奥赛辅导第三讲动力学一般问题与特殊问题

第三讲 动力学一般问题与特殊问题

湖南郴州市湘南中学 陈礼生

一、知识点击

1．惯性系与牛顿运动定律

⑴惯性系：牛顿运动定律成立的参考系称为惯性参考系．地球参考系可以很好地近似视为惯性参考系一切相对地面静止或匀速直线运动的参考系均可视为惯性参考系． ⑵牛顿运动定律

牛顿第一定律：一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止．牛顿第一定律也称为惯性定律．

牛顿第二定律：物体的加速度与其所受外力的合力成正比，与物体的质量成

???反比，其方向与合外力的方向相同．即F?ma．常作正交分解成：

Fx=max Fy=may Fz=maz

牛顿第三定律：两个物体之间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一直线上． 2．联结体

所谓“联结体”就是一个系统内有若干个物体，它们的运动情况和受力情况都一种关系联系起来．若联结体内（即系统内）各物体只有相同的加速度时应先把这联结体当成一个整体（看成一个质点）．分析这类问题的一般方法是：

（l）将系统中的每个物体隔离开来分别进行受力分析；

（2）对每个物体用牛顿第二、三定律列方程，有的物体可以列互为正交方向上的两个方程；

（3）根据具体情况确定各物体的运动特征量般（如速度、加速度）之间的关系．

在解决联结体问题时确定齐物体加速度之间的关系是｝分币要的．

3．非惯性系

牛顿第一、二定律只适用十某一类参考系、这类参考系叫惯性系．比如地面就是一个相当好的惯性系，太阳是一个非常好的惯性系，一般我们认为，相对地面没有加速度的参考系，都可视为惯性系，相对地而有加速度的参考系，都可视为非惯性系．

在非惯性系中，为了使牛顿第一、二定律在形式上仍然成立，我们可以给每个物体加上一个惯性力F0．F0的大小为ma0（m为研究的物体，a0为所选参考系相对地而的加速度）， F0的方向和a0的方向相反．如果取一个转动的参考系，则要加上惯性离心力F0=mω2 R。

惯性力是一个假想的力，完全是为了使牛顿第一、二定律在非惯性系中也能成立而人为地想象出来的，实际上并不存在．惯性力不存在施力物体，也没有反作用力．惯性力从其性质上来说，也是一个保守力，所以在有些场合也会讨论惯性力的势能． 3．质心运动问题

质心是物体质量中心，由几个质点组成的质点系，若这几个质点所在的位置分别是(x1，y1，z1）、(x2，y2，z2)??则系统的质心位置为

xi??mx?miii yi??my?miii zi??mz?miii

二、方法演练

类型一、牛顿第二定律是动力学的核心，特别是质点系的牛顿第二定律解

题时应用起来特别灵活多变，是解决复杂的动力学问题的主要手段。 例1．如图3—1所示，车厢B底面放一个物体A，已知它们的质量mA =20 kg，mB =30 kg，在水平力F＝120 N作用下，B由静止开始运动，2s内移动5 m，不计地面摩擦，求A在B内移动的距离． 分析和解：本题中由于不计地面摩擦，系统的和外 力就 为F，而在和外力作用下，系统内A、B都 要产生加速度，故须应用质点系的牛顿第二定律求 解。

对整体（质点系）利用牛顿第二定律有

F=mAaA+mBaB，即 120=20aA+30aB 又S?SA?1212aBt22，aB?

52m/s，aA?94m/s

aAt?4.5m即SAB?5m?4.5m?0.5m

例2．一绳跨过装在天花板上的滑轮，绳的一端吊一质量为M的物体，另一端挂一载人梯子，人的质量为m，系统处于平衡状态，不计摩擦及滑轮与绳的质量，如图3—2所示，要使天花板受力为零，试求人应该如何运动． 分析和解：本题中要天花板受力为零，意味着质点系（整体） 质心的加 速度为g，竖直向下，处于完全失重状态．因运 动前系统处于平衡状态，所以梯子的质量为M-m。 由题意知，M向下的加速度为g，而梯子与人的质心向下的 加速度也应为g，才能使天花板受力为零．利用质点系的牛 顿第二定律有

Mac??maii?1i

（取向下为正）

Mg??(M?m)g?maa?(2Mm?1)g（方向向下）

类型二、联结体的动力学问题是一类常见的问题，解题时除应考虑用整体法和隔离法外，还要特别注意是杆系、绳系速度、加速度的关联的类别以及物系内各物体之间是否存在相对速度和相对加速度．

