质点运动学习题库

第一章 质点运动学习题

一、选择题

1. 某质点作直线运动的运动学方程为x＝3t-5t3 + 6 (SI)，则该质点作

(A) 匀加速直线运动，加速度沿x轴正方向． (B) 匀加速直线运动，加速度沿x轴负方向． (C) 变加速直线运动，加速度沿x轴正方向．

(D) 变加速直线运动，加速度沿x轴负方向． ［ ］

v (m/s)2.一质点沿x轴作直线运动，其v?t曲线如图所示，

如t=0时，质点位于坐标原点，则t=4.5 s时，质点

2在x轴上的位置为

(A) 5m． (B) 2m． 1 2.5 4.5t(s) (C) 0． (D) ?2 m． O 1234(E) ?5 m. ［ ］

?1

3.图中p是一圆的竖直直径pc的上端点，一质点从p开始分别沿不同 p 的弦无摩擦下滑时，到达各弦的下端所用的时间相比较是 (A) 到a用的时间最短． (B) 到b用的时间最短．

(C) 到c用的时间最短．

(D) 所用时间都一样． ［ ］

a b

c

4.几个不同倾角的光滑斜面，有共同的底边，顶点也在同一竖直面上．若

使一物体（视为质点）从斜面上端由静止滑到下端的时间最短，则斜面的倾角应选

(A) 60°． (B) 45°．

(C) 30°． (D) 15°． ［ ］

5.一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度v?2 m/s，瞬时加速度a??2m/s，则一秒钟后质点的速度

(A) 等于零． (B) 等于?2 m/s．

(C) 等于2 m/s． (D) 不能确定． ［ ］

6.如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率v0收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是 (A) 匀加速运动． (B) 匀减速运动． (C) 变加速运动． (D) 变减速运动． (D) 匀速直线运动． ［ ］

2?v0???227. 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为 r?ati?btj（其中a、b为常

量）, 则该质点作 (A) 匀速直线运动． (B) 变速直线运动．

(C) 抛物线运动． (D)一般曲线运动． ［ ］

8.一运动质点在某瞬时位于矢径r?x,y?的端点处, 其速度大小为

??drdr(A) (B)

dtdt?22dr?dx??dy?(C) (D) ?????

dtdtdt????9.质点沿半径为R的圆周作匀速率运动，每T秒转一圈．在2T时间间隔中，其平均速度大

小与平均速率大小分别为

(A) 2?R/T , 2?R/T． (B) 0 , 2?R/T

(C) 0 , 0． (D) 2?R/T , 0. ［ ］

?10.以下五种运动形式中，a保持不变的运动是 (A) 单摆的运动． (B) 匀速率圆周运动． (C) 行星的椭圆轨道运动． (D) 抛体运动．

(E) 圆锥摆运动． ［ ］ 11.对于沿曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的： (A) 切向加速度必不为零． (B) 法向加速度必不为零（拐点处除外）．

(C) 由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零． (D) 若物体作匀速率运动，其总加速度必为零．

? (E) 若物体的加速度a为恒矢量，它一定作匀变速率运动． ［ ］

???12. 质点作曲线运动，r表示位置矢量，v表示速度，a表示加速度，S表示路程，a表示切向加速度，下列表达式中，

(1) dv/d t?a， (2) dr/dt?v， (3) dS/d t?v， (4) dv/dt?at．

(A) 只有(1)、(4)是对的． (B) 只有(2)、(4)是对的． (C) 只有(2)是对的．

(D) 只有(3)是对的． ［ ］ 13. 某物体的运动规律为dv/dt??kvt，式中的k为大于零的常量．当t?0时，初速为v0，则速度v与时间t的函数关系是

2?121kt?v0, (B) v??kt2?v0, 221kt211kt21 (C) ? ［ ］ ?, (D) ???v2v0v2v0??14.一物体从某一确定高度以v0的速度水平抛出，已知它落地时的速度为vt，那么它运动的

(A) v?

时间是 (A)

vt?v0v?v0． (B) t ． g2g2t2?v0g?v(C)

?1/2?v． (D)

2t2?v02g?1/2 . [ ]

15.质点作半径为R的变速圆周运动时的加速度大小为(v表示任一时刻质点的速率)

v2dv (A) ． (B)．

Rdt(C)

dvv?． (D) dtR2??dv??v????????2??????dt??R???421/2． ［ ］

16.在高台上分别沿45°仰角方向和水平方向，以同样速率投出两颗小石子，忽略空气阻力，

则它们落地时速度

(A) 大小不同，方向不同． (B) 大小相同，方向不同．

(C) 大小相同，方向相同． (D) 大小不同，方向相同． ［ ］

17. 一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为v，瞬时速率为v，某一

??时间内的平均速度为v，平均速率为v，它们之间的关系必定有：

????（A）v?v,v?v （B）v?v,v?v

????v?v,v?vv?v,v?v [ ] （C） （D）

18. 在相对地面静止的坐标系内，A、B二船都以2 m/s速率匀速行驶，A船沿x轴正向，B

??船沿y轴正向．今在A船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系(x、y方向单位矢用i、j表示)，那么在A船上的坐标系中，B船的速度（以m/s为单位）为

