随机过程习题

习题一

1. 某战士有两支枪，射击某目标时命中率分别为0.9及0.5，若随机地用一支枪，射击一发

子弹后发现命中目标，问此枪是哪一支的概率分别为多大？

2. 设随机变量X的概率密度为

?A? f（x）＝?x2?1??0x?0x?0

求：（1）常数A; (2)分布函数F（x）；（3）随机变量Y＝lnX的分布函数及概率分布。

3. 设随机变量（X, Y）的概率密度为 f (x , y) = Asin (x + y ), 0?x ,y?? 2 求：(1) 常数A ；（2）数学期望EX，EY； （3） 方差DX ，DY；(4) 协方差及相关系数。

4. 设随机变量X服从指数分布

?ke?kx f(x)???0x?0 ?k?0? x?0求特征函数?(x),并求数学期望和方差。

5. 设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为?1 和?2的泊松分布，试用特征函数

求Z = X＋Y 随机变量的概率分布。

6．一名矿工陷进一个三扇门的矿井中。第一扇门通到一个隧道，走两小时后他可到达安全区。第二扇门通到又一隧道，走三个小时会使他回到这矿井中。第三扇门通到另一隧道，走五个小时后，仍会使他回到这矿井中。假定矿井中漆黑一团，这矿工总是等可能地在三扇门中选择一扇，让我们计算矿工到达安全区的时间X的矩母函数。

7． 设 （X， Y） 的分布密度为

?4xy，0?x?1, （1） ?(x,y)??其他?0, （2）

0?y?1

?(x,y)???8xy，0?x?1,其他?0,0?y?1

问X，Y是否相互独立？

8. 设（X，Y）的联合分布密度为 X —1 0 1

Y —1 2 11 39 0 ? ? 1 9 问： （1）?， ?取何值时X，Y不相关； （2）?，?取何值时相互独立。

习题二

１．设有两个随机变量X、Ｙ相互独立，它们的概率度分别为fX(x)和fY(y)，定义如下随机过程：

Z(t)?X?Yt，t?R

试求Z(t)的均值函数m(t)和相关函数R(t1,t2)。

２．从t=0开始每隔

1秒丢掷一次硬币（均匀的），对每一个丢掷的时刻t，规定随机变量 2

?cos?t,当时刻t掷出正面X(t)= ?

2t,当时刻t掷出反面?试求：（1）F（

11；x1），F（t1；）（2）F（，1；x1，x2）。 x122３．袋中有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t对应随机变量

?t?,如果t时取得红球 X（t)??3

t??e,如果t时取得白球试求这个随机过程的一维分布函数族。

４．设在时间区间?0,t?内来到某商店的顾客数X(t)是参数λ的泊松过程。Yn为第n个顾客来到的时刻，求Yn的分布函数。

5. 设通过十字路口的车流可以看做泊松过程，如果1分钟内没有车子通过的概率为0.2，求2分钟内有多于一辆车通过的概率。

6.令N(t)表示?0,t?时间内（单位：分）顾客到达某商店的人数，设{Nt}是泊松过程。根据历史资料统计分析，顾客到达该商店的强度是每小时30人。求两个顾客相继到达的时间间隔短于4分钟的概率。

7.一质点从坐标原点出发在数轴上做随机游动，每隔1秒以概率p向右移动一格（1单位长），或以概率q=1—p向左移动一格，以X（n）表示质点在第n秒至n+1秒之间的位置（坐标），则随机过程 ?X(n)，n?0，1，2，??

由于质点随机游动的独立性，它是一个独立增量过程。求X（n）的概率分布及增量X（t+?）—X（t）的概率分布。

8. 求随机过程X(t)?Xsin?t的一维概率密度，其中?为常数，X~N(0,1)。

9.设复随机过程Z（t）=

?A

k?1

n

k

?t，0?t?1，其中eAk（1?k?n）是相互独立且服

ik从N (0，

?2k)的随机变量，

?k(1?k?n)是常数，试求复随机过程Z（t）的均值函数与自

相关函数。

10.设?X(t)，t?0?为一个独立增量过程，且X（0）=0，证明X(t)是个马氏过程。

11.设随机过程X(t)?X0?Vt，t?T，其中X0，V是相互独立的标准正态分布变量，试证X(t)是一个正态过程。

12.设X(t)?S?Vt?At2，t?0，其中S、V、A为相互独立的正态分布变量，试证X(t)是一个正态过程。

习题三

1. 一质点在区间[0,4]中的0,1,2,3,4上作随机游动,移动的规则是:在0点以概率1向右移动

一个单位,在1,2,3点上各以概率1/3向左,向右移动一个单位或留在原处,试求转移概率矩阵.