例3．绳EF一端系于轻杆AB中间，如图3—3所示，一端固定在天花板上，轻杆两端各有一质量为m的小球，并通过AC、BC两绳系住一质量为M的小球C，不计绳的质量及绳的体积且AC=BC=AB，求剪断BC绳的瞬间，EF绳的张力T。

分析和解：本题首先是一个联结体的问题，物体系通过杆、

绳连结，受力比较复杂，但同时还是一个力的瞬时性

问题，

连结的杆绳一发生状态或连结情况的变化，所受力立即发 生变化，物系的加速度也将发生瞬时性变化。

设正三角形ABC边长为l，剪断BC绳瞬间AC绳张力为T。 如图3—4， A球的加速度可分解为水平方向ax及竖直方向ay． 注意到剪断BC瞬间TEF方向竖直向上。

2max?Tcos?

l2l2m?()??Tsin??22ay???l2

Tcos?2m由以上三式得：ax?，ay?Tsin?2m

TMa0?gsin??对于C，设其沿绳方向加速度为a0，则有Ma0?Mgsin??T，

又 剪断BC后，AC绳仍绷紧，且A、C无相对转动，所以A、C在沿绳方向加速度相等，即a0?axcos??aysin? 将a0、ax、ay，值代人上式，解得T?2mM2m?Mgsin?

对于TEF，考虑AB杆，注意到其在EF绳限制下质心无竖直方向加速度．TEF?2mg?Tsin??m(8m?7M)2(2m?M)g

例4．如图3—5所示，装有滑轮的桌子，质量m1=15kg。桌子可以无摩擦地沿水平面上滑动，桌子上放质量m2=10 kg的重物A，重物A与桌面间的摩擦因数μ=0.6，当绕过滑轮的绳受到F=78.4 N的水平拉力时，求：（1）桌的加速度；（2）当拉力沿竖直方向时，桌的加速度．

分析和解：本题为联结体问题，但本题的关键是重物与桌面间是否发生相对运动，解题时要先通过计算作出判断，才能最后确定列式解题的 依据。

（1）当拉力为水平方向时，桌子在水平方向受到三个 力作用：上滑轮的绳子拉力F?，水平向左；下滑轮绳 子的拉力F，水平向右；重物对桌的摩擦力f，水平向

右．由牛顿第二定律，得

F?f?F??m1a1

式中a1为桌子加速度．

重物A水平方向受到的力有：绳的拉力F，摩擦力f。当f?fmax??m2g时，重物开始沿桌面运动，这时，对重物A，有F?fmax?m2a1；由桌子受力情况，可求出a1?fmaxm1，

fmaxm1m2m1于是得F?fmax?m2

进一步求出F?(1?)?m2g。

代人有关数字，得F>98N

而实际作用绳上的力仅为78.4 N。因此，重物并未沿桌面滑动，重物随桌子一起以同一加速度运动．

a?Fm1?m2?78.415?10?3.14m/s2

(2)当拉力沿竖直向上方向时，只有在重物沿桌面滑动情况下，桌子才可能沿水平地面运动（当重物静止时，在水平方向它所受的上滑轮绳子拉力与静摩擦力大小相等、方向相反．这样一来，也使桌子所受绳子拉力与静摩擦力恰好平衡）．为此，作用于绳的拉力不得小于重物与桌面间的最大静摩擦力．在所讨论的情况下满足这一条件．桌子水平方向受两个力作用：上滑轮绳子拉力，方向向左；重物对桌面的摩擦力，方向向右．因为F?fmax，所以桌子将向左作加速运动．

a?F?fmaxm1?F??m2gm1?1.31m/s2

类型三、非惯性系的问题在正常的高中物理学习中是不牵涉到的内容，但在解题时利用了参考系的变换，在选择的参考系为非惯性参考系时注意引如惯性力可以是问题得到最大程度的简化。

例5．如图3—6所示，质点A沿半圆弧槽B由静止开始下滑，已知B的质量为M，质点的质量为m，槽的半径为R且光滑，而槽与地面的接触面也是光滑的，试求质点A下滑到任意位置θ角时B对A的作用力． 分析和解：由于槽与地面的接触面是光滑的，质点A沿半圆弧槽B下滑时槽B必然后退，如果要求的是状态量，可以考虑动量和能量的观点来解题，但如果要求的是瞬时量，则常规的解题方法会有很大的困难，利用了参考系的变换，在以B为参考系时注意引入惯性力．是解决这类问题的基本方法。

设M的加速度向左，大小为a，有Fcos??Ma ①

对m以B为参考系，其相对B的速度为u，且必定与圆弧相切．F?macos??mgsin??mu2R ②

根据动量与能量守恒，并设M的速度为?，同时注意m的速度u应转换为

对地速度．M??m ③(水平方向动量守恒） (usi?n?? )mgRsin??12M??212m(u???2u?sin?)