???? (A) 2i＋2j． (B) ?2i＋2j．

???? (C) －2i－2j． (D) 2i－2j． ［ ］

19. 一条河在某一段直线岸边同侧有A、B两个码头，相距1 km．甲、乙两人需要从码头A到码头B，再立即由B返回．甲划船前去，船相对河水的速度为4 km/h；而乙沿岸步行，步

行速度也为4 km/h．如河水流速为 2 km/h, 方向从A到B，则 (A) 甲比乙晚10分钟回到A． (B) 甲和乙同时回到A． (C) 甲比乙早10分钟回到A． (D) 甲比乙早2分钟回到A．

［ ］

20.一飞机相对空气的速度大小为 200 km/h, 风速为56 km/h，方向从西向东．地面雷达站测得飞机速度大小为 192 km/h，方向是

(A) 南偏西16.3°． (B) 北偏东16.3°． (C) 向正南或向正北． (D) 西偏北16.3°．

(E) 东偏南16.3°． ［ ］ 21.下列说法哪一条正确？ (A) 加速度恒定不变时，物体运动方向也不变． (B) 平均速率等于平均速度的大小．

(C) 不管加速度如何，平均速率表达式总可以写成(v1、v2 分别为初、末速率)

v??v1?v2?/2． (D) 运动物体速率不变时，速度可以变化． ［ ］ 22.下列说法中，哪一个是正确的？

(A) 一质点在某时刻的瞬时速度是2 m/s，说明它在此后1 s内一定要经过2 m的路程． (B) 斜向上抛的物体，在最高点处的速度最小，加速度最大． (C) 物体作曲线运动时，有可能在某时刻的法向加速度为零．

(D) 物体加速度越大，则速度越大． ［ ］

23.某人骑自行车以速率v向西行驶，今有风以相同速率从北偏东30°方向吹来，试问人感到风从哪个方向吹来？

(A) 北偏东30°． (B) 南偏东30°．

(C) 北偏西30°． (D) 西偏南30°． ［ ］

选择题答案：1D、2B、3D、4B、5D、6C、7B、8D、9B、10D、11B、12D、13C、14C、15D、16B、17D、18B、19A、20C、21D、22C、23C

二.填空题

1. 两辆车A和B，在笔直的公路上同向行驶，它们从同一起始线上同时出发，并且由出发点开始计时，行驶的距离 x与行驶时间t的函数关系式：xA = 4 t＋t 2，xB = 2 t 2＋2 t 3 (SI)， (1) 它们刚离开出发点时，行驶在前面的一辆车是______________；

(2) 出发后，两辆车行驶距离相同的时刻是____________________；

(3) 出发后，B车相对A车速度为零的时刻是__________________．

2.一质点沿x方向运动，其加速度随时间变化关系为a = 3+2 t (SI) , 如果初始时质点的速度v 0为5 m/s，则当ｔ为3s时，质点的速度

v = .

3. 一质点沿直线运动,其运动学方程为x = 6 t－t2 (SI)，则在t由0至4s的

时间间隔内，质点的位移大小为 ___________，在t由0到4s的时间间隔内质

点走过的路程为_________________．

4.一质点作直线运动，其坐标x与时间t

的关系曲线如图所示．则该质点在第

秒瞬时速度为零；在第 秒至第 秒间速度与加速度同方向．

x (m)5t (s)

O123456

5.质点p在一直线上运动，其坐标x与时间t有如下关系：x =－A sin??t (SI) (A为常数)

(1) 任意时刻ｔ，质点的加速度a =____________；

(2) 质点速度为零的时刻t =______________．

6.一质点沿直线运动，其坐标x与时间t有如下关系：

cos?t (SI) (A、??皆为常数) x?Ae

(1) 任意时刻ｔ质点的加速度a =_______________________；

(2) 质点通过原点的时刻t =___________________________．

7.一辆作匀加速直线运动的汽车，在6 s内通过相隔60 m远的两点，已知汽车经过第二点时的速率为15 m/s，则

(1) 汽车通过第一点时的速率v 1 =__________________；

(2) 汽车的加速度a = ．

?? t 8.灯距地面高度为h1，一个人身高为h2，在灯下以匀速率v沿水平直线行走，如图所示．他的头顶在地上的影子M点沿地面移动的速度为

h1

h2 M vM = ．

9.一物体悬挂在弹簧上，在竖直方向上振动，其振动方程为 y = Asin??t， 其中A、??均为常量，则

(1) 物体的速度与时间的函数关系式为________________________；

(2) 物体的速度与坐标的函数关系式为________________________．

10. 在x轴上作变加速直线运动的质点，已知其初速度为v0，初始位置为x0，

2加速度a?Ct（其中C为常量），则其速度与时间的关系为v?__________，

运动学方程为x?__________．

11. 在v ??t图中所示的三条直线都表示同一类型的运动： v

Ⅰ(1) Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三条直线表示的是______________ 运动；