2. 一个圆周上共有N格（按顺时针排列），一个质点在该圆周上作随机游动，移动的规则

是：质点总是以概率p顺时针游动一格，以概率q=1-p逆时针游动一格。试求移动概率矩阵。

3. 一个质点在全直线的整数点上作随机游动，移动的规则是：以概率p从i移动到i-1，以

概率q从i移到i+1，以概率r停留在i，且r+p+q=1，试求转移概率矩阵。

4. 波利亚（polya）罐子模型

波利亚（polya）罐子模型可描述如下：一个罐子装有r格红球，l个黑球，现随机地从罐中取出一个球，记录其颜色，然后将这个球放回罐中，并且再加进a个同颜色的球。持续地进行这一实验过程，设Xn表示第n次试验结束时罐中实有红球的数目： Xn=i，i?r， I={0，1，2，···，}

不论在时刻n时如何转移到i的，系统在时刻n+1时，必转移到状态i+a或i，因此，{ Xn，n?0}是马氏链。使求它的一步转移概率，并说明此链不是时间齐次的马氏链。

5. 设袋中有a个球，球为黑色的或白色的，今随机地从袋中取一个球，然后放回一个不同

颜色的球。若在袋里有k个白球，则称系统处于状态k，试用马尔可夫链描述这个模型(称为爱伦菲斯特模型)，并求转移概率矩阵。

6．设水库的蓄水情况分为三个状态：空库、半库、蓄满。并分别记为1，2，3。在不同季

节水库蓄水状态可能转变，设它为齐次马氏链，其转移矩阵为

?0.40.50.1??? P1?0.30.30.4 ????0.10.70.2??初始分布行矩阵为P(0)??0.10.10.8?，试求P(2)并指出经过两个季节水库蓄满的概率。

7． 一个开关有两个状态：开、关，分别记为1，2。设

1?1,在时刻n开关处于状态Xn??2 ?2,在时刻n开关处于状态

又设开关现在开着时，经过单位时间后为开或闭的概率都是1/2；而现在关着时，经过

单位时间后，他仍然关着的概率是1/3，开着的概率为2/3。

（1） 试写出马氏链

8． 设马氏链的状态空间为I?{1,2,3},其进一步转移矩阵为

?Xn,n?0?的一步转移矩阵；

（2） 设开始时开关处于状态1，求经过二步转移开关仍处于状态1的概率。

?1?2?1P1???3?0??试研究各状态间的关系。

9．设马氏链

121313?0?1??3?2?3??

?Xn,n?0?的状态空间I??0,1,2?,其一步转移矩阵为

?1?2?1P1???2?0??121413?0?1??4?2?3??

试研究各状态间的关系，并画出状态传递图。

10．设马氏链

?Xn,n?0?的状态空间I??0,1,2,3?,其一步转移矩阵为

?1?2?1?P1??2?1?2??0121214000180?0??0??1?8?1??

试研究各状态间的关系，并画出状态传递图。

11．设马氏链{Xn,n?0}的状态空间I?{0,1,2},其一步转移矩阵为

??0?1P1???2?1??2120121?2?1?? 2?0???试问此链是否具有遍历性，若有，则求其平稳分布。

12．天气预报问题 若明天是否有雨仅与今天天气有关，与过去无关。并设今日有雨、明日也有雨的概率为?，今日无雨、明日也有雨的概率为?。试求：（1）一步转移矩阵；（2）今日有雨且第4日仍有雨的概率（设??0.7,??0.4).。

13．考虑一个通信系统，它通过几个阶段传送数字0和1，设在每一阶段被下一阶段接受的数字仍与者阶段相同的转移概率为0.75.且记第n 阶段接受的数 数字是0，而且第5阶段被接受到的也是0的概率。

Xn，试求进入第1阶段的

14．设建筑物受到地震的损害程度为齐次马氏链，按损害的程度分为5种状态：无损害称为状态1，轻微损害称为状态2，中等损害称为状态3，严重损害称为状态4，全部倒塌称为状态5。设一步转移概率为

00??0.80.20?00.50.40.10???P1??000.40.50.1???0000.20.8???0001??0?

