2007高考数学试题章节汇编04 平面向量

料 2007年高考数学试题汇编

平面向量

（北京4）

已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2???OA??OB?????OC?????0，那么（ Ａ ） Ａ．???AO?????OD? Ｂ．???AO??2???OD? Ｃ．???AO??3???OD? Ｄ．2???AO?????OD? （辽宁3）

若向量a与b不共线，a?b?0，且c=a-??a?a??a?b??b，则向量a与c的夹角为（ D ）A．0

B．π6 C．π3 D．π2 （辽宁6）

若函数y?f(x)的图象按向量a平移后，得到函数y?f(x?1)?2的图象，则向量a=（ A ）

A．(?1，?2) B．(1，?2) C．(?1，2) D．(1，2) （宁夏，海南4） 已知平面向量a?(11)，，b?(1，?1)，则向量12a?32b?（ Ｄ ） Ａ．(?2，?1) Ｂ．(?21)，

Ｃ．(?1，0)

Ｄ．(1，2) （福建4）

对于向量a，b，c和实数?，下列命题中真命题是（ B ） A．若a?b?0，则a=0或b=0

B．若?a=0，则??0或a?0 C．若a2?b2，则a?b或a=?b

D．若a?b=a?c，则b=c （湖北2）

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料 将y?2cos??x?3?π??π6??的图象按向量a????4，?2???平移，则平移后所得图象的解析式为（ Ａ ） Ａ．y?2cos??xπ??3?4???2

Ｂ．y?2cos??xπ??3?4???2

Ｃ．y?2cos??xπ??3?12???2

Ｄ．y?2cos??xπ??3?12???2

（湖北文9）

设a?(4，3)，a在b上的投影为522，b在x轴上的投影为2，且|b|≤14，则b为（ Ｂ ）A．(2，14) B．??2，?2??2??7?? C．???2，7?? D．(2，8) （湖南4）

设a，b是非零向量，若函数f(x)?(xa?b)?(a?xb)的图象是一条直线，则必有（ A ）A．a⊥b

B．a∥b

C．|a|?|b| D．|a|?|b| （湖南文2） 若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ）

A．???EF?????OF?????OE? B．???EF?????OF?????OE? C．???EF??????OF?????OE?

D．???EF??????OF?????OE? （四川7）

设A｛a,1｝，B｛2，b｝，C｛4,5｝，为坐标平面上三点，O为坐标原点，若OA?与OB?在OC?方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为 （ A ） (A)4a?5b?3

(B)5a?4b?3 (C)4a?5b?14 (D)5a?4b?14 （天津10） 设两个向量a?(??2，?2?cos2?)和b???m，m?sin????2?，其中?，m，?为实数．若a?2b，则?m的取值范围是（ Ａ ） Ａ．[-6，1] Ｂ．[4，8] Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6] （浙江7）

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料 若非零向量a，b满足a?b?b，则（ Ｃ ） Ａ．2a??a?b Ｂ．2a?2a?b Ｃ．2b?a??b

Ｄ． 2b?a?2b

（浙江文9）

若非零向量?a、b?满足｜?a一b?｜＝｜b?｜，则（Ａ） (A) ｜2b?｜＞｜?a一2b?｜ (B) ｜2b?｜＜｜?a一2b?｜ (C) ｜2?a｜＞｜2?a一b?｜ (D) ｜2?a｜＜｜2?a一b?｜

（山东11）

在直角?ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（ C ）

（A）???AC?2????AC?????AB? （B） ???BC?2???BA??????BC?

（C）???AB?2????AC?????CD? （D） ???CD?????????????????2?(AC?AB???)?(BA?BC) AB?2（山东文5） 已知向量a?(1，n)，b?(?1，n)，若2a?b与b垂直，则a?（ Ｃ ） A．1

B．2

C．2

D．4 （重庆5） 在△ABC中，AB?3，A?45?，C?75?，则BC?（ Ａ ）

Ａ．3?3 Ｂ．2 Ｃ．2 Ｄ．3?3 D C （重庆10） 如题（10）图，在四边形ABCD中，???AB?????BD?????DC??4，

???AB?????BD?????BD?????DC??4，???AB?????BD?????BD?????DC??0，

A

B

题（10）图

则(???AB?????DC?)????AC?的值为（ Ｃ ）

Ａ．2 Ｂ．22

Ｃ．4 Ｄ．42 （上海14） 大毛毛虫★倾情搜集★精品资料 料 ??直角坐标系xOy中，i，j分别是与x，y轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若AB?2?i??j,AC?3?i?k?j，则k的可能值个数是（ B ）

Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 （全国Ⅰ3）

已知向量a?(?5，6)，b?(6，5)，则a与b（ A ） A．垂直 B．不垂直也不平行

C．平行且同向

D．平行且反向

（全国Ⅱ5） 在△ABC中，已知D是AB边上一点，若???AD??2???DB?，???CD??1???3CA??????CB?，则??（ A ）

A．23 B．13 C．?123 D．?3

二、填空题 （安徽13） 在四面体O?ABC中，???OA??a，OB?????b，OC?????c，D为BC的中点，E为AD的中点，则???OE?1? 2a?14b?14c （用a，b，c表示）． （北京11．）

已知向量a=?2，，4?b=?11，?．若向量b?(a+?b)，则实数?的值是?3 （北京12．） 10在△ABC中，若tanA?1，C?150?，BC?1，则AB?23

（广东10. ）

1若向量a、b满足a?b?1,a与b的夹角为120°，则a·b?a·b＝ 2 . （湖南12．） 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a?1，b=7，c?3，则B? 5π6 ．

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料 （湖南文12．）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a?1，c?3，C?π3，则A? π6 ． （江西15．） 如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若???AB??mAM?????，???AC??nAN????，则m?n的值为 2 ． （江西文13．）

在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点分别为O(0，0)，B(11)，，则???AB?????AC?? 1 ． （陕西15. ）

如图，平面内有三个向量OA、OB、OC,其中与OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°,且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝23，若OC＝λOA+μOB（λ，μ∈R）,则λ+μ的值为 6 . （天津15．） 如图，在△ABC中，?BAC?120°，AB?2，AC?1，D是边BC上一点，DC?2BD，?8则???AD?·???BC??

3 ．

（天津文15）

在△ABC中，AB?2，AC?3，D是边BC的中点，则???AD?????BC?5?2． （重庆文（13））

在△ABC中，AB=1,BC=2,B=60°，则AC＝ 3 。 （上海文6．）

1若向量?a，?b的夹角为60?，a?b?1，则?a???a??b?? 2 ．

三、解答题：

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料 35．（宁夏，海南）17．（本小题满分12分） 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个侧点C与D．现测得?BCD??，?BDC??，CD?s，并在点C测得塔顶A的仰角为?，求塔高AB．

解：在△BCD中，?CBD?π????． 由正弦定理得BCsin?BDC?CDsin?CBD．

所以BC?CDsin?BDCs·sin?sin?CBD?sin(???)． 在Rt△ABC中，AB?BCtan?ACB?s·tan?sin?sin(???)．

36．（福建）17．（本小题满分12分） 在△ABC中，tanA?14，tanB?35． （Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）若△ABC最大边的边长为17，求最小边的边长． 本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分．

解：（Ⅰ）?C?π?(A?B)， 13?tanC??tan(A?B)??4?5??1．又?0?C?π，?C?3π． 1?14?345（Ⅱ）?C?34?，?AB边最大，即AB?17． 又?tanA?tanB，A，B???0，??????，?角A最小，BC边为最小边．

?由??tanA?sinA1cosA?4，且A??π???0，??sin2A?cos2A?1，?2?， 得sinA?17AB17．由sinC?BCsinAsinA得：BC?AB?sinC?2． 大毛毛虫★倾情搜集★精品资料 料 所以，最小边BC?2． 37．（广东）16.（本小题满分12分） 已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0). （1）若c?5，求sin∠A的值;

（2）若∠A是钝角，求c的取值范围. ???AB??(?3,?4)???????? 解：(1) , AC?(c?3,?4) 当c=5时，AC?(2,?4)

cos?A?cos????AC?,???AB????6?165?25?15sin?A?1?cos2?A?25 进而5

(2)若A为钝角，则

25AB﹒AC= -3(c-3)+( -4)2<0 解得c>3 25显然此时有AB和AC不共线，故当A为钝角时，c的取值范围为[3，+?) 38．（广东文）16．(本小题满分14分) 已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c，0)． (1)若AB?AC?0，求c的值；