(2) __________直线所表示的运动的加速度最大．

O

12. 一质点沿x轴作直线运动，它的运动学方程为 x =3+5t+6t2?t3 (SI)

?则 (1) 质点在t =0时刻的速度v0?__________________；

(2) 加速度为零时，该质点的速度v?____________________．

ⅡⅢ t

13.一质点作直线运动，其v?t曲线如图所示，则v(m/s)BC和CD段时间内的加速度分别为

C 30____________，_______________． 20 B 10

AD45?14. 一物体在某瞬时，以初速度v0 从某点开始运动，

间内：

(1) 物体的平均速率是 ；

(2) 物体的平均加速度是 ．

0123t (s)?在? t时间内，经一长度为S的曲线路径后，又回到出发点，此时速度为-v0，则在这段时

15.一质点作半径为 0.1 m的圆周运动，其角位置的运动学方程为：??则其切向加速度为at=__________________________．

π12?t (SI) 42

16. 质点沿半径为R的圆周运动，运动学方程为 ??3?2t (SI) ，则ｔ时刻

质点的法向加速度大小为an= ；角加速度

?= ． 17. 在一个转动的齿轮上，一个齿尖P沿半径为R的圆周运动，其路程S随时间的变化规律为S?v0t?212bt，其中v0和b都是正的常量．则t时刻齿尖P的速度 2

大小为___________，加速度大小为____________．

?18.一物体作斜抛运动，初速度v0与水平方向夹角为?，如图所示．物体轨

道最高点处的曲率半径?为__________________．

?19.一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道A点处速度v的大小为v，其方向与水平方向夹角成30°．则

物体在A点的切向加速度at =__________________，

轨道的曲率半径??=__________________．

20.已知质点的运动学方程为

r?(5?2t?

?v0 θ 30° ?v0A ?12?1?t)i?(4t?t3)j (SI) 23

当t = 2 s时，加速度的大小为a = ;

?加速度a与x轴正方向间夹角? =?????????????????????????????????????????????

21.一质点从静止出发沿半径R=1 m的圆周运动，其角加速度随时间t的变化规

律是??=12t2-6t (SI)， 则质点的角速? =______________________________；

切向加速度 at =________________________．

22. 一质点沿半径为R的圆周运动，其路程S随时间t变化的规律为S?bt?式中b、c为大于零的常量,且b2>Rc. 则此质点运

动的切向加速度at=______________；法向加速度an＝________________．

23. 一质点沿半径为 0.1 m的圆周运动，其角位移??随时间t的变化规律是

12 ct (SI) ，

2????= 2 + 4t2 (SI)．在t =2 s时，它的法向加速度an=______________；切向加速

度at =________________．

24. 试说明质点作何种运动时，将出现下述各种情况(v?0)：

(1)at?0,an?0；___________________________________

(2)at?0，an=0；______________________________________ at、an分别表示切向加速度和法向加速度．

25.在半径为R的圆周上运动的质点，其速率与时间关系为v?ct（式中c为常 量），则从t = 0到t时刻质点走过的路程S(t) =________________________；t时

