均匀随机数的产生

3.3.2 均匀随机数的产生

教材分析

本节内容是数学必修三第三章 概率 3.3.2均匀随机数的产生， 本节课在学生已经掌握几何概型的基础上，来学习解决几何概型问题的又一方法，本节课的教学对全面系统地理解掌握概率知识，对于培养学生自觉动手、动脑的习惯，对于学生辩证思想的进一步形成，具有良好的作用．

通过对本节课例题的模拟试验，认识用计算机模拟试验解决概率问题的方法，体会到用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识。

课时分配

本节内容用1课时的时间完成，主要讲解利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题。

教学目标

重 点: 掌握［0,1］上均匀随机数的产生及［a,b］上均匀随机数的产生。学会采用适当的随机模拟法去估算几何概率。

难 点：利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中。

知识点：通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，了解均匀随机数的概念；掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法。

能力点：利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题，理解随机模拟的基本思想是用频率估计概率。 教育点：通过随机模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯，培养逻辑 思维能力和探索创新能力。

自主探究点：在信息技术环境下，通过算法解决大量重复模拟试验中的数据统计问题，得出问题的解的估计值，并由此进一步体会随机模拟方法、算法思想以及从特殊到一般的数学研究过程。

易错易混点：在计算器上用rand()产生[0,1]之间的随机数不是什么难事，但产生任意区间[a,b]上的 随机数涉及线性变换，这是学生不易处理的问题，容易出错。

教具准备 多媒体课件 一、引入新课

复习提问：

（1）什么是几何概型？（2）几何概型的概率公式是怎样的？（3）几何概型的特点是什么？(4)列举几个简单的几何概型例子？ 【师生活动】

（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；

（2）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．

（3）几何概型的概率公式： P（A）=

构成事件A的区域长度（面积或体积）

试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） （4）几何概型例子：长3米的绳子被剪刀随机剪一次，问两段长度都不小于1米的概率？在这个几

何概型中，随机剪绳子可以抽象成数学模型：从区间[0,3]中随机取一个数，由此引出今天的学习的内容，均匀随机数。

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（5）均匀随机数：对于区间[a,b],实验结果X是该区间内的任何一个实数，且是等可能出现。则X为[a,b]上的均匀随机数。

【设计意图】通过复习几何概型，很自然的引入课题。

二、探究新知

问题1：请你用计算器模拟产生［0,1］上的均匀随机数。 问题2：请你用计算器模拟产生［0,3］上的均匀随机数。 问题3：请你用计算器模拟产生［1,3］上的均匀随机数。 问题4：请你用计算器模拟产生［-1,3］上的均匀随机数。 问题5：请你用计算器模拟产生［a,b］上的均匀随机数。 【师生活动】

利用计算机来产生0—1之间的均匀随机数(实数),方法：打开excel，任意选定一格,键入“=RAND（）”，按Enter键或点击屏幕其它位置，则在此格中的数是随机产生的［0,1］之间的均匀随机数。

通过对2-5个问题的分析总结可以得出：

［a,b］上均匀随机数的产生方法：利用计算器或计算机产生［0,1］上的均匀随机数X=RAND，

然后利用伸缩和平移变换，X=X*(b-a)+a就可以得到［a,b］上的均匀随机数，试验结果是［a,b］内任何一实数,并且是等可能的。

这样我们就可以通过计算机或计算器产生的均匀随机数，用随机模拟的方法估计事件的概率。

【设计意图】通过问题串让学生对随机数的概念和随机数的产生有了一个全面的认识，通过学生自己实际操作加深了学生对随机数理解，同时也为几何概型的概率计算提供了一种新的思路.

三、运用新知

例1:假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6：30—7：30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7：00—8：00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？ 问题6：复习回顾已学过的解法。

问题7：探索模拟试验的方法；如何用计算机产生随机数进行模拟求概率。 【师生活动】

（1）复习回顾原来解法：

解：设报纸送到的时间为x，父亲出门时间为y；

则全体基本事件可以表示为集合：??{(x,y)|6.5?x?7.5且7?y?8}； 父亲在出门前可以收到报纸的事件可以表示为集合：

A?{(x,y)|6.5?x?7.5且7?y?8且y?x}；

作图得：

根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能得到报纸,即事件A发生,

1111???222?7。 所以P(A)=

18（2）探索模拟试验进行求解：

【分析】用计算机产生随机数模拟试验，我们可以利用计算机产生0—1之间的均匀随机数,利用计算机产

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生x是6.5—7.5的均匀随机数，利用计算机产生y是7-8的均匀随机数，如果y＞=x时，事件A={父亲离家前能得到报纸}发生。

1.选定A2格，键入“=RAND（）+6.5”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的［6.5,7.5］之间的均匀随机数。

2.选定B2格，键入“=RAND（）+7”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的［7,8］之间的均匀随机数。则A列数x表示父亲离开家的时间，B列的数y表示报纸到达的时间。往下拖动鼠标，复制已产生随机数50次，这样我们相当于做了50次随机试验。

