电磁学作业及解答

电磁学习题

?1 (1)在没有电流的空间区域里，如果磁感应线是平行直线，磁感应强度B的大小在沿磁

感应线和垂直它的方向上是否可能变化(即磁场是否一定是均匀的)? (2)若存在电流，上述结论是否还对?

?2 如题图所示，AB、CD为长直导线，BC为圆心在O点的一段圆弧形导线，其半径为

R．若通以电流I，求O点的磁感应强度．

图

3 在半径为R的长直圆柱形导体内部，与轴线平行地挖成一半径为r的长直圆柱形空腔，两轴间距离为a,且a＞r，横截面如题9-17图所示．现在电流I沿导体管流动，电流均匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行．求： (1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小； (2)空心部分轴线上的磁感应强度的大小．

4 如图所示，长直电流I1附近有一等腰直角三角形线框，通以电流I2，二者 共面．求△ABC的各边所受的磁力．

图

5 一正方形线圈，由细导线做成，边长为a，共有N匝，可以绕通过其相对两边中点的一

个竖直轴自由转动．现在线圈中通有电流I，并把线圈放在均匀的水平外磁场B中，线圈对其转轴的转动惯量为J.求线圈绕其平衡位置作微小振动时的振动周期T.

6 电子在B=70×10T的匀强磁场中作圆周运动，圆周半径r=3.0cm．已知B垂直于纸面向外，某时刻电子在A点，速度v向上，如图． (1)试画出这电子运动的轨道；

?(2)求这电子速度v的大小； (3)求这电子的动能Ek．

-4

???

图

-3

7 在霍耳效应实验中，一宽1.0cm，长4.0cm，厚1.0×10cm的导体，沿长度方向载有3.0A

-5

的电流，当磁感应强度大小为B=1.5T的磁场垂直地通过该导体时，产生1.0×10V的横向电压．试求：

(1)载流子的漂移速度； (2)每立方米的载流子数目．

8 如图所示，载有电流I的长直导线附近，放一导体半圆环MeN与长直导线共面，且端点MN的连线与长直导线垂直．半圆环的半径为b，环心O与导线相距a．设半圆环以速度v平行导线平移．求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN两端的电压 UM?UN．

图

9 如图所示，用一根硬导线弯成半径为r的一个半圆．令这半圆形导线在磁场中以频率f绕图中半圆的直径旋转．整个电路的电阻为R．求：感应电流的最大值．

图

10 导线ab长为l，绕过O点的垂直轴以匀角速?转动，aO=如图10-10所示．试求： （1）ab两端的电势差； （2）a,b两端哪一点电势高?

l磁感应强度B平行于转轴，3题10图

11 一矩形截面的螺绕环如题10-19图所示，共有N匝．试求： (1)此螺线环的自感系数；

(2)若导线内通有电流I，环内磁能为多少?

图

12 一无限长圆柱形直导线，其截面各处的电流密度相等，总电流为I．求：导线内部单位长度上所储存的磁能．

13 圆柱形电容器内、外导体截面半径分别为R1和R2(R1＜R2)，中间充满介电常数为?的电介质.当两极板间的电压随时间的变化处的位移电流密度．

dU?k时(k为常数)，求介质内距圆柱轴线为rdt

Key to the Exercises

?1 (1)在没有电流的空间区域里，如果磁感应线是平行直线，磁感应强度B的大小在沿磁

感应线和垂直它的方向上是否可能变化(即磁场是否一定是均匀的)? (2)若存在电流，上述结论是否还对?

图

?? 解: (1)不可能变化，即磁场一定是均匀的．如图作闭合回路abcd可证明B1?B2

?abcd??B?dl?B1da?B2bc??0?I?0

??∴ B1?B2

(2)若存在电流，上述结论不对．如无限大均匀带电平面两侧之磁力线是平行直线，但B方

???向相反，即B1?B2.

2 如题图所示，AB、CD为长直导线，BC为圆心在O点的一段圆弧形导线，其半径为

?R．若通以电流I，求O点的磁感应强度．

图

?解：如图所示，O点磁场由AB、BC、CD三部分电流产生．其中

?AB 产生 B1?0

CD 产生B2??0I12R，方向垂直向里

CD 段产生 B3??0I?I3(sin90??sin60?)?0(1?)，方向?向里 R2?R24?2∴B0?B1?B2?B3??0I3?(1??)，方向?向里． 2?R26

3 在半径为R的长直圆柱形导体内部，与轴线平行地挖成一半径为r的长直圆柱形空腔，两轴间距离为a,且a＞r，横截面如题9-17图所示．现在电流I沿导体管流动，电流均匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行．求： (1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小； (2)空心部分轴线上的磁感应强度的大小．

解：空间各点磁场可看作半径为R，电流I1均匀分布在横截面上的圆柱导体和半径为r电流?I2均匀分布在横截面上的圆柱导体磁场之和． (1)圆柱轴线上的O点B的大小：

电流I1产生的B1?0，电流?I2产生的磁场

?0I2?0Ir2B2??

