新课标版备战2018高考数学二轮复习难点2.6新背景下的概率统计问

新背景下的概率、统计问题，及统计案例

概率统计是历年高考的热点内容之一，考查方式多样，选择题、填空题、解答题中都可能出现，数量各1道，难度中等,主要考查概率与统计的基本概念、公式以及基本技能、方法，以及分析问题、解决问题的能力.通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题.以排列和概率统计知识为工具，考查概率的计算、随机变量的概率分布、均值、方差、抽样方法、样本频率估计、线性回归方程、独立性检验、随机变量的分布列、期望、方差等内容. 1．抽样方法、样本频率估计

抽样方法在高考中常以选择、填空题考查，重点考查分层抽样，难度较低，只要知道用哪种方法抽样，会计算分层抽样各层所抽取样本数即可.在用样本估计总体中，会读图、识图，会从频率分布直方图中分析样本的数字特征（众数、中位数、平均数等），均值，方差，会计算说要求的频率.分层抽样的步骤：（1）分层；（2）按比例确定每层抽取个体的个数；（3）各层抽样（方法可以不同）；（4）汇合成样本.解决总体分布估计问题的一般程序如下：（1）先确定分组的组数（最大数据与最小数据之差除以组距得组数）；（2）分别计算各组的频数及频率（频率=

频数）；（3）画出频率分布直方图，并作出相应的估计. 总数 例1.某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从11000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为（ ）

A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C

例2.若样本数据x1，x2，???，x10的标准差为8，则数据2x1?1，2x2?1，???，2x10?1的标准差为（ ） （A）8 （B）15 （C）16 （D）32 思路分析：本题中主要利用系数对标准差的影响求解. 【答案】C

1

例3. 【2018贵州黔东南州联考】近年呼吁高校招生改革的呼声越来越高,在赞成高校招生改革的市民中按年龄分组，得到样本频率分布直方图如图，其中年龄在30,40?岁的有2500人，年龄在20,30?岁的有1200人，则m的值为（ ）

??

A. 0.013 B. 0.13 C. 0.012 D. 0.12 【答案】C

【解析】由题意，得年龄在范围30,40?岁的频率为0.025?10?0.25，则赞成高校招生改革的市民有

?12002500?10000，因为年龄在范围?20,30?岁的有1200人，则m?10000?0.012.故选C. 0.2510点评：(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种是用样本的频率分布估计总体的频率分布，另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征．(2)在频率分布直方图中，纵轴表示，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于1.(3)连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为总体密度曲线，它能够更加精细的反映出总体在各个范围内取值的百分比．

例4. 【2018河南名校联考】为了调查观众对某电视剧的喜爱程度，某电视台在甲乙两地随机抽取了8名观众做问卷调查，得分结果如图所示：

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（1）计算甲地被抽取的观众问卷得分的中位数和乙地被抽取的观众问卷得分的平均数；

（2）若从乙地被抽取的8名观众中邀请2人参加调研，求参加调研的观众中恰有1人的问卷调查成绩在90分以上（含90分）的概率.

思路分析：（1）根据茎叶图计算可得中位数及平均数；（2）写出任选两人的所有情况，共有28中，其中符合要求的有12中，根据古典概型概率公式可得.

点评：本题主要考查了茎叶图的概念，古典概型，属于容易题，高考对统计相关知识的考查，重点在于其相关的基本概念，如中位数，方差，极差，茎叶图，回归直线等，要求考生在复习时注意对这些方面的理解与记忆. 2.回归直线方程

“相关关系与函数关系”的区别：函数关系是一种确定性关系，体现的是因果关系；而相关关系是一种非确定性关系，体现的不一定是因果关系，可能是伴随关系．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．正确理解计算b，a的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键．回归直线方程y＝bx＋a必过样本点中心(x，y)．在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．

例5. 【2018华大新高考联盟质检】某地区2008年至2016年粮食产量的部分数据如下表：

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（1）求该地区2008年至2016年的粮食年产量与年份之间的线性回归方程；

（2）利用（1）中的回归方程，分析2008年至2016年该地区粮食产量的变化情况，并预测该地区 2018年的粮食产量.

附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

思路分析：（1）计算和，利用的计算公式即可得解；（2）由的意义得该地区粮食产量逐年增加，平均每两年增加6. 5 万吨，将

代入中的线性回归方程得预测值.

点评：本题考查线性回归方程，要正确利用平均数公式计算和理解线性回归方程的意义，属于基础题，要^^^

注意计算的准确性．方程y＝bx＋a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，

yn)的回归方程，其中a，b是待定参数．对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)

中(x，y)称为样本点的中心．当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关．

^^

r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎

不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 3．独立性检验

利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测．独立性检验就是考察两

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个分类变量是否有关系，并能较为准确地给出这种判断的可信度，具体做法是根据公式

n(ad?bc)2K?，计算K2值，K2值越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大．独

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．

例6. 【2018黑龙江齐齐哈尔一模】2016年6月22 日，“国际教育信息化大会”在山东青岛开幕.为了解哪些人更关注“国际教育信息化大会”，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的100人进行调查，并按年龄绘制成频率分布直方图，如图所示，其分组区间为： 15,25?,25,35?,35,45?,45,55?,55,65?,65,75.把年龄落在区间15,35?和35,75 内的人分别称为 “青少年”和“中老年”.

??????????

（1）根据频率分布直方图求样本的中位数（保留两位小数）和众数；

（2）根据已知条件完成下面的2?2列联表,并判断能否有99%的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”；

附:参考公式K?临界值表：

2n?ad?bc?2?a?b??c?d??a?c??b?d?，其中n?a?b?c?d.