又设初始分布为

p0(1)?1,p0(2)?0,p0(3)?0,p0(4)?0,p0(5)?0

试求接连发生二次地震时，该建筑物出现各种状态的概率是多少？

15．设某河流每日的BOD（生物耗氧量）浓度为齐次马氏链

{Xn,n?1}，状态空间

I?{1,2,3,4}是按BOD浓度极低、低、中、高分别表示为1，2，3，4，其转移矩阵为（以

天为单位）

?0.50.40.10??0.20..50.20.1??P1???0.050.250.60.1???00.20.40.4??

如果BOD浓度高，则称河流处于污染状态。

（1） 说明此马氏链为不可约非周期正常返链； （2） 求此链的平稳分布；

（3） 求河流再次到达污染的平均时间?4。

16.设马氏链的状态空间I?{1,2,3,4}，其一步转移矩阵为

1?0?3?10P1??1?02??01?

试对其状态分类。

1301201?3?0??0??0??

17.设马氏链的状态空间I?{1,2,3,4,5}，其一步转移矩阵为

0??00.50.50?00?00.20.8??P1??0000.40.6???10000???000??10?

试研究各状态的类及周期性。

18.设马氏链的状态空间为I?{1,2,3}，其一步转移矩阵为

?0.50.50???P1??0.50.50??001???

试研究各状态的类，并讨论各状态的遍历性。

19.设马氏链的状态空间为I?{1,2,3,4}，其一步转移矩阵为

01?0?00?1P1??0.30.70??0.60.20.2?

试对各状态进行分类。

0??0?0??0??

20.设?X(t),t?0?为一个时间连续的马氏链，其状态空间I?{0,1}。假定X(t)在时间段?t内改变一次状态（从一个值跳到另一个值）的概率为??t?o(?t)，未曾改变状态的概率为

1???t?o(?t)，而在这段时间内改变多于一次的概率为o(?t)。试求时间t时的转移概率

Pij(t)

（i,j=0，1）。

习题四

1. 已知随机过程X(t)的自相关函数为RX(?)=?性。

2. 随机初相信号X(t)=Acos(

22exp｛－??｝，试判断其连续性和可微

?t+?)，试中A和?均为常数，已知mX(t)=0,

RX(?)=Acos?t/2,?=t－s。信号X(t)在时间T内的积分值为Y(T)=

的均值和方差。

?T0X(t)dt,试求Y(T)

3. 讨论随机过程X(t)=At+Bt+C,(其中A，B，C独立同分布且服从N(0,?22))的均方连续

1性、均方可微性和均方可积性。并求X＇(t),Y(t)=t

?t0X(s)ds的均值函数和相关函数。

4. 讨论随机过程X(t)，(其中X(t)的均值为0，相关函数R(s,t)=1/[a+(s－t)])的均方连续

性、均方可微性

221和均方可积性。并求X＇(t),Y(t)=t

?t0X(s)ds的均值函数和相关函数。

习题五

1. 设Z(t)=Xsint+Ycost,其中X,Y是相互独立同分布的随机变量，其分布列为

X Y -1 2 P 2/3 1/3

证明Z(t)是宽平稳过程。

2．设X(t)?Acos?t?Bsin?t，其中?是常数，A,B是相互独立，且都服从正态分布

N(0,?2)的随机变量，试证明Z(t)是平稳过程。

3．设随机过程X(t)?cos?t，其中?是在?0,2??上均匀分布的随机变量，试证 (1) Xn?X(n)?cosn?，?n?0,?1,?2,??是一个平稳序列。 （2）X(t)，t????,???，不是一个平稳过程。

4．设随机过程X(t)?f(t??)其中f(t)是周期为T的波形，?在区间内为均匀分布的随机变量，证明X(t)是平稳过程。

5.设随机过程X(t)由下列三个样本函数组成，且等概率发生，

X(t,e1)?1，X(t,e2)?sint，X(t,e3)?cost

问：（1）计算均值mx(t)和自相关函数Rx(t1,t2)； （2）该随机过程X(t)是否平稳。

6.设随机过程X(t)=Asin(2?θ1t+θ2)其中A为常数，θ1和θ2为相互独立的随机变量。θ1的概率密度为偶函数，θ2在??.?,??内均匀分布。证明： （1）X(t)为平稳过程； （2）X(t)是均值遍历的