(2)若c?5，求sin∠A的值 解: (1) ???AB??(?3,?4) ?A?C???(c?3,?4 ) 由 ?A?B???A?C?????3(c?3)?16?25?c3? 得 c?253 (2) ???AB??(?3,?4) ???AC??(2?,4 )??? cos?A????AB?????AC??6?161225AB?????AC??520?5 sin?A?1?cos?A?5 39．（浙江）（18）（本题14分）已知△ABC的周长为2?1，且sinA?sinB?2sinC．（I）求边AB的长； （II）若△ABC的面积为16sinC，求角C的度数． （18）解：（I）由题意及正弦定理，得AB?BC?AC?2?1，

BC?AC?2AB，

两式相减，得AB?1． 大毛毛虫★倾情搜集★精品资料

料 （II）由△ABC的面积12BC?AC?sinC?16sinC，得BC?AC?13， AC2?BC2?AB2由余弦定理，得cosC?2AC?BC

2

?(AC?BC)2?2AC?BC?AB2AC?BC?12， 所以C?60?．

40．（山东）20（本小题满分12分）如图,甲船以每小时302海里

的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的 北偏西105?的方向B1处,此时两船相距20海里.当甲船航 行20分钟到达A?2处时,乙船航行到甲船的北偏西120方 向的B2处,此时两船相距102海里,问乙船每小时航行多少海里? 解：如图，连结A1B2，A2B202?102，A1A2?60?302?102， ?A1A2B2是等边三角形，?B1A1B2?105??60??45?，

在?A1B2B1中，由余弦定理得

BB2A212?1B21?A1B2?2A1B1?A1B2cos45??202?(102)2?2?20?102?2， 2?200B1B2?102.

因此乙船的速度的大小为10220?60?302. 答：乙船每小时航行302海里. 41．（山东文）17．（本小题满分12分） 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC?37． （1）求cosC； （2）若???CB?????CA??52，且a?b?9，求c． 大毛毛虫★倾情搜集★精品资料 料 解：（1）?tanC?37，?sinCcosC?37

又?sin2C?cos2C?1 解得cosC??18．

?tanC?0，?C是锐角． ?cosC?1． （2）????CB?????8CA??52， ?abcosC?52， ?ab?20． 又?a?b?9 ?a2?2ab?b2?81． ?a2?b2?41．

?c2?a2?b2?2abcosC?36． ?c?6．

42．（上海）17．（本题满分14分）

在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边．若a?2,C?π4，cosB252?5，求△ABC的面积S． 解： 由题意，得cosB?35，B为锐角，sinB?45， sinA?sin(π?B?C)?sin??3π?72?4?B???10， 由正弦定理得 c?107， ? S?1110482ac?sinB?2?2?7?5?7． 43．（全国Ⅰ文）（17）（本小题满分10分）

设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a?2bsinA．

（Ⅰ）求B的大小； （Ⅱ）若a?33，c?5，求b．

解：（Ⅰ）由a?2bsinA，根据正弦定理得sinA?2sinBsinA，所以sinB?12， 由△ABC为锐角三角形得B?π6． （Ⅱ）根据余弦定理，得b2?a2?c2?2accosB?27?25?45?7．

所以，b?7．

44．（全国Ⅱ）17．（本小题满分10分） 在△ABC中，已知内角A???，边BC?23．设内角B?x，周长为y． 大毛毛虫★倾情搜集★精品资料 料 （1）求函数y?f(x)的解析式和定义域； （2）求y的最大值．

解：（1）△ABC的内角和A?B?C??，由A??2?，B?0，C?0得0?B?． ? 应用正弦定理，知

AC?BCsinAsinB?23sinx?4sinxsin?， ?

AB?BCsinAsinC?4sin??2?????x??．

因为y?AB?BC?AC，

所以y?4sinx?4sin??2?2?????x????23???0?x?3??，

（2）因为y?4???sinx??cosx?1sinx??23 ??2???

?43si?????nx?2????3??x??5???????????，

所以，当x??????，即x???时，y取得最大值63． 大毛毛虫★倾情搜集★精品资料 ?

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