??3． EFDE8所以BC?CE．

3又AC?2CE， ∴AB?10CE． 3CA3?． AB5即sin?CDA?sin?CBA?31．（2019江苏淮安）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC， DE⊥AC，垂足为E．

（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为2，∠BAC＝60°，求线段EF的长．

【答案】（1）DE与⊙O相切，理由见解析；（2）1． 【解析】解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下： 连结OD．

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∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠CAD， ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠ODA＝∠CAD， ∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，即∠AED＝90°， ∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线； （2）过O作OG⊥AF于G， ∴AF＝2AG，

∵∠BAC＝60°，OA＝2， ∴AG＝

1OA＝1， 2∴AF＝2， ∴AF＝OD，

∴四边形AODF是菱形， ∴DF∥OA，DF＝OA＝2， ∴∠EFD＝∠BAC＝60°， ∴EF＝

1DF＝1． 2

32．（2019江苏镇江）【材料阅读】

地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的⊙O）．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α

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的大小是变化的． 【实际应用】

观测点A在图1所示的⊙O上，现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°，在点A所在子午线往北的另一个观测点B，用同样的工具尺测得α为67°．PQ是⊙O的直径，PQ⊥ON． （1）求∠POB的度数；

（2）已知OP＝6400km，求这两个观测点之间的距离即⊙O上AB的长．（π取3.1）

【答案】（1）67°；（2）3968 km．

【解答】解：（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HD⊥BC于D，CH⊥BH交BC于点C，如图所示： 则∠DHC＝67°，

∵∠HBD+∠BHD＝∠BHD+∠DHC＝90°， ∴∠HBD＝∠DHC＝67°， ∵ON∥BH，

∴∠BEO＝∠HBD＝67°， ∴∠BOE＝90°﹣67°＝23°， ∵PQ⊥ON， ∴∠POE＝90°，

∴∠POB＝90°﹣23°＝67°； （2）同（1）可证∠POA＝31°，

∴∠AOB＝∠POB﹣∠POA＝67°﹣31°＝36°，

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∴AB的长=

36??6400＝3968（km）．

180

33．（2019江苏常州）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度． （1）写出下列图形的宽距： ①半径为1的圆： ；

②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形”： ； （2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．

①若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）； ②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．

【答案】（1）①1；②1+5．

（2）①如图2﹣1中，点C所在的区域是图中正方形AEBF，面积为2．

②M（23﹣1，2）或（215﹣1，2），当点M在y轴的右侧时，满足条件的点M的横坐标的范围为23﹣1≤x≤215﹣1；当点M在y轴的左侧时，满足条件的点M的

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横坐标的范围为﹣215+1≤x﹣23+1．

【解析】解：（1）①半径为1的圆的宽距离为1，故答案为1．

②如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC．

在Rt△ODC中，OC＝CD2?OD2?12?22?5， ∴OP+OC≥PC， ∴PC≤1+5，

∴这个“窗户形“的宽距为1+5． 故答案为1+5．

（2）①如图2﹣1中，点C所在的区域是图中正方形AEBF，面积为2．

②如图2﹣2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊥x轴于T．

∵AC≤AM+CM，又∵5≤d≤8， ∴当d＝5时．AM＝4，

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∴AT＝， AM2?MT2?23，此时M（23﹣1，2）

当d＝8时．AM＝7，

∴AT＝82?22?215，此时M（215﹣1，2），

∴满足条件的点M的横坐标的范围为23﹣1≤x≤215﹣1．

当点M在y轴的左侧时，满足条件的点M的横坐标的范围为﹣215+1≤x﹣23+1． 27 / 27

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