2018年安徽师范大学拓扑学本科教学大纲

《数学系（点集拓扑学）》教学大纲

学时：51学时 学分：3 适用专业：数学与应用数学专业

大纲执笔人：李伯权 大纲审定人：孙国正 一、说明

1、课程的性质、地位和任务

拓扑学是基础性的数学分支，它研究几何图形在连续变形(即拓扑变换)下保持不变的性质，即拓扑性质。目前，拓扑学的概念、方法和理论已经广泛地渗透到现代数学以及邻近学科的许多领域，并且有了日益重要的应用；又鉴于在今后中学数学的教学改革中有可能渗入某些拓扑知识，因此无论从数学教材的现代化和师范性的要求来看，本课程的设置都是必要的。点集拓扑学又称一般拓扑学，它是拓扑学的基础，它主要研究拓扑空间的自身结构与其间的连续映射的学科。

本课程主要介绍点集拓扑学的基本概念和基础理论，通过本课程的学习可以使学生从较高观点观察、分析已学过的数学分析、函数论和几何的内容，加深对这些内容的认识与理解，并为进一步学习现代数学提供必要的基础。

2、课程教学的基本要求

（1） 通过本课程的学习，学生应掌握点集拓扑的一些基本概念与应

用拓扑学解决实际问题的能力。以便为以后进一步学习、研究现代数学打好基础；另一方面培养学生理论联系实际和分析问题解决问题的能力。

（2） 系统掌握点集拓扑的基本知识。其基本内容包括：拓扑空间和

连续映射的定义及其基本性质，构造新的拓扑空间的方法，各种拓扑不变性质，如连通性、分离性、紧性、度量空间的完备性等以及这些拓扑不变性之间的相互关联，这些拓扑不变性的可积、可遗传等性质，基本群及其应用。掌握点集拓扑中的证

明方法。

（3）

本课程由于是数学专业大四毕业班的选修课程，课时较少，授课时应灵活选择教学内容，合理安排。

3、课程教学改革

本课程注重培养学生高度的抽象思维能力、逻辑思维能力以及空间想象能力。在讲授此课程时，要注重本课程与相关课程《数学分析》等之间的联系。

二、大纲内容

第一章 拓扑空间与连续映射（15课时）

[内容要点]

朴素集合论（集合、关系、映射）， 度量空间的基本概念， 拓扑空间与连续映射，领域、导集、闭集、闭包、内部，边界， 拓扑的基和子基，拓扑空间中的序列。 [教学要求]

本章要求学生掌握集合的一些基本概念，特别是对集合的运算，要比较熟练的掌握，要求学生掌握拓扑空间的定义、几中典型的拓扑空间的例子，了解导集、闭集、闭包、基、子基等概念，掌握连续映射的特征。

第二章 子空间， 有限积空间，商空间（6课时）

[内容要点]

子空间， 有限积空间，商空间

[教学要求]

本章介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的方法。 要求掌握拓扑空间及其子空间的内在联系与区别，掌握有限积拓扑空间及其空间的内在联系与区别，了解产生商空间的几何背景（莫比乌斯带、环面及克莱因瓶等）。

第三章 连通性（6学时）

[内容要点]

连通空间，连通性的某些简单应用，连通分支与局部连通空间 道路连通空间 [教学要求]

掌握拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性、局部连通性和道路连通性，并理解它们的某些简单的应用（介值定理、不动点定理、Boruk-Ulam定理及其高维情形），能够用来区分一些互不同胚的空间。掌握一些在连续映射下保持不变的性质、商性质、有限可积性质。

第四章 有关可数性公理（3学时）

[内容要点]

第一和第二可数性公理， 可分空间， Lindelof 空间 [教学要求]

本章要求学生掌握第一和第二可数性的概念及其拓扑不变性，会判断具体空间的可数性，了解可分空间及林德勒夫空间。

第五章 分离性公理（6学时）

[内容要点]

Hausdorff 空间 正则、正规，T3,T4 空间 完全正规空间，T0,T1，Tychonoff 空间

[教学要求]

本章要求学生掌握T0,T1,T2,T4 正则、正规空间的概念和他们之间的区别和联系。特别注意其中一些反例的选取，了解Urysohn引理和Tietze扩张定理的内容

第六章 紧致性（9学时）

[内容要点]

紧致空间.紧致性与分离性公理.欧式空间中的紧致子集.几种紧致性的关系.度量空间中的紧致性.局部紧致空间，仿紧致空间 [教学要求]

掌握紧致子集的定义及判断一个子集是紧致子集的方法（这些方法哪些是充要条件）.掌握紧致性是否是连续映射可保留的，是否是可遗传的、有限可积的．掌握紧致空间中各分离性公理的关系.掌握Hausdorff空间中紧致子集的性质. 掌握新定义的几种紧致性的定义及它们之间的关系．掌握度量空间中的紧致空间、可数紧致空间、序列紧致空间、列紧空间之间的关系．度

量空间（特别是）中的紧致性性质要掌握．掌握局部紧致空

间、仿紧致空间的定义及性质。掌握局部紧致空间、仿紧致空间中各分离性公理空间之间的关系。掌握局部紧致空间、仿紧致空间与紧致空间之间的关系．

第七章 基本群及其应用（6学时）

[内容要点]

道路类及其乘法。基本群及其性质。基本群的计算：圆周的基本群。2维的Bronwer不动点定理。Jordan分割定理。 [教学要求]

理解定端同伦与道路类的概念；理解道路类乘法的定义与性质；理解与掌握基本群的定义与性质；理解与掌握由连续映射所诱导的基本群之间的同态的定义与性质。掌握计算（圆周的）基本群的方法。能用圆周的基本群来解决一些实际问题，如证明代数基本定理与2维的Bronwer不动点定理。 三

1 本课程考核方式、方法: 闭卷笔试

2 教学参考书目:

熊金城 《点集拓扑讲义》高等教育出版社 第三版 2004 尤承业 《基础拓扑学》 北京大学出版社 2004

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