中考数学复习专题练习：圆的有关计算(解析版)

中考数学复习专题练习：圆的有关计算

一、单选题（共12题；共24分）

1、如图，在边长为1的正方形中，以各顶点为圆心，对角线的长的一半为半径在正方形内画弧，则图中阴影部分的面积为（）

A、2-π

B 、π

C 、-1

D 、

2、在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作弧BAC，如图所示．若AB=4，AC=2，S1-S2=，则S3-S4的值是（）

A 、

B 、

C 、

D 、3、如图所示是某公园为迎接“中国﹣﹣南亚博览会”设置的一休闲区．∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区(阴影部分)的面积是()

A 、米2

B 、米2

C 、米2

D 、米2

4、如图，⊙O中，半径OA=4,∠AOB=120°，用阴影部分的扇形围成的圆锥底面圆的半径长是（）.

A、1

B 、

C 、

D、2

5、如图，正方形ABCD的边长为1，分别以顶点A、B、C、D为圆心，1为半径画弧，四条弧交于点E、F、G、H，则图中阴影部分的外围周长为（）

A 、π

B 、π

C、π

D 、π

6、如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（）

A、3π

B、6π

C、5π

D、4π

7、如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）

A、30πcm2

B、48πcm2

C、60πcm2

D、80πcm2

8、如图，是一圆锥的左视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角的大小为（）

A、90°

B、120°

C、135°

D、150°

9、如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）

A、10cm

B、15cm

C、10 cm

D、20 cm

10、半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是（）

A、3π

B、6π

C、9π

D、12π

11、如图，有一内部装有水的直圆柱形水桶，桶高20公分；另有一直圆柱形的实心铁柱，柱高30公分，直立放置于水桶底面上，水桶内的水面高度为12公分，且水桶与铁柱的底面半径比为2：1．今小贤将铁柱移至水桶外部，过程中水桶内的水量未改变，若不计水桶厚度，则水桶内的水面高度变为多少公分？（）

A、4.5

B、6

C、8

D、9

12、如图，边长为4的正方形ABCD内接于点O，点E是上的一动点（不与A、B重合），点F是上的一点，连接OE、OF，分别与AB、BC交于点G，H，且∠EOF=90°，有以下结论，其中正确的个数是（）. ①= ；②△OGH是等腰三角形；③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；④△GBH周长的最小值为4+ .

A、1

B、2

C、3

D、4

二、填空题（共5题；共5分）

13、一个侧面积为16 πcm2的圆锥，其主视图为等腰直角三角形，则这个圆锥的高为________cm．

14、如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为r上，下方的弧半径为r下，则r上________r 下

．（填“＜”“=”“＜”）

15、如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积是________．

16、如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠A=∠D，CD=3，则图中阴影部分的面积为________．

17、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是________．

三、综合题（共6题；共78分）

18、如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B 的直线相交于点E，且∠A=∠EBC ．

(1)求证：BE是⊙O的切线；

(2)已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BG?BA=48，FG= ，DF=2BF，求AH的值．

19、如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°不变．

(1)求证：= ；

(2)求证：AF⊥FM；

(3)请探索：在∠MAN的旋转过程中，当∠BAM等于多少度时，∠FMN=∠BAM？写出你的探索结论，并加以证明．

20、问题背景：

如图①，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系．

小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图②），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE= CD，从而得出结论：AC+BC= CD．简单应用：

(1)在图①中，若AC= ，BC=2 ，则CD=________．

(2)如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙上，= ，若AB=13，BC=12，求CD的长．拓展规律：

(3)如图④，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，BC=n（m＜n），求CD的长（用含m，n 的代数式表示）

(4)如图⑤，∠ACB=90°，AC=BC，点P为AB的中点，若点E满足AE= AC，CE=CA，点Q为AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是________．

21、问题探究：

①新知学习

若把将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“面线”，其“面线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“面径”（例如圆的直径就是圆的“面径”）．

②解决问题

已知等边三角形ABC的边长为2．

(1)如图一，若AD⊥BC，垂足为D，试说明AD是△ABC的一条面径，并求AD的长；

(2)如图二，若ME∥BC，且ME是△ABC的一条面径，求面径ME的长；

(3)如图三，已知D为BC的中点，连接AD，M为AB上的一点（0＜AM＜1），E是DC上的一点，连接ME，ME与AD交于点O，且S△MOA=S△DOE．

①求证：ME是△ABC的面径；

②连接AE，求证：MD∥AE；

(4)请你猜测等边三角形ABC的面径长l的取值范围（直接写出结果）

22、如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．

(1)求证：BD=CD；

(2)若圆O的半径为3，求的长．

23、（?徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B （0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点