习题六

Y?0,EYn??,令{Y}1. 设n(n?0,1,2,?)为独立随机序列，且0时，

Xn??Ykk?1n，则当??0?Xn?关于?Yn?是下鞅；当??0时，?Xn?关于?Yn?是上鞅。

Y?0,EYn??,令{Y}2.设n(n?0,1,2,?)为独立随机序列，且0Xn??Yk?n?k?1n，则

?Xn?关于?Yn?是鞅。

2. 设

{Yn}(n?0,1,2,?)表示生灭过程各代的个体数，且Y0?1，任意一个个体生育后代

?nYn?的鞅。 X??Yn是一个关于??n的分布为均值，证明

4.（公平博弈的问题）设X1,X2,?独立同分布，分布函数为于是，可以将

P(Xi?1)?P(Xi??1)?12，

Xi看作一个投硬币的游戏的结果：如果出现正面就赢1元，出现反面则输1

元：假设我们按以下的规则来赌博，每次投硬币之前的赌注都比上一次翻一倍，直到赢了赌

博即停，令的鞅。

W?0，X,X,?XnWn表示第n次赌博后所输W（或赢）的总钱数，0则n是关于125.设B(t)是布朗运动，则

2B(t)?t是鞅； （1）

u2exp{uB(t)?t}2是鞅。 （2）对任何的实数u，

习题七

1. 通常假设股票价格服从马尔科夫过程，是什么含义？

2. 假设某股票的价格变化遵循维那过程，其初始价值为20元，估算的时间为一年。在一

年结束时，若资产价值按正态分布，其期望值为10，标准差为1，那么在两年期结束时，资产价值的期望值和标准差是多少？

3. 假定有一支股票价格S遵循一般维那过程，即dS=?dt??dW，在第一年中，?=2，?

=3，若股票价格的初始值为30，则在第二年末股票价格的分布概率为多少？

4. 考虑一种无红利支付的股票，假定价格S遵循过程： ?S??S?t??S??t

其中每年预期收益率为??0.1（以连续复利计），漂移率为??0.3，若初始值为S=20元，试分别解释当时间间隔为一周、一月和一季度时，股票的价格变化规律？

习题八

1. 求随机微分d(eB(t)).

2. 利用伊托公式证明

?t0B2(S)dB(s)?t13B(t)??B(s)ds,k?2

03

3. 设B（t）是标准布朗运动，证明

k EB(t)???t1k(k?1)?Bk?2(s)ds,k?2

02并求出EB(t),EB(t)的值。

?4??6?

4. 设B(t)是标准布朗运动，It?I(B(u),0?u?t)，利用伊托公式证明下列随机过程是关

于It的连续鞅。

（1）X(t)?ecosB(t)； （2）X(t)?esinB(t)

t2t2习题九

1. 若某种股票的初始价格为30美元，年预期收益为15%，年波动性为25%，问在六个月

后，该股票价格的概率分布是什么？并判断在置信度为95%时股票价格的变化范围。

2. 假设某种股票当前的价格为15元，每年的预期收益率为12%，每年的波动率为20%，

则在一年后股票价格的均值和方差是多少？

3. 假设有一股票，其期望收益率为16%，波动性为30%，某天其股票价格为40元，计算

如下问题：（1）预期下一天的股票价格为多少？（2）下一天该股票的标准差为多少？（3）下一天该股票95%的置信度区间为多少？

4. 股票A和股票B均符合几何布朗运动，在任何短时间内二者的变化是不想关的，问由

一股股票A和一股股票B构成的证券组合的价值是否也遵循几何布朗运动？请解释原因。

5.若某种股票价格S遵循几何布朗运动，其期望收益率为dS=

?，波动率为?，即

?Sdt+?SdW 则变量“S”也遵循几何布朗运动

习题十

1． 求无红利支付股票的欧式看涨期权的价格。其中股票的价格为52元，执行价格为50元，

无风险利率是5%，年波动率为30%，到期日为3个月。

2． 求无红利支付股票的欧式看跌期权的价格，其中股票的价格为69元，执行价格为70元，

无风险利率是5%，年波动率为35%，到期日为9个月。

3． 假定某种股票期权的有效期尚剩六个月，此时股票价格为22元，股票期权的协定价格

是20元，无风险利率是5%，每年的易变性是20%。

4． 求无红利支付股票的欧式看涨期权和看跌期权的价值。无红利支付股票的期权，股票的

价格为30元，执行价格为29元，无风险利率是5%，年波动率为25%，到期日为4个月。问：（1）如果是一个欧式看涨期权，计算其价格;(2)如果这是一个欧式看跌期权，计算其价格。

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