刻质点的切向加速度at =_________________________________；t时刻质点的法

向加速度an =________________________．

?26. 以一定初速度斜向上抛出一个物体，若忽略空气阻力，当该物体的速度 v

与水平面的夹角为??时，它的切向加速度at的大小为______________，法向加速

度an的大小为___________________．

2???27. 在xy平面内有一运动质点，其运动学方程为：r?10cos5ti?10sin5tj（SI）

?则t时刻其速度v? ；其切向加速度的大小at ______________；

该质点运动的轨迹是_______________________．

28.一质点从O点出发以匀速率1 cm/s作顺时针转向的圆周运动，圆的半径为1 m，如图所示．当它走过2/3圆周时，走

过的路程是____________________，这段时间内的平均速度大

小为__________________，方向是__________．

yP Ox

???229.已知质点的运动学方程为r?4ti+(2t+3)j (SI)，则该质点的轨道方程为

__________________________．

30. 一质点从静止出发，沿半径R =3 m的圆周运动．切向加速度at?3 m/s2保

持不变，当总加速度与半径成角45 o时，所经过的时间t?__________，在上述

时间内质点经过的路程S =____________________．

31. 一质点沿半径为0.10 m的圆周运动，其角位移??可用下式表示

???= 2 + 4t3 (SI)．

(1) 当t = 2 s时，切向加速度at =______________；

? (2) 当at的大小恰为总加速度a大小的一半时，??=__________．

32. 一质点在Oxy平面内运动．运动学方程为x?2 t和y?19-2 t2 , (SI)，则在第

2秒内质点的平均速度大小v?________________________，2秒末的瞬时速度

大小v2?_______________________．

33. 以速度v0 、仰角?0斜向上抛出的物体，不计空气阻力，其切向加速度的大小 (1) 从抛出到到达最高点之前，越来越________________．

(2) 通过最高点后，越来越____________________．

34.以初速率v0、抛射角?0抛出一物体，则其抛物线轨道最高点处的曲率半径为____________________．

35. 飞轮作加速转动时，轮边缘上一点的运动学方程为S = 0.1 t3 (SI).飞轮半径

为2 m．当此点的速率v?30 m/s时，其切向加速度为____________________，

法向加速度为__________________．

??36.r?t?与r?t??t?为某质点在不同时刻

??的位置矢量(矢径)，v?t?与v?t??t?为不同时刻的速度矢量，试在两个图中分别

??画出?r，?r以及?v，?v．

AAB?v(t)B?r(t)O?r(t??t)?v(t??t)O 37. 一质点沿半径为R的圆周运动，在t = 0时经过P点，此后它的速率v按v?A?Bt (A，B为正的已知常量)变化．则质点沿圆周运动一周再经过P点时的切向

加速度at = ___________ ，法向加速度an = _____________．

???38.设质点的运动学方程为r?Rcos?t i?Rsin?t j (式中R、??皆为常量)

?则质点的v=___________________，dv /dt =_____________________．

39.在水平飞行的飞机上向前发射一颗炮弹，发射后飞机的速度为v0 ，炮弹相对于飞机的

速度为v ．略去空气阻力，则

(1) 以地球为参考系，炮弹的轨迹方程为_____________________________，

(2) 以飞机为参考系，炮弹的轨迹方程为_____________________________． (设两种参考系中坐标原点均在发射处，x轴沿速度方向向前，y轴竖直向下)

??40. 一船以速度v0在静水湖中匀速直线航行，一乘客以初速v1在船中竖直向上

抛出一石子，则站在岸上的观察者看石子运动的轨迹是_________.取抛出点为原

?点，x轴沿v0方向，y轴沿竖直向上方向，石子的轨迹方程是

________________________________．

41.小船从岸边A点出发渡河，如果它保持与河岸垂直向前划，则经过时间t1到达对岸下游C点；如果小船以同样速率划行，但垂直河岸横渡到正对岸B点，则需与A、B两点联成的

直线成?角逆流划行，经过时间t2到达B点．若B、C两点间距为S，则 (1) 此河宽度l =__________________________________；

(2) ? =______________________________________．

??r?42.在表达式v?lim中，位置矢量是_______________；位移矢量是

?t?0?t

________________________．

43. 如图所示，小船以相对于水的速度 v与水流

??向成?角开行，若水流速度为u，则小船相

对于岸的速度的大小为___________________，

与水流方向的夹角为____________________．

?v 方

? ?u 44.两条直路交叉成??角，两辆汽车分别以速率v1和v2沿两条路行驶，一车相

对另一车的速度大小为___________________________________.

45. 有一旅客站在沿水平轨道匀速开行的列车最后一节车厢后的平台上，

(1) 手拿石块，松手释放；

(2) 沿水平方向向车后掷出石块，使石块相对车的速度等于火车相对于地的速度． 则站在铁路路基旁的观察者所见石块的运动是：

(1) ______________________________．

(2)______________________________． 46.船在水上以相对于水的速度v1航行，水流速度为v2，一人相对于甲板以速度v3行走．如人相对于岸静止，则v1、v2和v3的关系是___________________．

47. 当一列火车以10 m/s的速率向东行驶时，若相对于地面竖直下落的雨滴在列车的窗子上形成的雨迹偏离竖直方向30°，则雨滴相对于地面的速率是

__________；相对于列车的速率是__________．

填空题答案：

1.A..........1分,ｔ= 1.19 s.........2分,ｔ= 0.67 s..........2分; 2. 23 m/s........3分 3. 8 m ，10 m......4分 4.3,3,6

5.?A?sin?t ………..1分,6. Ae?? t??????2?1?2n?1??? (n = 0,1,… )............2分 2??2??2?cos?t?2??sin?t.........2分

?1?2n?1?π/? (n = 0, 1, 2,…)...........2分 27.5.00 m/s...........2分,1.67 m/s2 ................2分 8. h1v /(h1?h2);..................3分；

9.v?dy/dt?A?cos?t,v?A?cos?t??A2?y2;

310. v0?Ct/3,x0?v0t?14Ct; 1211. 匀加速直线 ,Ⅰ;

?2vS22012.5m/s,17m/s ；13.10 m/s2,-15 m/s2；14.,?；15.0.1 m/s2；16. 16 R t,4rad /s

?t?t217.5m/s,1.67m/s2 ........4分；18.???=v 02cos2??/g；19.??g/2，23v/?3g?..........4分；