思路分析：（1）根据频率分布直方图可知样本的众数为40，因为?0.015?0.030??10?0.45，设样本的中

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位数为x，则?x?35??0.035?0.5?0.45，所以x?3510?36.43，即样本的中位数约为36.43.（2）分72

别求得“青少年人”及“中老年人”人数，完成2×2列联表，求K，与临界值对比，即可得到有99%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会．

点评：本题考查独立性检验及古典概型，属中档题；独立性检验是一种统计案例，是高考命题的一个热点，多以选择题形式出现，命题的主要角度有：1.已知分类变量数据，判断两类变量的相关性；2.已知某些数据，求分类变量的部分数据；3.已知K的观察值，判断几种命题的正确性. 4．概率的计算

概率问题是每年高考必考内容.主要考查等可能事件的概率计算公式,互斥事件的概率加法公式，对立事件的概率减法公式,相互独立事件的概率乘法公式等基本公式的应用‘试题多为课本例题,习题拓展加工的基础题或中档题.只要我们理解和掌握概率公式及其应用,夯实基础,利用化归转化思想方法,就能顺利解答高考概率与统计试题.

例7. 【2018湖南五市十校联考】齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马， 田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ） A.

21452 B. C. D. 39936

【答案】A

点评：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.

例8.假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00~7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30~7：30之间随机第离家上学，则你在理考家前能收到牛奶的概率是（ ） A．

1517 B． C. D． 8828思路分析：几何概型的会面问题，准确作图利用面积作为几何测度是解决问题的关键，设送报人到达的时间为x，此人离家的时间为y，以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示此人离家时间，建立平面直角坐标系，根据其实际意义，转化为集合概型，概率即为面积之比，作图求面积之比即可． 【答案】D

【解析】设送奶人到达的时间为x，此人离家的时间为y，以横坐标表示奶送到时间，以纵坐标表示此人离家时间，建立平面直角坐标系（如图）则此人离开家前能收到牛奶的事件构成区域如图示，所以所求概率P?1?1117???，故选D． 2228

点评：对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法． 几何概型中，事件A的概率计算公式：P(A)＝

构成事件A. 例9. 2016年11月19日是“期中考试”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B=“取到的两个都是豆沙馅”，则P(B|A)?（ ）

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A．

3113 B． C． D． 441010P(A?B)可求得相应概率.

P(A)试题分析：利用条件概率公式P(BA)?【答案】A

点评：对于任何两个事件A和B，在已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)．条件概率公式：P(A|B)＝

PA∩B，其中P(B)>0，A∩B也可以记为AB.条件概率通常是指

PBPAB.

PA在事件A发生的条件下，事件B发生的概率．放在总体情况下看：先求P(A)，P(AB)，再求P(B|A)＝关键是求P(A)和P(AB)．注意P(B|A)与P(A|B)不同． 5. 随机变量的分布列、均值与方差问题

离散型随机变量的分布列、均值与方差问题是每年高考必考内容，且为解答题.第一问主要考查等可能事件的概率计算公式,互斥事件的概率加法公式，对立事件的概率减法公式,相互独立事件的概率乘法公式,事件在n次独立重复试验种恰好发生k次的概率计算公式等五个基本公式的应用，第二问主要考查分布列、均值与方差问题，特别是离散型随机变量的分布列、均值与方差也是高考的重点，试题多为课本例题,习题拓展加工的基础题或中档题.

例10. 【2018云南昆明一中摸底】某市为了解本市2万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布N?69,49?，现从某校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理后，绘制出如图所示的频率分布直方图.

（1）估算该校50名学生成绩的平均值x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）求这50名学生成绩在80,100内的人数；

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??（3）现从该校50名考生成绩在80,100的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名（从高到低）在全市前26名的人数记为X，求X的分布列和数学期望.

参考数据：若X~N?,?2，则p(????X????)?0.6826， p(??2??X???2?)?0.9544

????p(??3??X???3?)?0.9974

试题分析：（1）直方图中每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到该校50名学生成绩的平均值；（2）求出直方图中最后两个矩形的面积之和与总人数相乘即可求出这50名学生成绩在（3）X X的所有可能取值为0,1,2,3 分别求出各随机变量的概率，从而可得分布列，?80,100?内的人数；由期望公式可得结果.

2C42PX?2== ?.X的分布列： ?2C1015 数学期望E?X??0? 1824?1??2??. 315155点评：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.

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因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.

综合上面五个方面，概率计算题的核心环节就是把一个随机事件进行类似本题的分拆，这中间有三个概念，事件的互斥，事件的对立和事件的相互独立，在概率的计算中只要弄清楚了这三个概念，根据实际情况对事件进行合理的分拆，就能把复杂事件的概率计算转化为一个个简单事件的概率计算，达到解决问题的目的．在解含有相互独立事件的概率题时，首先把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和，其次将分拆后的每个事件分拆为若干个相互独立事件的乘积，这两个事情做好了，问题的思路就清晰了，接下来就是按照相关的概率值进行计算的问题了，如果某些相互独立事件符合独立重复试验概型，就把这部分归结为用独立重复试验概型，用独立重复试验概型的概率计算公式解答．相当一类概率应用题都是比如掷硬币、掷骰子、摸球等概率模型赋予实际背景后得出来的，我们在解题时就要把实际问题再还原为我们常见的一些概率模型，这就要根据问题的具体情况去分析，对照常见的概率模型，把不影响问题本质的因素去除，抓住问题的本质．求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算．

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