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第 1 页 前言：高数上难度大，主要是概念和逻辑问题。比如对极限定义的理解、中值定理证明题目。而高等数学下不一样，它主要是考查你的计算能力。所以我们通常认为高数下的考研部分是以计算量论分值。

第五章 多元函数微分学

多元函数微积分的预备知识：(向量代数和空间解析几何初步)

A 、数量积、向量积和混合积；

},,{,},,{z y x z y x b b b b a a a a ==ρρ，},,{z y x c c c c =ρ

z z y y x x b a b a b a b a ++=?ρρ, 00=++?=??⊥z z y y x x b a b a b a b a b a ρρρρ；

z

y x z y x b b b a a a k j i b a ρρρρρ=?, z z y y x x b a b a b a b a b a ==?=??0//ρρρρ； c b a c b a ρρρρρρ??=)(],,[z

y x z y x

z y x c c c b b b a a a =， c b a c b a ρρρρρρ,,0],,[?=共面。 B 、平面和直线；

给定之

平面π上一点),,(0000z y x M 和它的一个法线向量n

ρ后，平面的位置就确定下来了。

0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A （点法式方程） 当直线L 上的一点),,(0000z y x M 和它的一个方向向量},,{p n m s =ρ

给定之后，空间直线L 的位置就完全确定下来了。

p z z n y y m x x 000-=-=- （点向式方程） C 、曲线（投影曲线）和曲面（旋转曲面）。

平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹称之为柱面（缺少一个未知量的方程肯定是柱面方程）。

第 2 页 空间曲线C ：?

??==0),,(0),,(z y x G z y x F 在xoy 平面上的投影曲线： 方程组消去变量之后得方程0),(=y x H ，它表示包含曲线C 的柱面，则?

??==00),(z y x H 表示曲线C 在xoy 平面上的投影曲线。 【例1】将空间曲线???=-++=-10

2222xy z y x y z 投影至xoy 平面，求其投影曲线及所围区域。

一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面。 设在yoz 平面上有一条已知曲线C ，它的方程为

面。

0),(=z y f ,将C 绕z 轴旋转一周，得到以z 轴为轴的旋转曲转设),,0(111z y M 是C 上任一点，则 0),(11=z y f ,当点1M 旋

到点),,(z y x M 时，总有z z =1 ，点M 到轴的距离为122y y x =+

将z z =1，221y x y +±= 代入方程0),(11=z y f 得到0),(22=+±z y x f 这便是所要求的旋转曲面的方程。

§5.1 多元函数的概念、极限与连续性

一、二元函数的极限

设()f x y ，在点()00x y ，的去心邻域内有定义；如果对任意0ε>，存在0δ>，只要()()

22000x x y y δ<-+-<，就有()f x y A ε-<， 则记以()00lim x x y y f x y A →→=，或()()()00lim x y x y f x y A →=，，，

称当()x y ，趋于()00x y ，时，()f x y ，的极限存在，极限值为A ，否则，称为极限不存在.

值得注意：这里()x y ，趋于()00x y ，是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线

趋于()00x y ，，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基

本概念和简单地讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方

第 3 页 法和技巧。

【考点一】

（1）求二元函数的极限值时，一般应用两边夹定理或化为一元函数的极限进行求解。

（2）当点(,)P x y 沿着不同的路径趋于点00(,)P x y 时，若函数(,)f x y 的极限值不同，则

二重极限0

lim (,)x x y y f x y →→不存在。 【例2】 讨论()2

1

20sin lim x y x xy xy ???? ?

?→→ 【例3】 讨论24200lim x y x y x y →→+ (沿y lx =,沿2y lx =) 【例4】 讨论3224200lim x y x y x y →→+ (332212224221022

x y x y y x y x y ≤≤=+) 二、二元函数的连续性

1.二元函数连续的概念

若()()00

00lim x x y y f x y f x y →→=，，则称()f x y ，在点()00x y ，处连续。 若()f x y ，在区域D 内每一点皆连续，则称()f x y ，在D 内连续。

§5.2 多元函数的偏导数与全微分

一、偏导数

1. 定义

设二元函数()z f x y =，

若()()00000

lim x f x x y f x y x ?→+?-?，，存在，则记以()00x f x y '，，或()00x y z x ??，，或()00x x y z '，称为()z f x y =，在点()00x y ，处关于x 的偏导数。

同理，若()()00000lim y f x y y f x y y ?→+?-?，，存在，则记以()00y f x y '，，或()00x y z y ??，，或()00y x y z '，称

为()z f x y =，在点()00x y ，处关于y 的偏导数。

第 4 页 类似地，设()u f x y z =，，

()000x f x y z '，，即

()000x x df x y z dx =，， ()000y f x y z '，，即

()0

00y y df x y z dy =，， ()000,,x f x y z '即 ()000,,z z df x y z dz = 【例1】62),(y x e y x f +=,求)0,0(,)0,0(y x f f ''.

