2014-2015学年初三第一学期开学测试数学试题

九年级第一学期数学试卷

（考试时间为100分钟，试卷满分为120分）

班级 学号_________ 姓名 分数________

A 卷（共100分）

一、选择题（本题共24分，每小题3分）

1. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）.

A．2,3,2 B．6,8,10 C．4,5,6 D．5,10,12 B

2. 在□ABCD中，如果∠A+∠C＝140°，那么∠C等于（ ）.

A. 20° B. 40° C. 60° D. 70° D

23．用配方法解方程x，下列变形正确的是（ ）. ?4x?2?0

A．( B．( x?2)2?2x?4)2?2C．( D．(x? x?2)2?04)2?1A

4. 由下面条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( ). ．．A．AB∥CD，AD=BC B．AB=CD，AB∥CD C．AB∥CD，AD∥BC A

5. 如图，在△ABC中，点D在BC上，BD=AB，BM⊥AD于点M，N是AC的中点，连接MN，若AB=5，BC=8，则MN的长为( ).

A．6 B．3 C．1.5 D．1 C

6. 某排球队12名队员的年龄情况如下：

年龄（单位：岁） 18 19 20 21 22 23 人 数 2 3 4 1 1 1 BDCA D．AB=CD，AD=BC

MN则这12名队员年龄的众数和中位数是( ).

- 1 -

A.19，20 B.20，20 C.20，20.5 D.23，20.5 B

7．如图，△ABC为等腰三角形，如果把它沿底边BC翻折后，得到△DBC，那么四边形ABDC为( ).

A．一般平行四边形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 D

8. 已知，一次函数y?kx?b的图象如右，下列结论正确的是（ ）. A. k?0，b?0 C. k?0，b?0 B

B. k?0，b?0 D. k?0，b?0

O y DCBAy?kx?b

x 二、填空题（本题共25分，第9～15题每小题3分，第16题4分）

9．一元二次方程x2?2x?0的根是 . 0,2

10.已知菱形的两条对角线长分别是10和12，则菱形的面积是 . 60

11．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E， 如果四边形ABCD的面积为8，那么BE的长为 .

22

CADB

E12.如图，矩形ABCD的对角线AC的长为6，∠AOD=120°，则AB的长为 . 3

OAD

BC13.受冷空气影响，今年我市入春时间晚于常年，据气象部门观测，4月1日到4月5日这五天，北京每天的平均气温（单位：℃）依次为：10，9，10，8，8，

- 2 -

则这组数据的方差为 . 0.8

14.如图，在矩形ABCD中，E是DC上一点，AE=AB，AB=2AD， 则∠EBC的度数是 ．

15°

15．已知整数x满足y1=x+1，y2= -2x+4,对任意一个x，m都取y1 、y2中的最大值，则m的最小值是 ． 2

16. 在平面直角坐标系xOy中, 正方形A1B1C1O、 A2B2C2B1、A3B3C3B2, …,按右图所示的方

式放置. 点A1、A2、A3, …和 B1、B2、B3, … 分别在直线y=kx+b和x轴上. 已知C1(1, -1), C 2(,?), 则点A3的坐标是 ; 点An的坐标是 . (299,);447232yA1OC1B1C2A2B2A3y=kx+bB3xC3?335?()n?1?4,()n?122? 三、解答题（本题共31分，第17题5分，第18～20题每小题6分，第21题8分） 17. 解方程 x2?6x?2?0. 解： x2?6x?2 ………………………1分

x2?6x?32?2?32

?x?3?2?11 ………………………3分

x?3??11 …………………4分 x?3?11

∴x1?3?11，x2?3?11． …………5分

18. 已知：如图，点E，F分别为□ABCD 的边BC， 1AF2DB- 3 -

EC

AD上的点，且?1??2.

求证：AE=CF. 证明：∵□ABCD ∴AB=CD，∠B=∠D 在△ABE和△DCF中

??B??D? ??1??2

?AB?CD?-----------------------------------2分

∴△ABE?△DCF ∴AE=CF

-----------------------------------5分

-----------------------------------6分

219. 已知m2?5m?14?0，求?m?1??2m?1???m?1??1的值． 解：?m?1??2m?1???m?1??1

=2m2?m?2m?1?(m2?2m?1)?1 ………………………2分 =2m2?m?2m?1?m2?2m?1?1 ………………… 3分 =m2?5m?1． ………………………………… 4分 当m2?5m?14时，

原式=(m2?5m)?1?14?1?15. …………… 6分

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y??x?8与

x轴，y轴分别交于点A，点B，点D在y轴的负半轴上，

432若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处.

(1)求AB的长和点C的坐标； (2)求直线CD的解析式．

解：(1)根据题意得A(6,0)，B(0,8).

在Rt△OAB中，?AOB=90?，OA=6，OB=8， ∴ AB?62?82?10.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 1分

∵ △DAB沿直线AD折叠后的对应三角形为△DAC， ∴ AC=AB=10.

