04+温州2010年度第一学期十校联合体高三期中考试数学理科试卷及答案

2010学年第一学期温州十校联合体高三期中联考

数学（理科）试卷

(完卷时间：120分钟， 满分：150分，本次考试不得使用计算器)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项符合题目要求。 1．设全集U?R，集合A?x0?x?2，B?y1?y?3，则(CUA)?B?（▲ ）

A.

?????2,3? B.???,1???2,??? C.?1,2? D.???,0???1,???

2?z等于 ( ▲ ) 2z2．复数z?1?i（i是虚数单位），则

A.?1?2i B.1?2i C. ?1 D.1?2i

3．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为

5，则判断框中应填入的条件是 ( ▲ ) 6 A．i?5 B．i?6 C．i?5 D．i?6

4．已知条件p：a﹤0，条件q：a﹥a，则?p是?q的（▲ ） A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C．充要条件 D． 既不充分也不必要条件 5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S5?3(a2?a8),则

2a5的值为 （ ▲ ） a35131 B． C． D． 63566．设?,?,?是三个不重合的平面，m,n是不重合的直线，下列判断正确的是(▲ )

A．

A．若???,???则?||? B．若???,l//?,则l?? C．若m||?,n||?则m//n D．若m??,n??则m//n

7．已知f(x)?2sin(2x?[来源:Zxxk.Com]

?)?m在x?[0,]上有两个零点，则m的取值范围为( ▲ ) 62? A．（1，2） B．[1，2] C．[1,2) D．（1，2]

x2y28．已知点P是双曲线2?2?1,(a?0,b?0)右支上一点，F1,F2、分别是双曲线的左、

abS?IPF1右焦点，I为?PF1F2的内心，若

离心率为（▲ ）

?S?IPF21?S?IF1F2 成立，则双曲线的2A．4 B．

5 2C．2 D．

5 3BC的内角C的值为 9．设O为?ABC的外心，且3OA?4OB?5OC?0 ，则?A（▲ ）

???? A．2 B．3 C．4 D．6

10. 对于函数f(x)，若在其定义域内存在两个实数a，b(a＜b)，使当x∈[a，b]时，f(x)的值域也是[a，b]，则称函数f(x)为“科比函数”. 若函数f(x)?k?x?2是“科比函

数”，则实数k的取值范围 （▲ ）

99A．(?,0] B．(?,?2] C．[?2,0] D．[?2,??)

44

二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分 11．(x?)展开式中，常数项是 ▲ ．

12．一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为 ▲ ．

22x62221正视图12侧视图1俯视图

13．某校有6间不同的电脑室，每天晚上至少开放2间，则不同安排方案的种数是 ▲

?????????????????14．对于命题：如果O是线段AB上一点，则|OB|?OA?|OA|?OB?0；将它类比到平面 的情形是：若O是△ABC内一点，有S?OBC?OA?S?OCA?OB?S?OBA?OC?0；将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有 ▲

??????????????|x|?|y|?215.若平面区域?是一个三角形，则k的取值范围是 ▲

?y?2?k(x?1)

16．如图，已知直线

l1//l2,A是l1,l2之间的一定点，并且A到l,l之

12C 3 A 2 B l1l2

间的距离分别为3和2，B是直线l2上一动点，作AC?AB且使AC与直线l1交于点C，则

?ABC的面积的最小值是 ▲

17．下列四个命题：①圆(x?2)2?(y?1)2?4与直线x?2y?0相交，所得弦长为2；②直线y?kx与圆(x?cos?)2?(y?sin?)2?1恒有公共点；③若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为108?；④若棱长为2的正四面体的顶点都在同一

球面上，则该球的体积为号）

3?其中，正确命题的序号为 ▲ 写出所有正确命的序2

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18． (本题满分14分) 在△ABC中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且满足

ccosB?bcosC?4acosA.

(Ⅰ) 求cosA的值; (Ⅱ) 若△ABC的面积是15, 求AB?AC的值.

19．（本小题满分14分）

一袋子中有大小、质量均相同的10个小球，其中标记“开”字的小球有5个，标记“心”字的小球有3个，标记“乐”字的小球有2个．从中任意摸出1个球确定标记后放回袋中，再从中任取1个球．不断重复以上操作，最多取3次，并规定若取出“乐”字球，则停止摸球．求：

（Ⅰ）恰好摸到2个“心”字球的概率； （Ⅱ）摸球次数X的概率分布列和数学期望．

20（本小题满分14分）

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面

PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点．

（I）求证：EF?平面PAD；

（II）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；

[来源:学科网]

21．（本题满分15分）

x2y22已知椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为，椭圆上任意一点到右焦点F的距离

ab2的最大值为2?1。

（I）求椭圆的方程；

（II）已知点C(m,0)是线段OF上一个动点（O为坐标原点），是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得|AC|?|BC|，并说明理由。

[来源:学_科_网Z_X_X_K]

22.已知函数：f(x)?alnx?ax?3(a?R) （1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）若函数y?f(x)的图象在点?2,f(2)?处的切线的倾斜角为45?，对于任意的

t?[1,2]，函数g(x)?x3?x2[f'(x)?的取值范围；

（3）求证：

m]在区间(t,3)上总不是单调函数，求m2ln2ln3ln4ln5lnn1??????(n?2,n?N?)． 2345nn2010学年第一学期温州十校联合体高三期中联考