20. 2.24 m/s2，104o……..4分；21. 4t3-3t2 (rad/s)，12t2-6t (m/s2)…….4分； 22.-c, (b-ct)2/R ……….4分；23.25.6m/s2,0.8m/s2...........4分； 24.变速曲线运动............1分，变速直线运动...........2分；

25.ct3/3............2分,2ct............1分，c2t4/R............1分；26. gsin?，gcos??????????????分；?27. 50(?sin5ti?cos5tj) m/s………1分，0……….2分，圆…….1分； 28.4.19m………..1分，4.13?10m/s………2分；与x轴成60o角…………1分； 29. x = (y?3)2 ；30.1s………..3分，1.5m………….2分；31. 4.8 m/s2 , 3.15 rad …4分；

2232. 6.32 m/s，8.25 m/s………...4分；33.小，大……..4分；34. v0cos?0/g.........3分；

???335.6 m/s2..........3分，450m/s2 ............2分；

?36. 答案见图． △r , △r 图2分

?△v , △v 图2分

?r A B ?r ?r(t) O 2

?A ?r(t??t) O ?v(t) ??v B ?v ? v(t??t)

??37.B, (A/R)+4?B………4分；38. -?Rsin??ti+?Rcos??tj...........1分，0……..2分；

39.y?gx22?v0?v?2,y?122gx/v….4分； 2v1xgx240.抛物线…….1分，y??2...2分；

v02v0?t2?t241. t2S/t?t….3分，sin?21t2????42.r，?r…….4分；

2221?1??或 cos?1?t1/t2?………2分； ??

43.

??vsin?u2?v2?2uvcos?,arcsin??….4分； 22?u?v?2uvcos??…………..3分；

2244. v12?v2?2v1v2cos?或v12?v2?2v1v2cos?45. 平抛运动，抛向火车前进的方向；自由落体运动．…………4分； 46. v1?v2?v3?0……..3分；47.17.3m/s,20m/s；

三、计算题

1. 一质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标x的关系为

a＝2＋6 x2 (SI)

如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度．

2.一质点从静止开始作直线运动，开始时加速度为a0，此后加速度随时间均匀增加，经过时间?后，加速度为2a0，经过时间2?后，加速度为3 a0 ,…求经过时间n?后，该质点的速度和走过的距离．

3.一球从高h处落向水平面，经碰撞后又上升到h1处，如果每次碰撞后与碰撞前速度之比为常数，问球在n次碰撞后还能升多高？

4.有一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为x = 4.5 t2 – 2 t3 (SI) ．试求：

(1) 第2秒内的平均速度； (2) 第2秒末的瞬时速度； (3) 第2秒内的路程．

5. 一物体悬挂在弹簧上作竖直振动，其加速度为a??ky，式中k为常量，y是

???以平衡位置为原点所测得的坐标. 假定振动的物体在坐标y0处的速度为v0，试求速度v与坐标y的函数关系式．

6.一质点沿x轴运动，其加速度为a ? 4t (SI)，已知t ? 0时，质点位于x ??10 m处，初速度v??? 0．试求其位置和时间的关系式．

7.（1）对于在xy平面内，以原点O为圆心作匀速圆周运动的质

??点，试用半径r、角速度?和单位矢量i、j表示其t时刻的位置

y 矢量．已知在t = 0时，y = 0, x = r, 角速度?如图所示； ? ????（2）.由(1)导出速度 v与加速度 a的矢量表示式；

(3) 试证加速度指向圆心．

j r ?i (x,y) x

O ?8.由楼窗口以水平初速度v0 射出一发子弹，取枪口为原点，沿

?v0方向为x轴，竖直向下为y轴，并取发射时刻t为0，试求：

(1) 子弹在任一时刻t的位置坐标及轨迹方程； (2) 子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向加速度．

9.质点M在水平面内的运动轨迹如图所示，OA段为 M B 直线，AB、BC段分别为不同半径的两个1/4圆周．设t =0时，M在O点，已知运动学方程为 15 m S =30t+5t2 (SI) S A 求t =2 s时刻，质点M的切向加速度和法向加速度．

15 m

O 10. 一质点沿半径为R的圆周运动．质点所经过的 弧长与时间的关系为S?bt?30 m C

12ct 其中b、c是大于零的常量，求从t?0开始到切向加2速度与法向加速度大小相等时所经历的时间．

11.如图所示，质点P在水平面内沿一半径为R=2 m的圆轨道转动．转动的角速度?与时间t的函数关系为??kt (k为常量)．已知t?2s时，质点P的速度值为32 m/s．试求t?1s时，质点P的速度与加速度的大小．

2 P O R 12.质点在重力场中作斜上抛运动，初速度的大小为v0，与水平方向成?角．求质

点到达抛出点的同一高度时的切向加速度，法向加速度以及该时刻质点所在处轨迹的曲率半径（忽略空气阻力）．已知法向加速度与轨迹曲率半径之间的关系为an = v 2/? ．