22 ④

2由以上①②③④式可解得F?Mmgsin?(3M?2m?mcos?)(M?mcos?)22

例6．半径为r=9.81 cm的空心球形器皿，内部有一个不大的物体，围绕穿过对称中心的竖直轴旋转．在角速度ω1=5 rad/s时，物体在平衡状态对器壁的压力为N1=10-2N.在平衡状态，物体在什么角速度ω2下对器壁的压力N2＝4×10-2N?物体和器壁内表面的摩擦可忽略不计．重力加速度为g=9．81 m/s2．

分析和解：此处的平衡状态是对旋转参考系 （非惯性系）而言的．图3—7上示出了钵 和位于A点的物体．0点表示球面的中心， 所研讨的钵就是这个球的一部分．转动轴是 用过0点的竖直断续直线表示的，研究平衡

状态，较为方便的是利用半径OA和竖直方向的夹角?．显然，0????2 。

在旋转的非惯性系中，这个不大的物体处于平衡状态，作用在该物体上的重力（mg）和惯性离心力（m?2rsin?）的合力，必须和钵的表面垂直，或者说必须沿半径OA的方向作用．假若我们用ω表示钵与物体的共同角速度，则在平衡状态，从图3一7可知

tan?r?m?rsin?rmg2??rsin?rg2

由上式得sin?r(1cos?r??rg2)?0

式中?r为平衡状态角?的值． 从此式可知有两种情况： 1）sin?r?0，即?r?0．

这个解是始终存在的．物体那时停止钵底上．它对钵壁的压力N=mg． 2）cos?r?g?rg2，即?r?arccosg?r2

gr这个解只有在

?r2?1，或者说???gr?时才可能存在．ωgr的数值可以

算出，为10 rad/s.题中给出的ω1＜ωgr．这意味着物体开始停在钵底．因此它的重量（力）为N1，质量为m?N1g。

现在来计算ω2．在ω2时，对器壁的压力为N2．很明显，ω2必须大于ωgr，否则N2就必须等于N1了．而根据题意，存在不等式N2＞N1．假若物体在A点（sinαA≠0）处于平衡状态，则

sin?A?m?2sin?AN22

N2g??N1rN2N1式中m?

N1g，由此得?2??gr?20rad/s

三、小试身手

1． 如图3—8所示，滑轮左右两边原挂有质量均为M的物块，在右物块上又放

有质量为m的小物块，忽略滑轮和绳的质量及滑轮轴上的摩擦，求左物块上升的加速度，m、M之间的作用力及支点A所受的力．

2． 如图3—9所示，弹簧S1的上端固定在天花板上，下端连一小球A，球A与

球B之间用线相连.球B与球C之间用弹簧S2相连.A、B、C的质量分别为mA、mB、mC，弹簧与线的质量均可不计.开始时它们都处在静止状态.现将A、B间的线突然剪断，求线刚剪断时A、B、C的加速度.

3． 如图3—10所示的轻滑轮跨有一轻绳，绳的两端连接着质

量分别为1 kg和2 kg的物体A和B,现以50 N的恒力F向上提起滑轮的轴，A和B的加速度各为多少？不计滑轮质量及滑轮与绳间摩擦。

4． 质量为M的长平板以速度?0在水平面上作直线运动，长板与地面间的动摩

擦因数为μ2，现将速度为零、质量为m的木块放在长平板上，如图3—11所示．设木块与板之间的滑动摩擦因数为μ1，试问木块在长平板上滑行多长的距离才能与板取得相同的速度？

5．两个相同的条形磁铁，放在平板AB上，磁铁的N、S极如图3—12所示.开

始时平板及磁铁皆处于水平位置，且静止不动.

(i)现将AB突然竖直向下平移(磁铁与平板间始终相互接触)，并使之停在

A′B′处，结果发现两个条形磁铁碰在一起.

