2010年全国高考理科数学试题及答案-全国1

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2010年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷)

理科数学(必修+选修II)

本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第Ⅱ卷3 至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 ．．．．．．．．．

3．第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式

P(A?B)?P(A)?P(B) S?4?R2

如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(A?B)?P(A)?P(B) 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 V?3?R3 4n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径

kkn?kP(k?0,1,2,…n) n(k)?Cnp(1?p)

一、选择题 (1)复数

3?2i? 2?3i(A)i (B)?i (C)12-13i (D) 12+13i

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(2)记cos(?80?)?k,那么tan100??

kk1?k21?k2A. B. - C. D. -

22kk1?k1?k?y?1,?(3)若变量x,y满足约束条件?x?y?0,则z?x?2y的最大值为

?x?y?2?0,?(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

（4）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则

(A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 42 (5)(1?2x)3(1?3x)5的展开式中x的系数是

(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

(6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有

(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种

（7）正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为

a4a5a6=

A 2236 B C D 3333?12（8）设a=log32,b=In2,c=5,则

A a(9)已知F1、F2为双曲线C:x?y?1的左、右焦点，点p在C上，∠F1pF2=60，则P到x轴的距离为

(A) 22036 (B) (C) 3 (D) 6 22（10）已知函数f(x)?|lgx|,若0

(A)(22,??) (B)[22,??) (C)(3,??) (D)[3,??)

（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么PA?PB的

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最小值为

(A) ?4?2 (B)?3?2 (C) ?4?22 (D)?3?22 （12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为

(A)

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234383 (B) (C) 23 (D) 3332010年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(必修+选修II)

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效。 ．．．．．．．．． 3。第Ⅱ卷共l0小题，共90分。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． (注意：在试题卷上作答无效)

(13)不等式2x2?1?x?1的解集是 . (14)已知?为第三象限的角，cos2???23?,则tan(?2?)? . 54(15)直线y?1与曲线y?x?x?a有四个交点，则a的取值范围是 . (16)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，

uuruura?b?acotA?bcotB且BF?2FD，则C的离心率为 .

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．．．．

B及其对边a 已知VABC的内角A，b，

满

a?b?acotA?bcotB，求内角C．

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(18)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．．

投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审， 则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录 用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3． 各专家独立评审．

(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

(II)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望．

（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

如图，四棱锥S-ABCD中，SD?底面ABCD，AB//DC，AD?DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC?平面SBC .

（Ⅰ）证明：SE=2EB；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .

(20)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

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已知函数f(x)?(x?1)lnx?x?1.

（Ⅰ）若xf'(x)?x2?ax?1，求a的取值范围； （Ⅱ）证明：(x?1)f(x)?0 .

（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

已知抛物线C:y2?4x的焦点为F，过点K(?1,0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D . （Ⅰ）证明：点F在直线BD上；

????????8（Ⅱ）设FA?FB?，求?BDK的内切圆M的方程 .

9

（22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．已知数列?an?中，a1?1,an?1?c?1 .[来源:学*科*网] an（Ⅰ）设c?51，求数列?bn?的通项公式； ,bn?2an?2（Ⅱ）求使不等式an?an?1?3成立的c的取值范围

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2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）

理科数学试题(必修+选修Ⅱ)参考答案

一、选择题

1. A 2. B 3. B 4. A 5. C 6. A 7. D 8. C 9. B 10. C 11. D 12. B 二、填空题

13. {x|0?x?2} 14. ?三、解答题 17. 解：

由a?b?acotA?bcotB及正弦定理得

153 15. (1,) 16. 743sinA?sinB?cosA?cosBsinA?cosA?cosB?sinB从而sinAcos

?4?cosAsin?4?cosBsin?4?sinBcos?4

sin(A?)?sin(?B)

44又0?A?B?? 故A????4??4

?B

A?B?所以C? 18. 解：

?2?2 (Ⅰ)记 A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审； B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审； C表示事件：稿件能通过复审专家的评审； D表示事件：稿件被录用.

则 D=A+B·C,

P(A)?0.5?0.5?0.25,P(B)?2?0.5?0.5?0.5,P(C)?0.3,

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P(D)?P(A?B?C) =P(A)?P(B?C) =P(A)?P(B)P(C) =0.25+0.5×0.3 =0.40.

(Ⅱ)X~B(4,0.4)，其分布列为： P(X?0)?(1?0.4)4?0.1296,

1 P(X?1)?C4?0.4?(1?0.4)3?0.3456, 2 P(X?2)?C4?0.42?(1?0.4)2?0.3456, 3 P(X?3)?C4?0.43?(1?0.4)?0.1536,

P(X?4)?0.44?0.0256. 期望EX?4?0.4?1.6. 19. 解法一：

(Ⅰ)连接BD,取DC的中点G，连接BG,

由此知 DG?GC?BG?1,即?ABC为直角三角形，故

BC?BD.

又SD?平面ABCD,故BC?SD,

所以，BC?平面BDS,BC?DE.

作BK?EC,K为垂足，因平面EDC?平面SBC，

故BK?平面EDC，BK?DE,DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直 DE⊥平面SBC，DE⊥EC,DE⊥SB

SB?SD2?DB2?6 DE?SD?DB2? SB3 第 7 页 版权所有@中国高考志愿填报门户

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EB?DB2-DE2?所以，SE=2EB (Ⅱ) 由SA?626 ,SE?SB-EB?33SD2?AD2?5,AB?1,SE?2EB,AB?SA,知

22?1??2?AE??SA???AB??1,又AD=1.