∴ OC?OA?AC?OA?AB?16. ∵ 点C在x轴的正半轴上，

- 4 -

∴ 点C的坐标为C(16,0).﹍﹍﹍﹍﹍ 2分 (2)设点D的坐标为D(0,y).（y<0） 由题意可知CD=BD，CD2?BD2. 由勾股定理得162?y2?(8?y)2. 解得y??12.

∴ 点D的坐标为D(0,?12).﹍﹍﹍﹍﹍4分 可设直线CD的解析式为 y?kx?12.（k ? 0）

∵ 点C(16,0)在直线y?kx?12上，

∴ 16k?12?0. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分

解得k?.

∴ 直线CD的解析式为y?x?12.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6分 21.已知△ABC的两边AB、AC的长分别是关于x的一元二次方程x2?(2k?3)x?k2?3k?2?0的两个实数根，第三边BC的长为5. （1）当k为何值时，△ABC是直角三角形；

（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出△ABC的周长. 解：（1）解方程x2?(2k?3)x?k2?3k?2?0， ∵??1，

∴无论k取何值，方程均有实数根x1?k?1，x2?k?2.………2分 不妨设AB?k?1，AC?k?2 ∵第三边BC?5，

∴当△ABC为直角三角形时，分两种情况： ①当BC?5是斜边时，有AB2?AC2?BC2，

即(k?1)2?(k?2)2?25。

解得k1?2，k2??5（舍去）.………………………3分

②当AC为斜边时，有AB2?BC2?AC2 即(k?1)2?52?(k?2)?.

解得k?11.……………………………………4分

所以，当k?2和11时，△ABC为直角三角形。……5分 （2）∵AB?k?1，AC?k?2，BC?5 ∴当△ABC是等腰三角形时，有两种情况 ①AC?BC?5时，k?2?5，∴k?3

∴△ABC的周长为5?5?k?1?14……………………………6分 ②AB?BC?5时，k?1?5，∴k?4.

∴△ABC的周长为5?5?k?2?16.……………7分 故当k?3和4时，△ABC是等腰三角形， △ABC的周长分别是14和16.……………8分

3434

四、解答题（本题5分）

22. 如图，正方形ABCD的两条对角线把正方形ABCD分割成四个全等的等腰直角三角形，将它们分别沿正方形ABCD的边翻折，可得到一个面积是原正方形

- 5 -

ABCD面积2倍的新正方形EFGH.

请你仿照示例在图1，图2，图3中完成：将矩形分割成四个三角形，然后将其沿矩形的边翻折，分别得到面积是原矩形面积2倍的三个新的四边形：菱形、矩形、一般的平行四边形.

E

D A OHF

C B

G

图1图2图322.解：如图所示，图1为得到的是菱形. …………………1分 图2为得到的是矩形. …………………3分

图3为得到的是一般的平行四边形. …5分

图1图2图3

五、解答题（本题共15分，23题7分，24题8分）

23. 如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.

（1）求证：DE－BF＝EF；

（2）若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）； （3）若AB=2a，点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并通过计算来验证你的结论.

- 6 -

解：（1）证明：

∵四边形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG ∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90° ∴∠BAF=∠ADE 1分 ∴△ABF≌△DAE 2分 ∴BF=AE，AF=DE

∴DE-BF=AF-AE=EF 3分 （2）如图②，DE+BF=EF 5分 （3）EF=2FG

∵AB=2a，点G为BC边中点 ∴BG=a

由勾股定理可求AG?5a 又∵AB⊥BC，BF⊥AC ∴由等积法可求BF?25a 5545a，AF?a 55 由勾股定理可求FG?25a 5 ?AE?BF? ?EF?25a 5 ∴EF=2FG

7分

124 如图，在平面直角坐标系中，直线y??x?b(b?0)分别交x轴、y轴于A、B20)、D(8，0)，以CD为一边在x轴上方作矩两点．点C(4，F:CD?1:2．形CDEF，且C设矩形CDEF与△ABO重

叠部分的面积为S．

（1）求点E、F的坐标；

（2）当b值由小到大变化时，求S与b的函数关系式；

yBOFCAEDx- 7 -

1（3）若在直线y??x?b(b?0)上存在点Q，使∠OQC等于90，请直接写出b．．2的取值范围．

0)，D(8，0)， 解：（1）∵C(4，∴E(8，2)，F(4，2)．………………………2分

（2）由题意，可知A(2b，0)，B(0，b)

①当0

②当2

xOCAD图1 y图2y BB GEF HFE xOCDAODxCA 图3图4③当46时，如图4，S?8．………………………………………………7分

（3）0?b≤5?1． ………………………………………………………8分

B 卷（共20分）

一、填空题（本题6分）

1．如图，正方形ABCO放在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，A、C两点分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，点B的坐标为（-4，4）．已知点E、点F分别从点A、B同时出发，点E以每秒2个单位长度的速度在线段AB上来回运动．点F沿B→C→O方向，以每秒1个单位长度的速度向点O运动，当点F到达点O时，E、F两点都停止运动．在E、F的运动过程中，存在某个时刻，使得△OEF的面积为6．则点E的坐标为 . ．