(ii)如果将AB从原位置突然竖直向上平移，并使之停在A″B″位置处，结果

发现两条形磁铁也碰在一起.

试定性地解释上述现象.

6． 如图3一13中，是一带有竖直立柱的木块，总质量为M，位于水平地面上，

B是一质量为m的小球，通过一不可伸长的轻绳挂于立柱的顶端，现拉动小球使绳伸直并处于水平位置，然后让小球从静止状态下摆，如在小球与立柱发生碰撞前，木块A始终未发生移动，则木块与地面之间的静摩擦因数至少为多大？（设A不会发生转动）

7． 在20 cm长的细棒正中间固定着一个质点．棒贴着光滑的墙站着，棒的下端

可以沿地面滑动，没有摩擦．棒处于不稳定的平衡状态，将棒稍微歪一点，让它的下端从墙滑开，棒在整个时间内都处于一个平面内．棒的中心接触地面时，就马上站住不动．求棒的中心离墙的最后距离．（棒的质量可以忽略不计）

8． 一半径为R=1.00 m的水平光滑圆桌面，圆心为0，有一竖直的立柱固定在

桌面上的圆心附近，立柱与桌面的交线是一条凸的平滑的封闭曲线C，如图3一14所示一根不可伸长的柔软的细轻绳，一端固定在封闭曲线上的某一点，另一端系一质量为m=7.5×10-2kg的小物块．将小物块放在桌面上并把绳拉直，再给小物块一个方向与绳垂直、大小为?0?4.0m/s的初速度．物块在桌面上运动时，绳将缠绕在立柱上．已知当绳的张力为T0＝2.0 N时，绳即断开，在绳断开前物块始终在桌面上运动． (1)若绳刚要断开时，绳的伸直部分的长度为多少？

(2)若绳刚要断开时，桌面圆心O到绳的伸直部分与封闭曲线的接触点的连线正好与绳的伸直部分垂直，问物块的落地点到桌面圆心O的水平距离为多少？已知桌面高度H=0．80 m．物块在桌面上运动时未与立柱相碰．取重力加速度大小为10 m/s2．

9． 匀速运动着的水平传送带，其速度为?=5 m/s.从不太高的地方放下一个粉笔

骰子，它的一个面是水平的．发现在传送带上粉笔留下一个长度s=5m的划线．稍后，传动装置受阻滞，传送带呈减速运动，加速度为a=5 m/s2． 粉笔在传送带上是否还继续留下划线？有多长？能否准确地计算出，为使粉笔不留划线，传送带的减速值应在什么限度内？

10．一根不可伸长的细轻绳，穿上一粒质量为m的珠子（视为质点），绳的下端

固定在A点，上端系在轻质小环上，小环可沿固定的水平细杆滑动（小环的质量及与细杆摩擦皆可忽略不计）．细杆与A在同一竖直平面内．开始时，珠子紧靠小环，细绳被拉直，如图3一15所示．已知绳长为l，A点到杆的距离为h，绳能承受的最大张力为Td，珠子下滑过程中到达最低点前绳子被拉断．求细绳被拉断时珠子的位置和速度的大小（珠子与绳之间无摩擦）．

11．图3—16中的AOB是游乐场中的滑道模型，它位于竖直平面内,由两个半径

都是R的1/4圆周连接而成，它们的圆心O1、O2与两圆弧的连接点O在同一竖直线上．O2B沿水池的水面．一小滑块可由弧AO的任意点从静止开始下滑．

（1）若小滑块从开始下滑到脱离滑道过程中，在两个圆弧上滑过的弧长相等，则小滑块开始下滑时应在圆弧AO上的何处？（用该处到O1的连线与竖直线的夹角表示）．

（2）凡能在O点脱离滑道的小滑块，其 落水点到O2的距离如何？

12．如图3—17所示，在一个劲度系数为 k的轻质弹簧两端分别拴着一个质量

为 m 的小球A和质量为 2m的小球B．A用细线拴住悬挂起来，系统处于静止状态，此时弹簧长度为l．现将细线烧断，并以此时为计时零点，取一相对地面静止的、竖直向下为正方向的坐标轴Ox，原点O与此时A球的位置重合如图．试求任意时刻两球的坐标．