2.二元函数偏导数的几何意义

()00,x f x y '表示曲面(),z f x y =与平面0y y =的截线在点()()0000,,,x y f x y 处的切线关于x 轴的斜率；()00,y f x y '表示曲面(),z f x y =与平面0x x =的截线在点()()0000,,x y f x y ，处的切线关于y 轴的斜率

3.高阶偏导数

设(),z f x y =的偏导数(),x f x y '和(),y f x y '仍是二元函数，那么它们的偏导数就称为(),z f x y =的二阶偏导数，共有四种

()22xx z z f x y x x x

?????''== ??????， ()2xy z z f x y y x x y

?????''== ???????， ()2yx z z f x y x y y x

?????''== ???????， ()22yy z z f x y y y y

?????''== ??????， 当22z z x y y x ??????，在()x y ，处为连续则22z z x y y x

??=????，也就是说在这种情况下混合偏导数与求导的次序无关。

类似地，可以讨论二元函数的三阶及n 阶偏导数。

第 5 页

也可以讨论n 元函数()3n ≥的高阶偏导数。 【例5】求下列函数的一阶和二阶偏导数

（1）44224z x y x y =+- （2）y z x = （3）z

x u y ??

= ???

【例6】设连续函数),(y x f z =满足0)

1(2

2),(lim 2

2

1

0=-+-+-→→y x y x y x f y x ，求)1,0(,)1,0(y x f f ''。

二、全微分

1. 二元函数的可微性与全微分的定义

设()z f x y =，在点()00x y ，处有全增量 ()()0000z f x x y y f x y ?=+?+?-，， 若 ()

(

)

0z A x B y o ρρ?=?+?+=

→　　　

其中A B ，不依赖于x ?，y ?只与00x y ，有关，则称()z f x y =，在()00x y ，处可微，而

A x

B y ?+?称为()z f x y =，在()00x y ，处的全微分，记以()0

x y dz ，或()

00x y df

，

2. 二元函数的全微分公式 当()z f x y =，在点()00x y ，处可微时

则 ()()()0

0000x y x y dz f x y x f x y y ''=?+?，，，

()()0000x y f x y dx f x y dy ''=+，， 这里规定自变量微分dx x dy y =?=?，。 一般地

()()()x y dz df x y f x y dx f x y dy ''==+，，，

【例7】讨论函数??

???

=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(2

2y x y x y

x xy y x f 在点)0,0(处的连续性、可偏导性和可微性。

【例8】设函数),(y x f 在点)0,0(的邻域内有定义，1)0,0(=f 且21

),(lim

2

21

0=+-→→y

x y x f y x ，讨论

第 6 页 ),(y x f 在点)0,0(处的连续性、可偏导性和可微性。

3. 二元函数全微分的几何意义

二元函数()z f x y =，在点()00x y ，处的全微分()

00x y dz ，在几何上表示曲面()z f x y =，在点()()0000x y f x y ，，，处切平面上的点的竖坐标的增量。

4. n 元函数的全微分公式

类似地可以讨论三元函数和n 元()3n >函数的可微和全微分概念，在可微情况下， ()()()()x y z df x y z f x y z dx f x y z dy f x y z dz '''=++，，，，，，，，

()()1211k n

n x n k k df x x x f x x dx ='=∑L L ，，，，，

三、偏导数的连续性、函数的可微性，偏导数的存在性与函数的连续性之间的关系 设()z f x y =，，则z z x y ????，连续dz ?

四、方向导数与梯度（数学一）（略）

五、二元函数的二阶泰勒公式（数学一）

设()z f x y =，在点()00x y ，的某一个邻域内有三阶连续的偏导数。()x y ，为此邻域内任一点，则有

()()()()()()()()22000000000002

12!f x y f x y f x y f x y f x y x x y y x x x y x ???=+-+-+-???，，，，，()()()()()22200000002

12!f x y f x y x x y y y y R x y y ??+--+-+???，， 其中余项

()()()()()333200032133!f f R x x x x y y x x y

ξηξη???=-+--?????，， ()()()()()3323000233f f x x y y y y x y y ξηξη???+--+-?????