- 8 -

解：设时间为t秒

①当0＜t≤2时，AE=2t，BE=4-2t，BF=t，FC=4-t，CD=4， s△OEF=s正方形OABC-S△AEO-S△BEF-S△OCF=16-4t-2（4-t）-t（2-t）=t2-4t+8， ∵s△OEF=6，即t2-4t+8=6，解得t=2+2或t=2-2，又∵0＜t≤2，∴t=2-2． 此时，点E的坐标为（-4，4-22）；

②当2＜t≤4时，AE=8-2t，BE=2t-4，BF=t，FC=4-t，CD=4，

s△OEF=s正方形OABC-S△AEO-S△BEF-S△OCF=16-4（4-t）-2（4-t）-t（t-2）=-t2+8t-8，

∵s△OEF=6，即-t2+8t-8=6，解得t=4+2或t=4-2，又∵2＜t≤4，∴t=4-2． 此时，点E的坐标为（-4，22）；

③当4＜t＜8时，FC=t-4，OF=8-t， s△OEF=2×(8?t)=16-2t，

∵s△OEF=6，即16-2t=6，解得t=5，此时，点E的坐标为（-4，2）； 故点E的坐标为（-4，4-22），（-4，22），（-4，2）．

二、解答题（本题14分，每题7分）

°，2.在△ABC中，AB?BC?2，?ABC?120将△ABC绕点B顺时针旋转角

AC、BC于?(0°???90°)得△A1BC1，A1B交AC于点E，AC11分别交

D、F两点．

（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；

（2）如图2，当??30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由； （3）在（2）的情况下，求ED的长．

C D F B C C1

A1E A D F C1

A1 A E B 解：（1）猜想：EA1=FC

- 9 -

证法一：∵AB=BC ∴∠A=∠C

由旋转可知，AB=BC1，∠A=∠C1，∠ABE=∠C1BF ∴△AABE≌△ClBF（ASA） ∴BE=BF 又∵BA1=BC ∴BA1-BE=BC-BF 即EA1=FC；

（2）四边形BC1DA是菱形 证明：∵∠A1=∠ABA1=30° ∴A1C1∥AB 同理AC//BC1

∴四边形BC1DA是平行四边形 又∴AB=BCl

∴四边形BC1DA是菱形；

（3）过点E作EG⊥AB于点G．则AG=BG=1 在RtAEG中，AE=∴AD=AB=2

由（2）知四边形BClDA是菱形

23 323； 33. 如图，矩形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，点B的坐标是(3,1)，

∴ED=AD-AE=2-点D是AB边上一个动点（与点A不重合），沿OD将△OAD翻折，点A落在点 P处．

（1）若点P在一次函数y?2x?1的图象上，求点P的坐标；

（2）若点P满足△PCB是等腰三角形，求点P的坐标； （3）当线段OD与PC所在直线垂直时，在PC所在直线上作出一点M，使DM+BM最小，并求出这个最小值．

yADPO

ByyB

xAABC

xOCxOC （第3题图） （第3题备用图1） （第3题备用图2）

- 10 -

解：（1） ∵∴BC=OA=OP=1，

∵点P在一次函数y=2x-1的图象上， ∴设P（x，2x-1），

如图（1），过P作PH⊥x轴于H，

在Rt△OPH中，PH=2x-1，OH=x，OP=1， ∴x2+（2x-1）2 =1，

解得x1=4/5，x2=0（不合题意，舍去） ∴P（4/5，3/5）；

（2）连接P、PC，

①若PB=PC，则P在BC中垂线y=1/2上， ∴设P（x，1/2），

如图（2），过P作PH⊥x轴于H， 在Rt△OPH中，PH=1/2，OH=x，OP=1，

∴x2+=1

解得

∴

②若BP=BC，则BP=1， 连接OB， ∵OP=1，

- 11 -

∴OP+PB=2，

∵在Rt△OBC中，∠OCB=90°，OB=∴OP+PB=OB，

∴O、P、B三点共线，P为OB中点，

③若CP=CB，则CP=1，

∴PO=PC，则P在OC中垂线上，

∴设，过P作PH⊥x轴于H，

在Rt△OPH中，

∴y2+

=1，

解得：y1=1/2，y2=-1/2 时，

∴

当点

时，∠AOP=120°，此时∠AOD=60°，点D与点B重合，符合题意，

（3）如图（3），∵△OAD沿OD翻折，点A落在点P处， ∴OD垂直平分AP， ∵PC⊥OD，

∴A、P、C三点共线，

在Rt△AOD中，∠OAD=90°，OA=1， 又可得：∠AOD=30°，

- 12 -

∴AD=AO · tan30°=，

∴

作点B关于直线AC的对称点B′，过点B′作B′N⊥AB于点N，连接DB′，DB′与AC交点为M，此点为所求点，

∵∠ACB′- ∠ACB=60°，∠ACO=30°， ∴∠B′CO=30°， ∵B′C=BC=1，

∴

在Rt△B′ND中，

∠B′ND=90°，B′N=3/2，DN=AN-AD =

∴

∴DM+ BM的最小值为。

- 13 -

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