13.一物体以初速度v0、仰角??由地面抛出，并落回到与抛出处同一水平面上．求地面上方

该抛体运动轨道的最大曲率半径与最小曲率半径．

14.河水自西向东流动，速度为10 km/h．一轮船在水中航行，船相对于河水的航向为北偏西30°，相对于河水的航速为20 km/h. 此时风向为正西，风速为10 km/h．试求在船上观察到

的烟囱冒出的烟缕的飘向．(设烟离开烟囱后很快就获得与风相同的速度)

15.有一宽为l的大江，江水由北向南流去．设江中心流速为u0，靠两岸的流速为零．江中任一点的流速与江中心流速之差是和江心至该点距离的平方成正比．今有相对于水的速度为?v0的汽船由西岸出发,向东偏北45°方向航行，试求其航线的轨迹方程以及到达东岸的地点．

16.一男孩乘坐一铁路平板车，在平直铁路上匀加速行驶，其加速度为a，他向车

前进的斜上方抛出一球，设抛球过程对车的加速度a的影响可忽略，如果他不必移动在车中的位置就能接住球，则抛出的方向与竖直方向的夹角??应为多大？

17.一质点以相对于斜面的速度v?2gy从其顶端沿斜面下滑，其中y为下滑的高度．斜面

倾角为?，它在地面上以水平速度u向质点滑下的前方运动，求质点下滑高度为h (h小于斜面高度)时，对地速度的大小和方向．

18.一飞机相对于空气以恒定速率v沿正方形轨道飞行，在无风天气其运动周期为T．若有恒定小风沿平行于正方形的一对边吹来，风速为V?kv(k??1)．求飞机仍沿原正方形（对地）轨道飞行时周期要增加多少．

19.一飞机驾驶员想往正北方向航行，而风以60 km/h的速度由东向西刮来，如果

飞机的航速（在静止空气中的速率）为 180 km/h，试问驾驶员应取什么航向？飞机相对于地面的速率为多少？试用矢量图说明．

20.当一列火车以36 km/h的速率水平向东行驶时，相对于地面匀速竖直下落的雨滴，在列车的窗子上形成的雨迹与竖直方向成30°角．

(1) 雨滴相对于地面的水平分速有多大？相对于列车的水平分速有多大？ (2) 雨滴相对于地面的速率如何？相对于列车的速率如何？

21.当火车静止时，乘客发现雨滴下落方向偏向车头，偏角为30°，当火车以35 m/s的速率沿水平直路行驶时，发现雨滴下落方向偏向车尾，偏角为45°，假设雨滴相对于地的速度保持不变，试计算雨滴相对地的速度大小．

22.一小船相对于河水以速率v划行．当它在流速为u的河水中逆流而上之时，有一木桨落

入水中顺流而下，船上人两秒钟后发觉，即返回追赶，问几秒钟后可追上此桨？

23.装在小车上的弹簧发射器射出一小球，根据小球在地上水平射程

和射高的测量数据，得知小球射出时相对地面的速度为10 m/s．小

车的反冲速度为2 m/s．求小球射出时相对于小车的速率．已知小车

30° 位于水平面上，弹簧发射器仰角为 30°．

.

24.一敞顶电梯以恒定速率v ?10 m/s上升．当电梯离地面h =10 m时，一小孩竖直向上抛出一球．球相对于电梯初速率v0?20 m/s．试问： (1) 从地面算起，球能达到的最大高度为多大？ (2) 抛出后经过多长时间再回到电梯上？ 附：计算题答案如下：

1.解：设质点在x处的速度为v，

a?dvdvdx???2?6x2 2分 dtdxdtv vdv?0???2?6x?dx 2分

20x v?2x?x?3?12 1分

2. 解：设质点的加速度为 a = a0+? t

∵ t = ? 时， a =2 a0 ∴ ? = a0 /?

即 a = a0+ a0 t /? ， 1分

由 a = dv /dt ， 得 dv = adt

vt0

?dv??(a00?a0t/?)dt

∴ v?a0t?a02t 1分 2?stt由 v = ds /dt ， ds = v dt

?ds??vdt??(a0t?000a02t)dt 2?s?a02a03t?t 1分 26?t = n? 时，质点的速度 vn??1n(n?2)a0? 1分 2122质点走过的距离 sn??n(n?3)a0?