2?a2?aR2?r2∴ B0?(2)空心部分轴线上O?点B的大小：

?0Ir22?a(R2?r2)

??0， 电流I2产生的B2?0Ia?0Ia2???电流I1产生的B2

2?aR2?r22?(R2?r2)??∴ B0

?0Ia2?(R?r)22

4 如图所示，长直电流I1附近有一等腰直角三角形线框，通以电流I2，二者 共面．求△ABC的各边所受的磁力．

图

???A解： FAB??I2dl?B

BFAB?I2a?0I1?0I1I2a? 方向垂直AB向左 2?d2?d???CFAC??I2dl?B 方向垂直AC向下，大小为

AFAC???d?adI2dr?0I1?0I1I2d?a ?ln2?r2?d同理 FBC方向垂直BC向上，大小

FBc??d?adI2dl?0I1 2?r∵ dl?∴ FBC?

dr

cos45??d?aa?0I2I1dr?IId?a ?012ln2?rcos45?d2?5 一正方形线圈，由细导线做成，边长为a，共有N匝，可以绕通过其相对两边中点的一个竖直轴自由转动．现在线圈中通有电流I，并把线圈放在均匀的水平外磁场B中，线圈对其转轴的转动惯量为J.求线圈绕其平衡位置作微小振动时的振动周期T. 解：设微振动时线圈振动角度为? (???Pm,B?)，则

???M?PmBsin??NIa2Bsin?

d2?22由转动定律 J2??NIaBsin???NIaB?

atd2?NIa2B即 2???0

Jdt∴ 振动角频率 ??NIa2B J周期 T?

2???2?J 2NaIB?6 电子在B=70×10T的匀强磁场中作圆周运动，圆周半径r=3.0cm．已知B垂直于纸

?面向外，某时刻电子在A点，速度v向上，如题9-25图．

-4

(3)试画出这电子运动的轨道；

?(4)求这电子速度v的大小； (3)求这电子的动能Ek．

图

解：(1)轨迹如图

v2(2)∵ evB?m

reBr?3.7?107m?s?1 m1(3) EK?mv2?6.2?10?16 J

2∴ v?

-3

7 在霍耳效应实验中，一宽1.0cm，长4.0cm，厚1.0×10cm的导体，沿长度方向载有3.0A

-5

的电流，当磁感应强度大小为B=1.5T的磁场垂直地通过该导体时，产生1.0×10V的横向电压．试求：

(3)载流子的漂移速度； (4)每立方米的载流子数目．

解: (1)∵ eEH?evB

∴v?EHUH? l为导体宽度，l?1.0cm BlBUH1.0?10?5∴ v???2?6.7?10?4 m?s-1

lB10?1.5(2)∵ I?nevS ∴ n? ?I evS3 ?19?4?2?51.6?10?6.7?10?10?10 ?2.8?1029m?3

8 如图所示，载有电流I的长直导线附近，放一导体半圆环MeN与长直导线共面，且端点MN的连线与长直导线垂直．半圆环的半径为b，环心O与导线相距a．设半圆环以速度v平行导线平移．求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN两端的电压 UM?UN．

图

解: 作辅助线MN，则在MeNM回路中，沿v方向运动时d?m?0 ∴ ?MeNM?0 即 ?MeN??MN 又∵ ?MN?所以?MeN沿NeM方向，

??a?ba?bvBcos?dl??0Iva?bln?0 2?a?b大小为

?0Iva?b ln2?a?bM点电势高于N点电势，即

UM?UN?

?0Iva?bln 2?a?b9 如图所示，用一根硬导线弯成半径为r的一个半圆．令这半圆形导线在磁场中以频率f绕图中半圆的直径旋转．整个电路的电阻为R．求：感应电流的最大值．

图

??πr2解: ?m?B?S?Bcos(?t??0)

2d?mBπr2??i???sin(?t??0)dt2∴

22Bπr?Bπr?m??2πf?π2r2Bf22π2r2Bf?∴ I? RR?m

10 导线ab长为l，绕过O点的垂直轴以匀角速?转动，aO=如图10-10所示．试求： （1）ab两端的电势差； （2）a,b两端哪一点电势高?

l磁感应强度B平行于转轴，3题10图

解: (1)在Ob上取r?r?dr一小段

则 ?Ob??2l30?rBdr?2B?2l 91B?l2 18同理 ?Oa??l30?rBdr?∴ ?ab??aO??Ob?(?121?)B?l2?B?l2 1896(2)∵ ?ab?0 即Ua?Ub?0 ∴b点电势高．

11 一矩形截面的螺绕环如题10-19图所示，共有N匝．试求： (1)此螺线环的自感系数；

(2)若导线内通有电流I，环内磁能为多少?

图

解：如图示

(1)通过横截面的磁通为 ??磁链 ??N??

?b?0NI2rπahdr??0NIh2πlnb a?0N2Ih2πlnb a∴ L??I??0N2h2πlnb a(2)∵ Wm?∴ Wm?12LI 2?0N2I2h4πlnb a

12 一无限长圆柱形直导线，其截面各处的电流密度相等，总电流为I．求：导线内部单位长度上所储存的磁能．

解：在r?R时 B??0Ir2πR2

?0I2r2B2?∴ wm? 2?08π2R4取 dV?2πrdr(∵导线长l?1) 则 W?

13 圆柱形电容器内、外导体截面半径分别为R1和R2(R1＜R2)，中间充满介电常数为?的电介质.当两极板间的电压随时间的变化处的位移电流密度． 解：圆柱形电容器电容 C??R0wm2?rdr??R?0I2r3dr4πR40??0I216π

dU?k时(k为常数)，求介质内距圆柱轴线为rdt2??l R2lnR1q?CU?2??lU R2lnR1D?q2??lU?U ??RRS2?rln2rln2R1R1∴ j??D??t?kRrln2R1

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