D

(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；

(2)若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为________；(3)M（x，t）为抛物线对称轴上一动点

①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个；

②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．

答案解析

一、单选题

【答案】A

【考点】扇形面积的计算

【解析】

【解答】图中阴影部分可以分为四个相同的图形1，图形1如下图所示：

图中阴影部分的面积=四个相同的图形1的面积之和，

图形1的面积=四边形的面积-两个全等的弓形面积，四边形和弓形如下图所示：

四边形的面积=2×××（1-)=，

弓形的面积=扇形的面积-三角形的面积，扇形和三角形如下图所示：

扇形的面积=×LR= × × ×=，

三角形面积=×底×高= × ×=，弓形的面积=，

图形1的面积=，

图中阴影部分的面积=4×图形1的面积=2-π．

故选A．

【分析】图中阴影部分可以分为四个相同的图形1，

图中阴影部分的面积=四个相同的图形1的面积之和，

图形1的面积=四边形的面积-两个全等的弓形面积，

由此可计算出阴影部分的面积．

【答案】D

【考点】扇形面积的计算

【解析】

【解答】∵AB=4，AC=2，

∴S1+S3=2π，S2+S4=，

∵S1-S2=，

∴（S1+S3）-（S2+S4）=（S1-S2）+（S3-S4）=π

∴S3-S4=π，

故选：D．

【分析】首先根据AB、AC的长求得S1+S3和S2+S4的值，然后两值相减即可求得结论．

【答案】C

【考点】平行线的性质，勾股定理，扇形面积的计算，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值【解析】【解答】如图：

连接OD，

∵弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，∴AC=OC=OA=3米.

∵∠AOB=90°，CD∥OB，∴CD⊥OA.

在Rt△OCD中，∵OD=6，OC=3，∴米.

∴. ∴∠DOC=60°.

∴S阴影=S扇形ACD-S△OCD =（米2）.

故选C.

【分析】先根据半径OA长是6米，C是OA的中点可知OC=OA=3米，再在Rt△OCD中，利用勾股定理求出CD的长，根据锐角三角函数的定义求出∠DOC的度数，由S阴影=S扇形AOD-S△DOC即可得出结论．

【答案】B

【考点】弧长的计算，圆锥的计算

【解析】【解答】∵⊙O中，半径OA=4，∠AOB=120°，

∴扇形弧长为：，

则由圆锥的底面圆的周长为：．

解得：．

故选B．【分析】利用扇形的半径以及以及在圆中所占比例，得出圆心角的度数，再利用圆锥底面圆周长等于扇形弧长求出即可．

【答案】B

【考点】正方形的性质，弧长的计算

【解析】【解答】如图，

连接AF、DF，

由圆的定义，AD=AF=DF，

所以，△ADF是等边三角形，

∵∠BAD=90°，∠FAD=60°，

∴∠BAF=90°-60°=30°，

同理，弧DE的圆心角是30°，

∴弧EF的圆心角是90°-30°×2=30°，

∴EF=

由对称性知，图中阴影部分的外围四条弧都相等，

所以，图中阴影部分的外围周长= ×4=π

故选B．

【分析】连接AF、DF，根据圆的定义判断出△ADF是等边三角形，根据正方形和等边三角形的性质求出∠BAF=30°，同理可得弧DE的圆心角是30°，然后求出弧EF的圆心角是30°，再根据弧长公式求出弧EF的长，然后根据对称性，图中阴影部分的外围四条弧都相等列式计算即可得解．【答案】B

【考点】扇形面积的计算，旋转的性质

【解析】【解答】阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．

则阴影部分的面积是：=6π故选B．

【分析】根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积．即可求解．

【答案】C

【考点】圆锥的计算

【解析】【解答】解：∵h=8，r=6，

可设圆锥母线长为l，

由勾股定理，l= =10，圆锥侧面展开图的面积为：S侧= ×2×6π×10=60π，

所以圆锥的侧面积为60πcm2．

故选：C．

【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．本题主要考察圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．