参考解答

1．解：对左右两物体和m，整体应用牛顿第二定律有：mg=(2M+m)a，

所以左物块上升的加速度a?m2M?mg，

2Mm2M?mgg对m：mg-N=ma，解得m与M之间的作用力N?对左边物体：F-Mg=Ma，所以F?M(g?a)?支点A所受的力T?2F?4M(M?m)2M?mg， ，

2M(M?m)2M?m

2． 解：剪断前线的张力大小为（mB＋mC）g，前断瞬间，弹簧的弹力大小不变，

所以球A所受合力为向上的（mB＋mC）g，其加速度为竖直向上的（mB＋mC）g /mA，球B所受合外力为向下的（mB＋mC）g，其加速度为竖直向下的（mB＋mC）g /mB，球C所受合外力仍为零，所以其加速度仍为零。 3．解：设连接AB的细绳上的张力为T，则对A有：T?mAg?mAaA ①

对B有：T?mBg?mBaB ②

对AB整体有：F?mAg?mBg?mAaA?mBaB ③

由①②③代入数据得：A的加速度为aA?15.2m/s2，B的加速度为

aB?2.7m/s2（方向均垂直向上）。

4．解：对m：?1mg?ma1，得：a1??1g 对M：?1mg??2(M?m)g?Ma2，则：a2?

由运动学知识可知：a1t??0?a2t，s1?解以上各式可得：?s?M?02?1mg??2(M?m)gM2

12a1t，s2??0t?12a2t2，?s?s2?s1

2(?1??2)(M?m)g

5．解：开始时每一磁铁受到另一磁铁的磁吸引力与板对它的静摩擦力平衡，所以静止不动。

（1）从板突然向下平移到停下是先向下加速后向下减速运动，板向下加速时，磁铁对板的弹力减小，最大静摩擦力也减小，当最大静摩擦力小于磁吸引力时，磁铁就沿板相向运动并吸在一起。

（2）从板突然向上平移到停下是先向上加速后向上减速运动，板向上减速时，磁铁对板的弹力减小，最大静摩擦力也减小，当最大静摩擦力小于磁吸引力时，磁铁就沿板相向运动并吸在一起。

6．解：设当小球摆至与水平方向的夹角为θ时小球的速度为?，则

mglsin??12m?2

此时小球受到绳的拉力为T，由于小球做圆周运动，有

12(l?h)的抛物线，如右图所示，图中 12H?（注：以(l?h)，A为焦点．

12y

轴为对称轴、顶点在y1?(l?h)处的抛物线方程为

1??2x??2PY??2P?y?(l?h)???2Py?p(l?h)，

2??与x2??2(l?h)y?(l2?h2)比较，得P?l?h．焦点与顶点的距离为

P2?12(l?h)。

（2）珠子在N点的运动方程

因为忽略绳子的质量，所以可把与珠子接触的那一小段绳子看做是珠子的一部分，则珠子受的力有三个：一个是重力mg；另外两个是两边绳子对珠子的拉力，它们分别沿NB和NA方向，这两个拉力大小相等，皆用T表示，则它们的合力的大小为F?2Tcos?，?为N点两边绳子之间夹角的一半，F沿?ANB的角平分线方向．

因为AN是焦点至N的连线，BN∥Y轴，根据解析几何所证的抛物线性质可知N

??点的法线是?ANB的角平分线，故合力F的方向与N点的法线一致．

由以上的论证，再根据牛顿定律，作一般曲线（抛物线）运动的珠子的运动方程（沿法线方向）应为2Tcos??mgcos??m?2?2?，

即2Tcos??m??mgcos?

式中?是N点处轨道曲线的曲率半径；?为珠子 在N 处时速度的大小．根据机械能守恒定律或运 动学知识可得：??（3）求曲率半径?

当绳子断裂时T＝Td，由(2)中可知，如果我们能另想其他办法求得曲率半径

?与y的关系，就可能由（2）的最后两式求得绳子断裂时珠子的纵坐标y．现

2gy

提出如下一种作法．作一条与小珠轨迹对于x轴呈对称状态的抛物线，如右图所示．由此很容易想到这是一个从高H处平抛物体的轨迹．而平抛运动是我们熟悉的，我们不仅知道其轨迹是抛物线，而且还知道其受力情况及详细的运动学方程．这样我们可不必通过轨迹方程而是运用力学原理分析其运动过程即可求出与N对称的N'点处抛物线的曲率半径?与y 的关系，也就是N处抛物线的曲率半径?与y 的关系．

设从抛出至落地的时间为t，则有?0t?l2?h2，H?由上面二式解得?0?g(l?h) 12(l?h)?12gt2

设物体在N'处的速度为??，由机械能守恒定律或运动学知识可得

????0?2g(H?BN?)