数学（理科）答案

命题人：(乐清三中)叶杰 张亦新审题人：（柳市中学） 余灵楚

一、选择题（每小题5分，共50分）

1 D[来源:学科网ZXXK]2 A 3 B 4 B 5 A 6 D 7 C 8 C 9 C 10 B 二、填空题（每小题4分，共28分）

?????????????????11.60 12.2 13.57 14. VOBCD?OA?VOACD?OB?VOABD?OC?VOABC?OD?0

2或k??2 16.6 17. (2) (4) 3abc??(18) (Ⅰ) 解: 利用正弦定理, 得 sinAsinBsinC 15. o?k?[来源:Z_xx_k.Com] sinCcosB+sinBcosC = 4sinAcosA, sin(B+C) = 4sinAcosA,

即 sinA = 4cosAsinA, 所以cosA =(Ⅱ) 解: 由(I), 得 sinA =

由题意,得S?ABC?1. ………………(7分) 415, 41bcsinA＝15, 2所以bc = 8,因此AB?AC?2 . ……………(14分)

19．（Ⅰ）解：恰好摸到两个“心”字球的取法共有4种情形：

开心心，心开心，心心开，心心乐． 则恰好摸到2个“心”字球的概率是

P?533332153． …………………(6分) ???3????1010101010101000 （Ⅱ）解：X?1,2,3，

111C8C2C214则 P(X?1)?1?，P(X?2)?1?1?，

C105C10C1025P(X?3)?1?P(X?1)?P(X?2)?故取球次数X的分布列为

16． …………………(10分) 252 3 X P 1 1 54 2516 25

141661EX??1??2??3?． …………………(14分)

5252525

20.（本小题满分14分）

解：方法1：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，AB?AD，

∴AB?平面PAD， …………（4分） ∵E、F为PA、PB的中点，

∴EF//AB，∴EF?平面PAD； …………（6分） （II）解：过P作AD的垂线，垂足为O，

∵平面PAD?平面ABCD，则PO ?平面ABCD． 取AO中点M，连OG，,EO,EM, ∵EF //AB//OG,

∴OG即为面EFG与面ABCD的交线…………（8分） 又EM//OP,则EM?平面ABCD．且OG?AO,

故OG?EO ∴?EOM 即为所求 …………（11分） Rt?EOM中 ，EM＝3,ＯＭ＝１

∴tan?EOM＝3,故 ?EOM＝60?

∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是60? …………（14分）

方法2：（I）证明：过P作P O ?AD于O，∵平面PAD?平面ABCD， 则PO ?平面ABCD，连OG，以OG，OD，OP为x、y、z轴建立空间坐标系， …………（2分）

∵PA＝PD ?AD?4，∴OP?23,OD?OA?2， 得A(0,?2,0),B(4,?2,0),C(4,2,0),D(0,2,0),P(0,0,23)，

M

E(0,?1,3),F(2,?1,3),G(4,0,0)， …………（4分）

故EF?(2,0,0),AD?(0,4,0),PD?(0,2,?23)， ∵EF?AD?0,EF?PD?0，

∴EF ?平面PAD； …………（6分） （II）解：EF?(2,0,0),EG?(4,1,?3)，

设平面EFG的一个法向量为n?(x,y,z),

???n?EF?0?2x?0则?， 取z?1,得n?(0,3,1)， …………（11分） ，即????4x?y?3z?0?n?EG?0,平面ABCD的一个法向量为n1?(0,0,1),……（12分）平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值是：

[来源:学科网]

|cos?n,n1??21..解：

n?n11? ?，锐二面角的大小是60； …………（14分）

|n||n1|2?c2??a?2?e??（1）因为?， …………（4分） a2， 所以???c?1?a?c?2?1?x2?y2?1 …………（6分） ?b?1，椭圆方程为：2（2）由(1)得F(1,0)，所以0?m?1，假设存在满足题意的直线l，设l的方程为

x2y?k(x?1)，代入?y2?1，得(2k2?1)x2?4k2x?2k2?2?0

24k22k2?2,x1x2?2设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1?x2? ①， …………（10分）

2k2?12k?1?2k

2k2?12k2k,?2)， 设AB的中点为M，则M(22k?12k?1?|AC|?|BC|,?CM?AB,即kCM?kAB??1 ?y1?y2?k(x1?x2?2)?4k2?2k?2?2m?2k?0?(1?2m)k2?m 2k?12k?11m，即存在这样的直线l； ?当0?m?时，k??21?2m1 当?m?1，k不存在，即不存在这样的直线l …………（15分）

222、解：（Ⅰ）f'(x)?[来源:学|科|网]

a(1?x)(x?0) ,x[来源:Zxxk.Com][来源:Z&xx&k.Com]

当a?0时，f(x)的单调增区间为?0,1?，减区间为?1,???；

当a?0时，f(x)的单调增区间为?1,???，减区间为?0,1?；

[来源学科网ZXXK]

当a?0时，f(x)不是单调函数-------------------- ………… 5分

a?1得a??2，f(x)??2lnx?2x?3 2m322∴g(x)?x?(?2)x?2x，∴g'(x)?3x?(m?4)x?2-----

2（Ⅱ）f'(2)??∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，且g'?0???2∴?由题意知：对于任意的t?[1,2]，g'(t)?0恒成立， 所以，??g'(1)?0，∴??g'(2)?0?g'(3)?0??g'(t)?0 -------

?g'(3)?037?m??9 3 ………… 11分

（Ⅲ）令a??1此时f(x)??lnx?x?3，所以f(1)??2，

由（Ⅰ）知f(x)??lnx?x?3在(1,??)上单调递增，∴当x?(1,??)时f(x)?f(1)，即?lnx?x?1?0，∴lnx?x?1对一切x?(1,??)成立，

lnnn?1? nnln2ln3ln4lnn123n?11?????????????(n?2,n?N?)234n234nn

∵n?2,n?N*，则有0?lnn?n?1，∴0?………………………………………………………

15分

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