?3??3?故?ADE为等腰三角形.

取ED中点F,连接AF,则AF?DE,AF?连接FG，则FG//EC,FG?DE.

所以，?AFG是二面角A?DE?C的平面角. 连接AG,AG=2,FG?AD2?DF2?6. 3DG2?DF2?6, 3AF2?FG2?AG21cos?AFG???,

2?AF?FG2所以，二面角A?DE?C的大小为120°. 解法二：

以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系D?xyz，

设A(1,0,0)，则B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2)

????????（Ⅰ）SC?(0,2,-2),BC?(-1,1,0)

设平面SBC的法向量为n=(a,b,c)

????????????????由n?SC,n?BC，得n?SC?0,n?BC?0

故2b-2c=0,-a+b=0

令a=1，则b=c,c=1,n=(1,1,1)

???????又设SE??EB (??0)，则

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??2E(,,) 1??1??1????????2????DE?(,,),DC?(0,2,0)

1??1??1??设平面CDE的法向量m=(x,y,z) 由m?DE,m?DC,得

m?DE?0，m?DC?0 故

?x?y2z???0,2y?0. 1??1??1??令x?2，则m?(2,0,??).

n?0,2???0,??2 由平面DEC⊥平面SBC得m⊥n,m?故SE=2EB

?211222111???（Ⅱ）由（Ⅰ）知E(,,)，取DE的中点F，则F(,,),FA?(,?,?)，

333333333????????故FA?DE?0，由此得FA?DE

????????????242又EC?(?,,?)，故EC?DE?0，由此得EC?DE，

333????????向量FA与EC的夹角等于二面角A?DE?C的平面角

????????????????FA?EC1??????? 于是 cos(FA,EC)????2|FA||EC|所以，二面角A?DE?C的大小为120 20.解： （Ⅰ）f?(x)??x?11?lnx?1?lnx?， x?xf?(x)?xlnx?1,

题设xf?(x)?x?ax?1等价于lnx?x?a. 令g(x)?lnx?x，则g?(x)?'21?1 x'1，g(x)＞0；当x≥1时，g(x)≤0，x?1是g(x)的最大值点， 当0＜x＜ g(x)≤g(1)??1

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综上，a的取值范围是??1,???.

(Ⅱ)由（Ⅰ）知，g(x)≤g(1)??1即lnx?x?1≤0.

1时，f(x)?(x?1)lnx?x?1?xlnx?(lnx?x?1)≤0； 当0＜x＜当x≥1时，

f(x)?lnx?(xlnx?x?1)

1?1) x11 ?lnx?x(ln??1)

xx ?lnx?x(lnx? ≥0 所以(x?1)f(x)≥0 21. 解：

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(x1,?y1)，l的方程为x?my?1(m?0). （Ⅰ）将x?my?1代入y2?4x并整理得

y2?4my?4?0 从而y1?y2?4m,y1y2?4 直线BD的方程为

y?y2?y2?y1(x?x2)

x2?x1y224即y?y2?(x?)

y2?y14令y?0，得x?y1y2?1 4所以点F(1,0)在直线BD上 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，

x1?x2?(my1?1)?(my2?1)?4m?2

2x1x2?(my1?1)(my2?1)?1.

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uuruur 因为 FA?(x1?1,y1),FB?(x2?1,y2)，

uuruurFA?FB?(x1?1)(x2?1)?y1y2?x1x2?(x1?x2)?1?4?8?4m2

故 8?4m?解得 m??28， 94 3 所以l的方程为

3x?4y?3?0,3x?4y?3?0 又由（Ⅰ）知 y2?y1??(4m)?4?4??故直线BD的斜率

247 343， ??y2?y17因而直线BD的方程为3x?7y?3?0,3x?7y?3?0.

因为KF为?BKD的平分线，故可设圆心M(t,0)(?1?t?1)，M(t,0)到l及BD的

距离分别为

3t?13t?1,. 543t?13t?11?由得t?，或t?9（舍去），

954故 圆M的半径r?3t?12?. 531922所以圆M的方程为(x?)?y?22. 解： （Ⅰ）an?1?2?4. 9a?251， ??2?n2an2an2an14???2,即bn?1?4bn?2

an?1?2an?2an?2bn?1?221?4(bn?),又a1?1,故b1???1 33a1?2231，公比为4的等比数列， 3所以{bn?}是首项为? 第 11 页 版权所有@中国高考志愿填报门户

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21???4n?1 3312bn???4n?1?

33bn?（Ⅱ）a1?1,a2?c?1,由a2?a1得c?2.

用数学归纳法证明：当c?2时an?an?1. （ⅰ）当n?1时，a2?c?1?a1，命题成立； a1（ⅱ）设当n=k时，ak?ak?1，则当n=k+1时，

ak?2?c?11?c??ak?1 ak?1ak故由（ⅰ）（ⅱ）知，当c>2时an?an?1

c?c2?411当c>2时，令a?，由an??an?1??c得an?a

anan2当2?c?当c?10时,an?a?3 310时，a?3，且1?an?a 3于是a?an?1?11(a?an)?(a?an) ana31(a?1) 3na?1当n?log3时，a?an?1?a?3,an?1?3

a?310因此c?不符合要求

310所以c的取值范围是(2,]

3a?an?1? 第 12 页 版权所有@中国高考志愿填报门户

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