22物体在N'处法线方向的运动方程为mgcos??由以上三式及H?12(l?h)，可求得：??m??2?

2(l?y)cos?2(l?BN?)cos?这也等于N点抛物线的曲率半径，BN=BN′=y，故得??（4）求绳被拉断时小球的位置和速度的大小 把?和?代入式2Tcos??m?2

??mgcos?，可得绳子张力T?mgl2(l?y)

当T=Td时绳子被拉断，设此时珠子的位置坐标为（xd，yd），由上式得

yd?l(1?mg2Td)，代入（1）中运动方程求得xd?mgl(l?hTd)?(l?h)

2绳子断开时珠子速度的大小为?d?2gyd?2gl(1?mg2Td)。

11．解：（1）如图所示，设滑块出发点为P1，离开点为P2，按题意要求O1P1、O2P2与竖直方向的夹角相等，设其为?，若离开滑道时的速度为v，则滑块在P2处脱离滑道的条件是

P1

A O1 ??O P2 ??O2 B

2

mvR?mgcos? (1)

由机械能守恒

2mgR(1?cos?)?12mv2 (2)

(1)、(2)联立解得

co?s?45或??arccos45?3652?

? (3)

（2）设滑块刚能在O点离开滑道的条件是

mv0R2?mg （4）

v0为滑块到达O点的速度，由此得

v0?Rg （5）

设到达O点的速度为v0的滑块在滑道OA上的出发点到O1的连线与竖直的夹角为?0，由机械能守恒，有

mgR(1?cos?0)?12mv0

2（6）

由（5）、（6）两式解得

?0?π3 （7）

若滑块到达O点时的速度v?v0，则对OB滑道来说，因O点可能提供的最大向心力为mg，故滑块将沿半径比R大的圆周的水平切线方向离开O点．对于v?v0的滑块，其在OA上出发点的位置对应的?角必大于?0，即???0，由于?maxvmax??π2，根据机械能守恒，到达2RgO点的最大速度

（8）

由此可知，能从O点离开滑道的滑块速度是v0到vmax之间所有可能的值，也就是说，? 从π3至π2下滑的滑块都将在O点离开滑道．以速度v0从O

点沿水平方向滑出滑道的滑块，其落水点至O2的距离

x0?v0t （9）

R?12gt2 （10）

由（5）、（9）、（10）式得

x0?2R （11）

当滑块以vmax从O点沿水平方向滑出滑道时，其落水点到O2的距离

xmax?vmaxt （12）

由（8）、（10）、（12）式得

xmax?2R （13）

2R因此，凡能从O点脱离滑道的滑块，其落水点到O2的距离在的所有可能值．即

2R?x?2R

到2R之间

（14）

12．解：在地面参考系中，列A、B的牛顿定律方程

ma1?mg?k(x2?x1?l0)

(1??)

2ma2?2mg?k(x2?x1?l0)

(2??)

x1、x2是A、B的坐标，l0是弹簧的自然长．

t?0时，有

O A x1x1?0,x2?l,lv1?0 v2?0

k B x2为初始时即细线刚烧断时刻，弹簧的长度，有关系

k(l?l0)?2mg

x 所以

l0?l?2mgk

由(1??)+(2??)，

a1?2a2?3g

，a是一个恒定的加速度，结合初始条件，a对应的坐标

令a?a1?2a2?3g

和运动方程是，

x1?2x2?2l?32gt2 (3??)

由(2??)?2?(1??)，

2m(a2?a1)??3k(x2?x1?l0)

(4??)

这是一个以A为参考系描写B物体运动的动力学方程，且是简谐的，所以直接写出解答，

x?3k2?x1?l0?Acos?2mt??????? ?结合初条件，

l?l0?Acos?

A3k2msin??0

得到

??0

A?l?l0?2mgk

所以

x2?x1?l0?2mgkcos??3k??2mt??? ?即

x2?x1?l?2mg2mg?3kk?kcos??

?2mt????由(3??)?2?(5??)，得

x1?1??2gt2?4mg??1?3k??3k??cos??2mt??? ???由(3??)+(5??)，得

x2?l?12gt2?2mg??1?cos??3k???3k??t???2m????(5??)

(6??)

?7???

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/bqf.html