【答案】B

【考点】圆锥的计算，由三视图判断几何体

【解析】【解答】解：∵圆锥的底面半径为3，

∴圆锥的底面周长为6π，

∵圆锥的高是6 ，∴圆锥的母线长为=9，

设扇形的圆心角为n°，

∴=6π，

解得n=120．

答：圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°．

故选B．

【分析】根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据勾股定理得到圆锥的母线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角．本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．

【答案】D

【考点】圆锥的计算

【解析】【解答】解：过O作OE⊥AB于E，∵OA=OD=60cm，∠AOB=120°，

∴∠A=∠B=30°，

∴OE= OA=30cm，∴弧CD的长= =20π，

设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，解得r=10，

∴圆锥的高= =20 ．

故选D．

【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长，设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到r，然后利用勾股定理计算出圆锥的高．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

【答案】D

【考点】扇形面积的计算

【解析】【解答】解：S= =12π，

故选：D．

【分析】根据扇形的面积公式S= 计算即可．本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S= 是解题的关键．

【答案】D

【考点】圆柱的计算

【解析】【解答】解：∵水桶底面半径：铁柱底面半径=2：1，

∴水桶底面积：铁柱底面积=22：12=4：1，

设铁柱底面积为a，水桶底面积为4a，

则水桶底面扣除铁柱部分的环形区域面积为4a﹣a=3a，

∵原有的水量为3a×12=36a，

∴水桶内的水面高度变为=9（公分）．

故选D．

【分析】由水桶底面半径：铁柱底面半径=2：1，得到水桶底面积：铁柱底面积=22：12=4：1，设铁柱底面积为a，水桶底面积为4a，于是得到水桶底面扣除铁柱部分的环形区域面积为4a﹣a=3a，根据原有的水量为3a×12=36a，即可得到结论．本题考查了圆柱的计算，正确的理解题意是解题的关键．

【答案】B

【考点】圆的综合题

【解析】【解答】解：解：①如图所示，

∵∠BOE+∠BOF=90°，∠COF+∠BOF=90°，

∴∠BOE=∠COF，

在△BOE与△COF中，

∴△BOE≌△COF，

∴BE=CF，∴= ，①正确；

②∵BE=CF，

∴△BOG≌△COH；

∵∠BOG=∠COH，∠COH+∠OBF=90°，

∴∠GOH=90°，OG=OH，

∴△OGH是等腰直角三角形，②正确．

③如图所示，

∵△HOM≌△GON，

∴四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积，③错误；

④∵△BOG≌△COH，

∴BG=CH，

∴BG+BH=BC=4，

设BG=x，则BH=4-x，

则GH= ，

∴其最小值为2 ，D错误.

故选B

【分析】①根据ASA可证△BOE≌△COF，根据全等三角形的性质得到BE=CF，根据等弦对等弧得到= 可以判断①正确；

②根据SAS可证△BOG≌△COH，根据全等三角形的性质得到∠GOH=90°，OG=OH，根据等腰直角三角形的判定得到△OGH是等腰直角三角形，可以判断②正确；

③通过证明△HOM≌△GON，可得四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积，可以判断③错误；

④根据△BOG≌△COH可知BG=CH，则BG+BH=BC=4，设BG=x，则BH=4-x，根据勾股定理得到GH= ，可以求得其最小值，可以判断④错误．

二、填空题

【答案】4

【考点】圆锥的计算，由三视图判断几何体，等腰直角三角形

【解析】【解答】解：设底面半径为r，母线为l，

∵主视图为等腰直角三角形，

∴2r= l，

∴侧面积S侧=πrl=2πr2=16 πcm2，

解得r=4，l=4 ，

∴圆锥的高h=4cm，

故答案为：4．

【分析】设底面半径为r，母线为l，由轴截面是等腰直角三角形，得出2r= l，代入S侧=πrl，求出r，l，从而求得圆锥的高．本题考查了圆锥的计算，解题的关键是能够熟练掌握有关的计算公式，难度不大．

【答案】<

【考点】弧长的计算

【解析】【解答】解：如图，r上＜r下．

故答案为＜．

【分析】利用垂径定理，分别作出两段弧所在圆的圆心，然后比较两个圆的半径即可．本题考查了弧长公式：圆周长公式：C=2πR （2）弧长公式：l= （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）；正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．