61分

3. 解： h? h1?12v1/g ;212v/g 21212h2?v2/g ;??; hn?vn/g 1分

2222k2?vn/vn?1 1分

由题意，各次碰撞后、与碰撞前速度之比均为k，有

222222 k?v1/v ; k?v2/v1 ; ?? ;将这些方程连乘得出：

2n222n k?vn/v?hn/h , hn?hk 1分

又

k?v1/v?h1/h n222 1分

故

hn?h?h1/h??h1n/hn?1 1分

4. 解：(1) v??x/?t??0.5 m/s 1分

(2) v = d x/d t = 9t - 6t2 1分 v(2) =-6 m/s 1分 (3) S = |x(1.5)-x(1)| + |x(2)-x(1.5)| = 2.25 m 2分

dvdvdydv??v dtdydtdy又 a??ky ∴ -ky?v dv / dy 2

分

11 ??kydy??vdv , ?ky2?v2?C 1分

221212已知 y?y0 ，v?v0 则 C??v0?ky0

2222?k(y0?y2) 2 v2?v05. 解： a?分

6. 解： a?dv /dt?4t ， dv ?4t dt

?v0dv??4tdt

0t v?2t2 3分

v?dx /d t?2t2

?xx0dx??2t2dt

0t x?2 t3 /3+x0 (SI) 2分

????dr(2) v???r?sin?t i?r?cos?t j 1分

dt????dv22 a???r?cos?t i?r?sin?t j 1分

dt???? (3) a???2?rcos?t i?rsin?t j????2 r

???这说明 a与 r方向相反，即a指向圆心 1分

128.解：(1) x?v0t , y?gt ?2x v0 122 y?xg/v0 2分 O 2????(2) v x = v 0，v y = g t，速度大小为： an at 22222 v?vx?vy?v0?gt

?g 方向为：与x轴夹角 ??= tg?1( gt /v 0) 1分

y ?2at?dv/dt?g2t/v0?g2t2与v同向． 1分 ?221/22?v0g/v0?g2t2方向与at垂直． 1分 an?g?at7. 解：(1)

r?x i?y j?rcos?t i?rsin?t j 2分

???????9. 解：首先求出t=2 s时质点在轨迹上的位置.

S =80 (m) (在大圆上) 1分 各瞬时质点的速率： v?dS/dt?30?10t 1分 故t =2 s时, v =50 m/s 因此，各瞬时质点的切向加速度和法向加速度：

dvd2S2

??10 at?m/s 2dtdtv2 an? 2分

?故t =2 s时， at =10 m/s2 , an =83.3 m/s2 1分

10. 解： v?dS/dt?b?ct 1分

at?dv/dt?c 1分

an??b?ct?/R 1分

2根据题意： at = an 1分

即 c??b?ct?/R

2解得 t?11. 解：根据已知条件确定常量k

2Rb? 1分 cck?ω/t2?v/Rt2?4rad/s2 1分

??4t, v?R??4Rt

t?1s时， v = 4Rt2 = 8 m/s 1分

2 at?dv/dt?8Rt?16m/s 1分 22 an?v/R?32m/s 1分

??2 a?at?an

?221/2??35.8 m/s2 1分

12.解：运动过程中，质点的总加速度a = g． 1 ?v分 0 由于无阻力作用，所以回落到抛出点高度时 ??质点的速度大小v?v0，其方向与水平线夹角也是?．

???? 1分 anat a 1分 ??故切向加速度 at?gsin

法向加速度 an?gcoas 1分 g? 因 av2?? ??v2v20a?? 1分 n? ngcos13.解：以??表示物体在运动轨道上任意点P处其速度与水平方向的夹角, 则有

vcos??vcos?, v2?v20cos2?0cos2?

又因a?故该点 ??v2v20cos2?n?gcosa?cos3 3分 ng?因为???, 所以地面上方的轨道各点均有cos??cos?，上式的分母在???处最小，在??0处最大，故

?2max?v0/?gcos?? 1分 P ?v22 v? 0 ??θ v ?min?0cos?/g 1分

14.解： 记水、风、船和地球分别为w， f，?s和e，则水???地、风?船、风?地和船?地间的相对速度分别为Vwe、Vfs、Vfe和

o V?se． 矢量图V?1分

fs 30V?swo

由已知条件

V?30 se Vwe=10 km/h，正东方向． V? VV?fe=10 km/h，正西方向． fe

we

V=20 km/h，北偏西300sw?方向．? ? 北

根据速度合成法则： Vse=Vsw＋Vwe

由图可得： Vse=103 km/h，方向正北． 2同理 V????=－V?分

东 fs=Vfe－Vse， 由于Vfewe ∴ V?

fs=Vsw， Vfs的方向为南偏西30° 在船上观察烟缕的飘向即V?

fs的方向，它为南偏西30°． 2分 15.解：以出发点为坐标原点，向东取为x轴，向北取为y轴，因流速为?y方向，由题意可得 ux = 0

uy = a(x?l/2)2＋b 1分

令 x = 0, x = l处 uy = 0, x = l/2处 uy＝－u0

代入上式定出a、ｂ，而得 u4u0y??l2?l?x?x 2分 船相对于岸的速度v?(vx，vy)明显可知是 y vx?v0/2 vy?(v0/2)?uv0 y， 将上二式的第一式进行积分，有

45 u0 l ° x v? 0

x?还有，

v02t

dydydxv0dyv04u0?2?l?x?x 2分 ??=

dtdxdtdx2l242udy即 ?1?20?l?x?x 1分

dxlv0 vy?因此，积分之后可求得如下的轨迹(航线)方程：

?