3.选定C列，计算y-x，如果大于等于0，则表示父亲在离开家前能得到报纸。

送报时间X父亲出门时间YY-X6.568100097.722482261.1543826.7376683637.3213722630.5837047.0676838597.699890360.6322076.5403129087.0564198760.5161076.7069120847.7262816321.019377.368759817.4794603560.1107016.6761624337.7398714851.0637097.0290360817.2661917310.2371566.6506892267.7991201521.1484317.0411603517.3669561890.3257966.7679511287.3391986790.571248

4.选定E1格，键入“=countif(c2:c51;>=0)”；计算出父亲出门前能收到报纸次数。

5.选定E2格，键入试验总次数。

6.选定E3格，键入“=E1/E2”，计算的结果就是表示统计50次试验中,父亲在离开家前能得到报纸的频率。 【总结】用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围。计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识。

例2：在如下图边长为2的正方形中随机撒一把豆子，用计算机随机模拟的方法估算圆周率的值。

问题8：如何利用几何概型求圆周率？ 问题9：计算机如何模拟试验求解？ 【师生活动】

（1）问题中“几何概型与面积”有联系，而“面积与圆周率”有联系，从而建立了几何概型

求圆周率的桥梁。随机撒一把豆子,每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即

圆的面积落在圆中的豆子数?；

正方形的面积落在正方形中的豆子数假设正方形的边长为2,则

圆的面积????；

正方形的面积2?24落在圆中的豆子数×4；

落在正方形中的豆子数由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的,所以π≈这样就得到了π的近似值。 （2）计算机模拟：

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1用计算机产生两组［-1,1］内均匀随机数a1=2*RAND（）-1,b1=2*RAND（）-1； 2数出落在圆x2+y2=1内的点（a,b）的个数N1,计算π=

4N1（N代表落在正方形中的点（a,b）的个N数）。

【总结】可以发现，随着试验次数的增加，得到圆周率的近似值的精确度会越来越高，利用几何概型并通过随机模拟的方法可以近似计算不规则图形的面积。

例3：利用随机模拟方法计算由y=1和y=x 所围成的图形的面积。

【设计意图】了解学生对随机模拟方法的掌握程度，让学生用随机模拟的方法估计不规则图形的面积。 解题步骤：

(1)利用计算机产生两组［0,1］上的均匀随机数，X1=RAND( ), Y=RAND( ) ； (2)进行伸缩变换：X=X1?2-1；

(3)统计试验总数N和落在阴影内的样本点数N1，用几何概型的概率公式计算阴影部分的面积.

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四、课堂小结

教师提问：通过本节课的学习，你有哪些收获？留给你印象最深的是什么？（引导学生从知识点、思想方法两方面进行总结）

学生总结：1.均匀随机数在日常生活中，有着广泛的应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数 ）有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量.

2.利用计算器或计算机能产生均匀随机数这一功能，可以用模拟的方法近似计算某些事件的概 率，估计圆周率的值，求某些不规则图形的面积，以及破译密码和反破译密码. 3．思 想：从特殊到一般、近似逼近和算法的思想的思想．

4. 计算机随机模拟法是研究随机事件概率的重要方法.此试验可从以下几方面考虑：

(1)根据影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数的组数，如长度、角度型只用

一组即可；而面积型需要两组随机数, 体积型需要三组随机数；

(2)根据试验对应的区域确定产生随机数的范围；

(3)根据事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式 (4)用计算机模拟试验计算结果

(5)需要注意的是用模拟的方法得到的计算结果是近似的，是估计值.

【设计意图】让学生通过小结，反思学习过程，提升对所学知识的理解和应用意识,有利于优化学生的认知结构，把课堂教学传授的知识较快转化为学生的素质，也更进一步培养学生的归纳概括能力．

五、布置作业

1．书面作业

P142 A组3 ； B组 1．

[设计意图]通过适量的课后作业，复习巩固所学知识,通过学生亲手练习，巩固所学知识，并能在练习中发现学生存在的问题，及时补救，培养当堂问题当堂解决的好习惯.设计选做题使不同学生都得到提高到提高，可以使学生在完成基本学习任务的同时，又能得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都能获得成功的喜悦，加强学习的自信心，从而激发学生的学习兴趣．

六、教后反思

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1.在本节课的教学中,根据问题的需要利用一组随机数进行模拟试验，也利用两组随机数进行模拟试验。用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围，用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识，提高同学们的应用能力，也能解决平常不能解决的一些问题。

2.把数学知识与生活实际相联系，再用生动形象的语言将它们表述出来，使学生能更好地理解掌握数学知识，感受数学的趣味和作用，从而对数学产生亲切感。在课堂上，例2解法2难度较大学生理解起来有很大难度，学生参与的人数较少。

七、板书设计

3.3.2 均匀随机数的产生 1.几何概型的特点和计算公式 2.均匀随机数 3.均匀随机数的产生 例1 例2

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