【答案】3π

【考点】圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算

【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠C=60°，

根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120°，

∴阴影部分的面积是=3π，

故答案为：3π．

【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算可得．本题主要考查扇形面积的计算和圆周角定理，根据等边三角形性质和圆周角定理求得圆心角度数是解题的关键．

【答案】

【考点】圆周角定理，切线的性质，扇形面积的计算

【解析】【解答】解：连接OC，

∵过点C的切线交AB的延长线于点D，

∴OC⊥CD，

∴∠OCD=90°，

即∠D+∠COD=90°，

∵AO=CO，

∴∠A=∠ACO，

∴∠COD=2∠A，

∵∠A=∠D，

∴∠COD=2∠D，

∴3∠D=90°，∴∠D=30°，∴∠COD=60°∵CD=3，

∴OC=3×= ，∴阴影部分的面积= ×3×﹣= ，故答案为：．

【分析】连接OC，可求得△OCD和扇形OCB的面积，进而可求出图中阴影部分的面积．本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键．求出∠D=30°是解题的突破口．

【答案】6

【考点】圆的综合题

【解析】【解答】解：∵A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），

∴AB=1﹣（1﹣a）=a，CA=a+1﹣1=a，

∴AB=AC，

∵∠BPC=90°，

∴PA=AB=AC=a，

如图延长AD交⊙D于P′，此时AP′最大，

∵A（1，0），D（4，4），

∴AD=5，

∴AP′=5+1=6，

∴a的最大值为6．

故答案为6．【分析】首先证明AB=AC=a，根据条件可知PA=AB=AC=a，求出⊙D上到点A的最大距离即可解决问题．本题考查圆、最值问题、直角三角形性质等知识，解题的关键是发现PA=AB=AC=a，求出点P到点A的最大距离即可解决问题，属于中考常考题型．

三、综合题

【答案】

（1）证明：连接CD，

∵BD是直径，

∴∠BCD=90°，即∠D+∠CBD=90°，

∵∠A=∠D，∠A=∠EBC，

∴∠CBD+∠EBC=90°，

∴BE⊥BD，

∴BE是⊙O切线．

（2）解：∵CG∥EB，

∴∠BCG=∠EBC，

∴∠A=∠BCG，

∵∠CBG=∠ABC

∴△ABC∽△CBG，

∴，即BC2=B G?BA=48，

∴BC=4 ，

∵CG∥EB，

∴CF⊥BD，

∴△BFC∽△BCD，

∴BC2=BF?BD，

∵DF=2BF，

∴BF=4，

在RT△BCF中，CF= =4 ，

∴CG=CF+FG=5 ，

在RT△BFG中，BG= =3 ，

∵BG?BA=48，

∴即AG=5 ，

∴CG=AG，

∴∠A=∠ACG=∠BCG，∠CFH=∠CFB=90°，

∴∠CHF=∠CBF，

∴CH=CB=4 ，

∵△ABC∽△CBG，

∴，

∴AC= ，

∴AH=AC﹣CH= ．

【考点】三角形的外接圆与外心，切线的判定，圆的综合题

【解析】【分析】（1）欲证明BE是⊙O的切线，只要证明∠EBD=90°．

（2）由△ABC∽△CBG，得= 求出BC，再由△BFC∽△BCD，得BC2=BF?BD求出BF，CF，CG，GB，再通过计算发现CG=AG，进而可以证明CH=CB，求出AC即可解决问题．本题考查切线的判定、圆的有关知识、相似三角形的判定和性质、勾股定理．等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是巧妙利用相似三角形的性质解决问题，属于中考压轴题．

