第十一章全等三角形综合复习-4

一、学习目标：

1. 复习全等形与全等三角形的概念、全等三角形的判定定理，以及角平分线的作图方法和角平分线的性质等知识，建立知识系统；

2. 使学生总结寻找全等三角形及其全等条件的方法、归纳常见辅助线的作法，使学生掌握分析问题的方法，提升解题能力。

二、重点、难点：

重点：将所学知识科学地组织起来，将其纳入已有的知识结构中。 难点：提升分析问题、解决问题的能力。

三、考点分析：

全等三角形是初中几何的重要内容，也是数学中最基础的知识，是研究平面几何的重要工具。近几年的中考数学试题中，经常将全等与其他知识结合在一起，考查学生综合运用数学知识解决问题的能力，形式多种多样，为全等这一传统的话题增添了新颖的味道。

1. 全等三角形的概念及性质； 2. 三角形全等的判定； 3. 角平分线的性质及判定。

知识点一：证明三角形全等的思路

通过对问题的分析，将解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后，采用哪个全等判

定定理加以证明，可以按下图思路进行分析：

找夹角 SAS 已知两边 找第三边 SSS

找直角 HL

边为角的对边 找任一角 AAS

找夹角的另一边 SAS

已知一边一角

边为角的邻边找夹边的另一角 ASA

找边的对角 AAS

找夹边 ASA 已知两角 找任一对边 AAS

切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。

例1. 如图，A,F,E,B四点共线，AC CE，BD DF，AE BF，AC BD。求证：

ACF BDE。

思路分析：从结论 ACF BDE入手，全等条件只有AC BD；由AE BF两边同时减去EF得到AF BE，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是CF DE，也可以是 A B。

由条件AC CE，BD DF可得 ACE BDF 90，再加上AE BF，AC BD，可以证明 ACE BDF，从而得到 A B。

解答过程： AC CE，BD DF

ACE BDF 90 在Rt ACE与Rt BDF中 AE BF

AC BD

∴Rt ACE Rt BDF(HL)

A B AE BF

AE EF BF EF，即AF BE 在 ACF与 BDE中 AF BE

A B AC BD

ACF BDE(SAS)

解题后的思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论

入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。

小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。

知识点二：构造全等三角形

例2. 如图，在 ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD BE，垂足为D。求证： 2 1 C。

思路分析：直接证明 2 1 C比较困难，我们可以间接证明，即找到 ，证明

2 且 1 C。也可以看成将 2“转移”到 。

那么 在哪里呢？角的对称性提示我们将AD延长交BC于F，则构造了△FBD，可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB，可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C。

解答过程：延长AD交BC于F 在 ABD与 FBD中 ABD FBD

BD BD

ADB FDB 90

ABD FBD(ASA) 2 DFB

又 DFB 1 C 2 1 C。

解题后的思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。

例3. 如图，在 ABC中，AB BC， ABC 90 。F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE BF，连接AE,EF和CF。求证：AE CF。

思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段AE为边的 ABE绕点B顺时针旋转90到 CBF的位置，而线段CF正好是

CBF的边，故只要证明它们全等即可。

解答过程： ABC 90 ，F为AB延长线上一点

ABC CBF 90 在 ABE与 CBF中 AB BC

ABC CBF BE BF

ABE CBF(SAS) AE CF。

解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。

小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。

知识点三：常见辅助线的作法

1. 连接四边形的对角线

例4. 如图，AB//CD，AD//BC，求证：AB CD。

思路分析：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。

解答过程：连接AC

AB//CD，AD//BC 1 2， 3 4 在 ABC与 CDA中 1 2

AC CA 4 3 ABC CDA(ASA) AB CD。

解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。

2. 作垂线，利用角平分线的知识

例5. 如图，AP,CP分别是 ABC外角 MAC和 NCA的平分线，它们交于点P。求证：

BP为 MBN的平分线。

思路分析：要证明“BP为 MBN的平分线”，可以利用点P到BM,BN的距离相等来证明，故应过点P向BM,BN作垂线；另一方面，为了利用已知条件“AP,CP分别是 MAC和 NCA的平分线”，也需要作出点P到两外角两边的距离。

解答过程：过P作PD BM于D，PE AC于E，PF BN于F

AP平分 MAC，PD BM于D，PE AC于E PD PE

CP平分 NCA，PE AC于E，PF BN于F PE PF

PD PE，PE PF

PD PF

PD PF，且PD BM于D，PF BN于F BP为 MBN的平分线。

解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。

3. 倍长中线

在三角形中，常采用延长中线为原来的2倍，构造全等三角形来解题。

例6. 如图，D是 ABC的边BC上的点，且CD AB， ADB BAD，AE是 ABD的中线。求证：AC 2AE。

思路分析：要证明“AC 2AE”，不妨构造出一条等于2AE的线段，然后证其等于AC。因此，延长AE至F，使EF AE。

解答过程：延长AE至点F，使EF AE，连接DF 在 ABE与 FDE中 AE FE

AEB FED BE DE

ABE FDE(SAS) B EDF

ADF ADB EDF， ADC BAD B 又 ADB BAD ADF ADC

AB DF，AB CD DF DC

在 ADF与 ADC中 AD AD

ADF ADC DF DC ADF ADC(SAS) AF AC 又 AF 2AE AC 2AE。

解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。

4. “截长补短”构造全等三角形

例7. 如图，在 ABC中，AB AC， 1 2，P为AD上任意一点。求证：

AB AC PB PC。

思路分析：欲证AB AC PB PC，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段AB AC。而构造