，，

第 7 页 其中ξ在0x 与x 之间，η在0y 与y 之间。

【考点二】多元函数连续、偏导数存在与可微之间的关系： 可微?偏导数存在，但偏导数存在?/可微. 可微?连续，但连续?/可微，连续?/偏导数存在。

若一阶偏导数连续，则可微。

【例9】考虑二元函数),(y x f 的下面4条性质：

①处连续在点),(),(00y x y x f

②处的两个偏导数连续在点),(),(00y x y x f

③处可微在点),(),(00y x y x f

④处在点),(),(00y x y x f 的两个偏导数存在。

若用“Q P ?”表示可由性质P 推出性质Q ，则有（ ）

（A ）②?③?① （B ）③?②?①

（C ）③?④?① （D ）③?①?④

§5.3 多元函数微分法

一、复合函数微分法――锁链公式

模型1. ()()()z f u v u u x y v v x y ==，，，，=，

z z u z z z u z x u x x y u y y νννν??????????=?+?=?+???????????； 模型2. ()()u f x y z x y =，，，z=z ，

x z y z u z f f x x u z f f y y ???''=+????????''=+????g g 　　　　

模型3. ()()()u f x y z y y x z x ===，，，，z

第 8 页 ()()x y z du f f y x f z x dx '''''=++g g 　　 模型4. ()()()w f u v u u x y z v v x y z ===，，，，，，，

u v u v u v w u v f f x x x w u v f f y

y y w u v f f z z z ????''=

+?????????''=

+?????????''=+?????g g 　　　　

还有其他模型可以类似处理。

【考点三】

求复合函数的偏导数时，主要把握三点：

（1）关键问题是弄清复合函数的结构，分清中间变量与自变量。

（2）避免丢项。一般地，函数有几个自变量就求几个偏导数；函数有几个中间变量，偏导数公式中就有几项的和；函数有几重复合，偏导数公式中就有几项因子的乘积。

（3）对于求抽象函数的偏导数。首先必须设出中间变量，构成复合函数，再利用复合函数求偏导数。

【例10】 设()u f x y z =，，有连续的一阶偏导数，又函数()y y x =及()z z x =分别由下列两式确定

2xy e xy -=和0sin x z

x t e dt t -=?，求du dx

。 【例11】 已知0x y F z z ??

= ???

，确定()z z x y =，其中()()F u v z x y ，，，均有连续偏导数，求证z z x y z x y ??+=??。 二、隐函数微分法

1．设函数000(,,)(,,)F x y z P x y z 在点的某邻域内具有连续的偏导数，且

000000(,,)0,(,,)0x F x y z F x y z =≠，

则方程(,,)0F x y z =在点000(,,)x y z 的某邻域内恒能惟一确定

第 9 页 一个单值连续且具有连续偏导数的函数

000(,),(,)z f x y z f x y ==它满足条件，并有 ,y x z z F F z z x F y F ??=-=-?? .

2．由方程组确定的隐函数的导数

设方程组(,,,)0(,)(,)(,,,)0F x y u v u u x y v v x y G x y u v =?==?=?确定了隐函数和，上式两边分别对x 求偏导，注意到u 和v 是x 及y 的函数，有

0,0x u v x u v u v F F F x x u v G G G x x ???'''++=????????'''++=????

当0u v u v F F G G ''≠''时，从上式中可解出u v x x ????和。同理，原方程两端对y 求偏导，可求出,.u v y y

???? 【评注】计算由方程组所确定的隐函数的偏导数应该使用直接法，其关键是事先要明确哪些变量是自变量，哪些变量是因变量，这应根据具体问题来判定。例如求dz dx ，可判定,x z 是自变量是因变量，一般地，在一定条件下，对于有m 个方程、n 个自变量()n m >的方程组来说，有m 个因变量，有n -m 个自变量。然后依次对所给方程的两端关于x 求偏导，得到一个线性方程组，再解出所求（偏）导数即可。

【考点四】隐函数的求导公式

【例12】设(),,u f x y z =有连续偏导数，(),z z x y =由方程x y z xe ye ze -=所确定，求du 。

【例13】设函数)(u f z =，方程dt t P u u x

y ?+=)()(?确定u 是y x ,的函数，其中)(),(u u f ?可微；)(),(u t P ?'连续，且1)(≠'u ?，求y

z x P x z y P ??+??)()

(。 求偏导的反问题 【例14】设),(y x f z =满足x y x f x x f x f yy

y 2),(,sin )0,(,0)1,(=''='=，求),(y x f 。 §5.4 多元函数的极值与最值

一、求()z f x y =，的极值

第 10 页 第一步()(

)00x y f x y f x y '???'??，＝，＝ 求出驻点()()12k k x y k l =L ，　　，　， 第二步 令()()()2

k xx k k yy k k xy k k f x y f x y f x y ''''''???=-??，，， 若0k ?< 则 ()k k f x y ，　不是极值