【答案】

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=90°，

∵∠MAN=45°，

∴∠MAF=∠MBE，

∴A、B、M、F四点共圆，

∴∠ABM+∠AFM=180°，

∴∠AFM=90°，

∴∠FAM=∠FMA=45°，

∴AM= AF，

（2）证明：由（1）可知∠AFM=90°，

∴AF⊥FM

（3）结论：∠BAM=22.5时，∠FMN=∠BAM

理由：

∵A、B、M、F四点共圆，

∴∠BAM=∠EFM，

∵∠BAM=∠FMN，

∴∠EFM=∠FMN，

∴MN∥BD，

∴，∵CB=DC，

∴CM=CN，

∴MB=DN，

在△ABM和△ADN中，

，

∴△ABM≌△ADN，

∴∠BAM=∠DAN，

∵∠MAN=45°，

∴∠BAM+∠DAN=45°，

∴∠BAM=22.5°．

【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆的综合题

【解析】【分析】（1）先证明A、B、M、F四点共圆，根据圆内接四边形对角互补即可证明∠AFM=90°，根据等腰直角三角形性质即可解决问题．（2）由（1）的结论即可证明．（3）由：A、B、M、F 四点共圆，推出∠BAM=∠EFM，因为∠BAM=∠FMN，所以∠EFM=∠FMN，推出MN∥BD，得到，推出BM=DN，再证明△ABM≌△ADN即可解决问题．本题考查四边形综合题、等腰直角三角形性质、四点共圆、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用四点共圆的性质解决问题，题目有点难，用到四点共圆．

【答案】

（1）3

（2）解：连接AC、BD、AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=∠ACB=90°，∵，

∴AD=BD，

将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，如图③

，

∴∠EAD=∠DBC，

∵∠DBC+∠DAC=180°，

∴∠EAD+∠DAC=180°，

∴E、A、C三点共线，

∵AB=13，BC=12，

∴由勾股定理可求得：AC=5，

∵BC=AE，

∴CE=AE+AC=17，

∵∠EDA=∠CDB，

∴∠EDA+∠ADC=∠CDB+∠ADC，

即∠EDC=∠ADB=90°，

∵CD=ED，

∴△EDC是等腰直角三角形，

∴CE= CD，

∴CD=

（3）解：以AB为直径作⊙O，连接OD并延长交⊙O于点D1，连接D1A，D1B，D1C，如图④

由（2）的证明过程可知：AC+BC= D1C，∴D1C= ，

又∵D1D是⊙O的直径，

∴∠DCD1=90°，

∵AC=m，BC=n，

∴由勾股定理可求得：AB2=m2+n2，

∴D1D2=AB2=m2+n2，

∵D1C2+CD2=D1D2，

∴CD=m2+n2﹣= ，

∵m＜n，

∴CD= ；

（4）解：当点E在直线AC的左侧时，如图⑤

，

连接CQ，PC，∵AC=BC，∠ACB=90°，

点P是AB的中点，

∴AP=CP，∠APC=90°，

又∵CA=CE，点Q是AE的中点，

∴∠CQA=90°，

设AC=a，

∵AE= AC，

∴AE= a，

∴AQ= AE= ，

由勾股定理可求得：CQ= a，

由（2）的证明过程可知：AQ+CQ= PQ，∴PQ= a+ a，

∴PQ= AC；

当点E在直线AC的右侧时，如图⑥

，

连接CQ、CP，

同理可知：∠AQC=∠APC=90°，

设AC=a，

∴AQ= AE= ，

由勾股定理可求得：CQ= a，

由（3）的结论可知：PQ= （CQ﹣AQ），

∴PQ= AC．

综上所述，线段PQ与AC的数量关系是PQ= AC或PQ= AC．

【考点】圆的综合题

【解析】【解答】解：（1）由题意知：AC+BC= CD，

∴3 +2 = CD，

∴CD=3，；

【分析】（1）由题意可知：AC+BC= CD，所以将AC与BC的长度代入即可得出CD的长度；（2）连接AC、BD、AD即可将问题转化为第（1）问的问题，利用题目所给出的证明思路即可求出CD的长度；（3）以AB为直径作⊙O，连接OD并延长交⊙O于点D1，由（2）问题可知：AC+BC= CD1；又因为CD1=D1D，所以利用勾股定理即可求出CD的长度；（4）根据题意可知：点E的位置有两种，分别是当点E在直线AC的右侧和当点E在直线AC的左侧时，连接CQ、CP后，利用（2）和（3）问的结论进行解答．本题考查圆的综合问题，每一问都紧扣着前一问的结论，涉及勾股定理、圆周角定理，旋转的性质等知识，解题的关键是就利用好已证明的结论来进行解答，考查学生综合运用知识的能力．