AB AC可以采用“截长”和“补短”两种方法。

解答过程：法一：

在AB上截取AN AC，连接PN 在 APN与 APC中 AN AC

1 2 AP AP

APN APC(SAS) PN PC

在 BPN中，PB PN BN

PB PC AB AC，即AB－AC>PB－PC。

法二：

延长AC至M，使AM AB，连接PM 在 ABP与 AMP中 AB AM

1 2 AP AP

ABP AMP(SAS) PB PM

在 PCM中，CM PM PC AB AC PB PC。

解题后的思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。

小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。

当给定的题设条件及图形并不具有明显的全等条件时，需要我们认真观察、分析，根据图形的结构特点，挖掘潜在因素，通过添加适当的辅助线，巧妙构造全等三角形，借助全等三角形的有关性质，就可迅速找到证题的途径。

一、预习新知

无论是随风起舞的风筝，凌空翱翔的飞机，还是中外各式风格的典型建筑；无论是艺术家的创造，还是日常生活中图案的设计，甚至是照镜子都和对称密不可分。在下一讲我们将认识某些平面图形的对称美，并探索一些最简单的轴对称图形的性质。

二、预习点拨

怎样的两个图形才成轴对称呢？什么样的图形是轴对称图形呢？ 探索一：下列哪些图形是轴对称图形？它们的对称轴在哪里？

探索二：下图是轴对称图形，但是其对称轴另一侧的部分被遮挡住了，该怎样将它补充完整呢？

探索三：如图，存在一个三角形与已知三角形关于已知直线对称，该怎样画出这个三角形呢？

（答题时间：60分钟）

一、选择题：

1. 能使两个直角三角形全等的条件是( )

A. 两直角边对应相等 C. 两锐角对应相等

B. 一锐角对应相等 D. 斜边相等

B. AB 4，BC 3， A 30

D. C 90，AB 6

2. 根据下列条件，能画出唯一 ABC的是( ) A. AB 3，BC 4，CA 8

C. C 60， B 45，AB 4

3. 如图，已知 1 2，AC AD，增加下列条件：①AB AE；②BC ED；③ C D；④ B E。其中能使 ABC AED的条件有( )

A. 4个

B. 3个

C. 2个

D. 1个

4. 如图， 1 2， BCD D，AC,BD交于E点，下列正确的是( )

A. DAE CBE

B. CE DE

D. EAB是等腰三角形

C. DEA不全等于 CBE

5. 如图，已知AB CD，BC AD， B 23，则 D等于( )

A. 67 B. 46 C. 23

D. 无法确定

二、填空题：

6. 如图，在 ABC中， C 90， ABC的平分线BD交AC于点D，且，AC 10cm，则点D到AB的距离等于__________cm；

CD:AD 2:3

7. 如图，已知AB DC，AD BC，E,F是BD上的两点，且BE DF，若

AEB 100 ， ADB 30 ，则 BCF ____________；

8. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠，BC,BD为折痕，则 CBD的大小为_________；

9. 如图，在等腰Rt ABC中， C 90，AC BC，AD平分 BAC交BC于D，

DE AB于E，若AB 10，则 BDE的周长等于____________；

10. 如图，点D,E,F,B在同一条直线上，AB//CD，AE//CF，且AE CF，若

BD 10，BF 2，则EF ___________；

三、解答题： 11. 如图，点M,N分别在BC,AC上，且BM CN，AM与BN ABC为等边三角形，交于Q点。求 AQN的度数。

12. 如图， ACB 90，AC BC，D为AB上一点，AE CD，BF CD，交CD

延长线于F点。求证：BF CE。

一、选择题： 1. A

2. C

3. B

4. C

5. C

二、填空题： 6. 4

7. 70

8. 90

9. 10 10. 6

三、解答题：

11. 解： ABC为等边三角形

AB BC， ABC C 60 在 ABM与 BCN中 AB BC

ABC C BM CN

ABM BCN(SAS) NBC BAM

AQN ABQ BAM ABQ NBC 60 。 12. 证明： AE CD，BF CD F AEC 90 ACE CAE 90 ACB 90

ACE BCF 90 CAE BCF 在 ACE与 CBF中 F AEC

CAE BCF AC BC ACE CBF(AAS) BF CE。

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