若0k ?= 则 不能确定（有时需从极值定义出发讨论） 若0k ?> 则 ()k k f x y ，　是极值

进一步 若 ()0xx k k f x y ''>， 则 ()k k f x y ，　为极小值

若 ()0xx k k f x y ''<， 则 ()k k f x y ，　为极大值

【考点六】在函数),(y x f z =的定义域D 上求极值，这是无条件极值。求多元函数无条件极值的程序是：

（1） 求函数的驻点（可能极值点），即求解方程组???==0),(',0),('y x f y x f y

x 的一切实数解（或偏导数不存的点），即得函数的可有极值点。

（2）利用极值存在的充分条件判定所求驻点是否为极值点。

（3）求出极值。

【评注】 驻点不一定是极值点。偏导数不存在的点也可能是极值点。

【例15】 求函数44222z x y x xy y =+---的极值

二、求多元()2n ≥函数条件极值的拉格朗日乘子法

求()1n u f x x =L ，，　

的极值 约束条件 ()()()11100n m n x x m n x x ????

　　 ，

，＝ 作()()()11111m

n m n i i n i F F x x f x x x x λλλ?==+∑L L L L ，，，，，＝，，，

，

第 11 页 ()()111110000n m x x n m n F F F x x F x x λλ??'=????'=??'==???'?==?M L M L 　　

，

，　　，

， 求出()()()

()112k n x x k l =L L k ，，，　，是有可能的条件极值点，

一般再由实际问题的含义确定其充分性，这种方程的关键是解方程组的有关技巧。

【考点七】1. 求函数D y x y x f z ∈=),(),,(，在约束条件0),(=y x ?下的极值问题，称为

条件极值问题。

求解条件极值的一般方法有两种。一是利用所组的约束条件把条件极值问题转化为无条件极值问题；一是拉格朗日乘数法。

【拉格朗日乘数法】 其步骤是：

（1）作辅助函数（称为拉朗日函数）),(),(),(y x y x f y x F λ?+=，其中λ为待定常数（称为拉格朗日乘数）；

（2）求解方程组?????????==??=??+??=??=??+??=??,0),(,0,0y x F y y

f y F x x f x F ?λ?λ?λ 得可能极值点),(y x ； （3） 判定在可能极值点处是否取得极值。（对于实际应用问题，由实际确定，一般免去了这一步骤）。

【例16】 在椭球面222

2221532

x y z ++=第一卦限上p 点处切平面，使与三个坐标平面所围四面体的体积最小，求p 点坐标。

练习：

1.求下列二重极限：

第 12 页 （1）xy

y x xy 100)sin 1(lim +→→ （2）22200lim y x y x y x +→→ （3）y x y x y x +-→→00lim 2.

设u =du 。 （ ()232342342xdx y dy z dz du x y z ++=++ ） 3. 函数()()()()000000,,,,,x y f x y x y f x y f x y ''在点处两个偏导数存在，是(),f x y 在该点连续

的（ ）

（A ）充分条件而非必要条件。 （B ）必要条件而非充分条件。

（C ）充分必要条件。 （D ）既非充分条件又非必要条件。

4.设??? ??+=x y g y x xy f z ),(，其中f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求y x z ???2。

5.设)(u f 具有二阶连续导数，且)()(),(y x yf x y f y x g +=，求.222222y

g y x g x ??-?? 6.设?-=xy t dt e y x f 02

),(，求222222y f x y y x f x f y x ??+???-??. 7.设),(y x f z =满足y x y x f y y f x x f xy

+=''==),(,),0(,)0,(2，求),(y x f 。 8.求函数2222()()x y z x y e -+=+的极值。

9.证明函数=z y y ye x e -+cos )1(有无穷多个极大值，而没有任何极小值。

10.求函数xyz z y x f =),,(在条件1=+y x 及12=+-z y x 下的极值。

11.求二元函数()()2,4z f x y x y x y ==--在由直线6x y +=、x 轴和y 轴所围成的闭区域D 上的极值、最大值与最小值。

希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：

1、常自认为是福薄的人，任何不好的事情发生都合情合理，有这样平常心态，将会战胜很多困难。

2、君子之交淡如水，要有好脾气和仁义广结好缘，多结识良友，那是积蓄无形资产。很多成功就是来源于无形资产。

3、一棵大树经过一场雨之后倒了下来，原来是根基短浅。我们做任何事都要打好基础，才能坚固不倒。

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