【答案】

（1）解：如图一中，

∵AB=AC=BC=2，AD⊥BC，∴BD=DC，

∴S△ABD=S△ADC，

∴线段AD是△ABC的面径．

∵∠B=60°，

∴sin60°= ，

∴= ，

∴AD= ．

（2）解：如图二中，

∵ME∥BC，且ME是△ABC的一条面径，

∴△AME∽△ABC，= ，

∴= ，

∴ME= ．

（3）解：如图三中，作MN⊥AE于N，DF⊥AE于F．

∵S△MOA=S△DOE，

∴S△AEM=S△AED，

∴?AE?MN= ?AE?D F，

∴MN=DF，

∵MN∥DF，

∴四边形MNFD是平行四边形，

∴DM∥AE．

（4）解：如图四中，作MF⊥BC于F，设BM=x，BE=y，

∵DM∥AE，

∴，

∴，

∴xy=2，

在RT△MBF中，∵∠MFB=90°，∠B=60°，BM=x，

∴BF= x，MF= x，

∴ME= = = ≥ ，

∴ME≥ ，

∵ME是等边三角形面径，AD也是等边三角形面积径，

∴等边三角形ABC的面径长l的取值范围≤l≤

【考点】等边三角形的性质，圆的综合题

【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一即可证明，利用直角三角形30°性质，即可求出AD．（2）根据相似三角形性质面积比等于相似比的平方，即可解决问题．（3）如图三中，作MN ⊥AE于N，DF⊥AE于F，先证明MN=DF，推出四边形MNFD是平行四边形即可．（4）如图四中，作MF⊥BC于F，设BM=x，BE=y，求出EM，利用不等式性质证明ME≥ 即可解决问题．本题考查等边三角形的性质、平行线的性质，三角形面积等知识，解题的关键是理解题意，学会条件常用辅助线，记住不等式的性质x2+y2≥2x y，属于中考压轴题．

【答案】

（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆O，

∴∠DCB+∠BAD=180°，

∵∠BAD=105°，

∴∠DCB=180°﹣105°=75°，

∵∠DBC=75°，

∴∠DCB=∠DBC=75°，

∴BD=CD；

（2）解：∵∠DCB=∠DBC=75°，

∴∠BDC=30°，

由圆周角定理，得，的度数为：60°，

故= = =π，

答：的长为π．

【考点】圆内接四边形的性质，弧长的计算

【解析】【分析】此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理等知识，根据题意得出∠DCB的度数是解题关键．（1）直接利用圆周角定理得出∠DCB的度数，再利用∠DCB=∠DBC求出答案；（2）首先求出的度数，再利用弧长公式直接求出答案．

【答案】

（1）解：由题意解得，

∴抛物线解析式为y= x2﹣x﹣，

∵y= x2﹣x﹣= （x﹣）2﹣，

∴顶点坐标（，﹣）

（2）

（3）①5

②解：如图，RT△AOB中，∵tan∠ABO= = ，

∴∠ABO=30°，

作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB=120°，以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．则∠AFB=∠AGB=60°，从而线段FG上的点满足题意，

∵EB= = ，

∴OE=OB﹣EB= ，

∵F（，t），EF2=EB2，

∴（）2+（t+ ）2=（）2，

解得t= 或，

故F（，），G（，），∴t的取值范围≤t≤ 【考点】待定系数法求二次函数解析式，垂线段最短，圆的综合题，锐角三角函数的增减性【解析】【解析】解：（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，

此时PB+PD最小．

理由：∵OA=1，OB= ，

∴tan∠ABO= = ，

∴∠ABO=30°，

∴PH= PB，

∴PB+OD=PH+PD=DH，

∴此时PB+PD最短（垂线段最短）．

在RT△ADH中，∵∠AHD=90°，AD= ，∠HAD=60°，

∴sin60°= ，

∴DH= ，

∴PB+PD的最小值为．

故答案为．

（3）①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，

以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点，

线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，

所以满足条件的点M有5个，即满足条件的点N也有5个，

故答案为5．

【分析】（1）利用待定系数法转化为解方程组解决问题．（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB 于H，交OB于P，此时PB+PD最小．最小值就是线段DH，求出DH即可．（3）①先在对称轴上寻找满足△ABM是等腰三角形的点M，由此即可解决问题．②作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB=120°，以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．则∠AFB=∠AGB=60°，从而线段FG上的点满足题意，求出F、G的坐标即可解决问题．本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、最短问题、圆等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用垂线段最短解决实际问题中的最短问题，学会添加辅助线，构造圆解决角度问题，属于中考压轴题．

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