三角形 梯形的中位线精典例题
更新时间:2024-07-01 09:48:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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10.三角形、梯形的中位线
知识考点:
掌握三角形、梯形的中位线定理,并会用它们进行有关的论证和计算。
精典例题:
【例1】如图,梯形ABCD中,AD∥BC,M是腰AB的中点,且AD+BC=DC。求证:MD⊥MC。
分析:遇到腰上中点的问题构造梯形中位线可证明,也可以因为腰上有中点,延长DM与CB的延长线交于E点进行证明。
ADACDMNQPEGFBCBDMC例1图 AB
例2图 问题图
【例2】如图,△ABC的三边长分别为AB=14,BC=16,AC=26,P为∠A的平分线AD上一点,且BP⊥AD,M为BC的中点,求PM的长。
分析:∠A的平分线与BP边上的垂线互相重合,通过作辅助线延长BP交AC于点Q,由△ABP≌△AQP知AB=AQ=14,又知M是BC的中点,所以PM是△BQC的中位线,于是本题得以解决。
答案:PM=6 探索与创新:
【问题一】 E、F为凸四边形ABCD的一组对边AD、BC的中点,若EF=
1(AB?CD),2问:ABCD为什么四边形?请说明理由。
分析与结论:如图,利用三角形和梯形的中位线定理,连结AC,取AC的中点G,连EG、FG,则EG∥
111CD,FG∥AB,∴EG+FG=(AB?CD),即EG+FG=EF,则222G点在EF上,EF∥CD,EF∥AB,故AB∥CD。
(1)若AD∥BC,则凸四边形ABCD为平行四边形; (2)若AD不平行于BC,则凸四边形ABCD为梯形。
评注:利用中位线构造出
11CD、AB,其关键是连AC,并取其中点G。 22跟踪训练:
一、填空题:
1、三角形各边长为5、9、12,则连结各边中点所构成的三角形的周长是 。
2、一个等腰梯形的周长为100cm,如果它的中位线与腰长相等,它的高为20cm,那么这个
梯形的面积是 。
3、若梯形中位线被它的两条对角线分成三等分,则梯形的两底之比为 。
4、直角梯形的中位线长为a,一腰长为b,且此腰与底所成的角为600,则这个梯形的面积为 。
5、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,EF是梯形的中位线,G是BC上任意一点,如果
S?GEF?22cm2,那么梯形ABCD的面积是 。
ADANDFAGEQPBDCEFEFMCBGCB
第5题图
第6题图
第7题图
6、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=300,∠C=600,E、F、M、N分别为AB、
CD、BC、DA的中点,已知BC=7,MN=3,则EF= 。
7、如图,D、E、F分别为△ABC三边上的中点,G为AE的中点,BE与DF、DG分别交于P、Q两点,则PQ∶BE= 。
AD8、如图,直角梯形ABCD的中位线EF=a,垂直于底的腰AB=b,则图中阴影部分的面积是 。
9、在梯形ABCD中,AD∥BC,BD是对角线,EF为中位线,若S?ABD∶
EFS?BDC=1∶2,则S梯形AEFD∶S?EBCF= 。
BC填空第8题图 二、选择题:
1、等腰梯形的两条对角线互相垂直,中位线长为8cm,则它的高为( )
A、4 cm B、42cm C、8cm D、82cm 2、已知等腰梯形ABCD中,BC∥AD,它的中位线长为28cm,周长为104cm,AD比AB少6cm,则AD∶AB∶BC=( )
A、8∶12∶5 B、2∶3∶5 C、8∶12∶20 D、9∶12∶19
3、如图,已知△ABC的周长为1,连结△ABC三边的中点构成第二个三角形,再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形,依此类推,第2004个三角形的周长为( ) A、
1111 B、 C、2003 D、2004 2003200422AAHDGAMNOCDETBCBFBC
选择第3题图
选择第4题图
解答第1题图
4、如图,E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点,又AB=DC,下列结论:①EFGH为矩形;②FH平分EG于T;③EG⊥FH;④HF平分∠EHG。其中正确的是( ) A、①和② B、②和③ C、①②④ D、②③④ 三、解答题:
1、如图,在矩形ABCD中,BC=8cm,AC与BD交于O,M、N分别为OA、OD的中点。
(1)求证:四边形BCNM是等腰梯形; (2)求这个等腰梯形的中位线长。
2、如图,在四边形ABCD中,AB>CD,E、F分别是对角线BD、AC的中点,求证:EF>
1(AB?CD) 2ADEFDCEBCFBA解答第2题图
解答第3题图
3、如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=600,AC平分∠DAB,E、F是对角线AC、BD的中点,且EF=a,求梯形ABCD的面积。
跟踪训练参考答案
一、填空题:
1、13;2、500cm2;3、1∶2;4、
13
ab;5、82;6、4;7、1∶4;8、ab;
22
9、5∶7
二、选择题:CDCD 三、解答题:
1、(1)证MN∥BC且MN≠BC;(2)6cm。 2、取BC的中点构造三角形的中位线。
3、解:设上底为x,下底为y,高为h,由题意知EF=
1(y?x),即y?x?2a,2h?3(y?x)?3a,y?x?23h?23?3a?6a,所以: 2梯形ABCD的面积为:
1?6a?3a?33a2 2
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