y?x?22u0242u03x?2x 2分 lv03lv0到达东岸的地点(x?，y? )为

?32u0?? 2分 ?? x?l , y ?yx?l?l?1??3v0????16.解：设抛出时刻车的速度为v0，球的相对于车的速度为??/v0/，与竖直方向成?角．抛射过程中，在地面参照系中，车

θ v0 1的位移 ?x1?v0t?at2 ① 1分 a 2/sin??t ② 1分 球的位移 ?x2??v0?v0v0 1/ ?y2?v0co?st?gt2 ③ 1分

2小孩接住球的条件 ?x1??x2 , ?y2?0 1分

11/即 at2?v0/sin?t ， gt2?v0cos?t

22两式相比得 a/g?tg? ，∴ ??tg?1?a/g? 1分

?17.解：选取如图所示的坐标系，以V表示质点的 O x 对地速度，其x、y方向投影为：

y u vx Vx?vx?u?2gycos??u， 1分 ? Vy ? h ? Vy?vy?2gysin? 1分 v V ?当y=h时，V的大小为： ? u2?2gh?2u2ghcos?22V?Vx?Vy? y 2?????????V的方向与x轴夹角为?，

2分

?1 ??tgVyVx?tg?12ghsin?2ghcos??u 1分

18.解：设正方形边长为L，则无风时 L?vT/4 1分 ??v?V 在有风天气为使飞机仍在正方形轨道上飞行，飞机在每

条边上的航行方向（相对于空气的速度方向）和飞行时间均?V 须作相应调整，如图（图中风速从左向右）．

?令 L=(v+V ) t1=(v-V ) t2=v?t3 1分 ?? vv

?v ?v?

?V ??v?V

其中 v?2+V 2 =v 2 1分 则新的运动周期为

LL2L?? 1分

22v?Vv?Vv?VL??1?? ??1?k?k2?1?k?k2?2?1?k2?? 2分

v??2??T??t1?t2?2t3??????3k2?4L3k2L ???T??1?4?? 1分 vv??2∴ ?T?T??T?3kT/4 1分

19.解：设下标A指飞机，F指空气，E指地面，由题可知： 北 图1分 ?vFE vFE =60 km/h 正西方向 西 ? v vAF =180 km/h 方向未知 AE ??vvAFvAE 大小未知， 正北方向 ??v由相对速度关系有： 1分 ????v vAE?vAF?vFE ???vAE、 vAF、vEE构成直角三角形，可得

??2?2 vAE??vAF???vFE??170 km/ h 2分

??tg?1?vFE/vAE??19.4? （飞机应取向北偏东19.4?的航向）． 1分

20.解：(1) 题给雨滴相对于地面竖直下落，故相对于地面的水平分速为零．雨滴相对于列车的水平分速与列车速度等值反向为10 m/s，正西方向. 1分

(2) 设下标W指雨滴，t指列车，E指地面，则有

??? vWE = vWt+ vtE , v tE =10 m/s

?vWt30°?vWE?vtE vWE竖直向下，vW t偏离竖直方向30°，由图求得

雨滴相对于地面的速率为 vWE = vtE ctg30o =17.3 m/s 2分 雨滴相对于列车的速率 vWt?vtE?20 m/s 2分 ?sin3030° 21.解：选地为静系，火车为动系． ??vv 已知：雨滴对地速度a的方向偏前30°，火车行驶时，r 45° 雨滴对火车的相对速度vr偏后45°，火车速度vt =35 m/s，??vv方向水平．

? 由图可知： v ??va ??vv

vasin30?vrsin45?vt 2分

ootvacos30o?vrcos45o 2分

由此二式解出： va?vtsin30??sin45?cos30cos45???25.6 m/s 1分

22.解：取河水为参照系．相对河水，木桨落入水中是不动的．不论顺水或者逆水，船对水的速率均是v ．2秒钟后发现失桨，木桨与船之间距离为S =2v．返回追赶时船速仍为v ． 分析3分

因此 t?S2v??2s 2分 vv

23.解：以地为静系，小车为动系． ?

v a 已知小球对地速度va?10 m/s，小车反冲速度vt?2

? vrm/s，方向水平向左. 令小球相对小车的速度为vr，则有

? v???a?vt?vr 1分

v?t30o v222?a?vt?vr?2vrvtcos30 2分 v?r?vtcos30??v30?tcos?2?v2a?v2t?11.7 m/s

24.解：(1) 球相对地面的初速度

v??v0?v?30 m/s 抛出后上升高度 h?v?22g?45.9 m/s 离地面高度 H = (45.9+10) m =55.9 m (2) 球回到电梯上时电梯上升高度＝球上升高度

vt?(v?v10)t?2gt2 t?2v0g?4.08 s

2分 1分

1分 1分

1分 1分

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