第二章《整式的加减》集体备课

《整式的加减》全章复习与巩固（提高）知识讲解

（三个课时）

江陵县实验中学七年级数学备课组

【学习目标】

1．理解并掌握单项式与多项式的相关概念；

2．理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的加减运算、求值；

3．深刻体会本章体现的主要的数学思想----整体思想． 【知识网络】

【要点梳理】

要点一、整式的相关概念

1．单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．

（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．

2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． 要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．

（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．

（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式． 3. 多项式的降幂与升幂排列：

把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列． 要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置； （2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列． 4．整式：单项式和多项式统称为整式． 要点二、整式的加减

1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．

要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；

（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．

要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．

3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．

4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．

5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项． 【典型例题】

类型一、整式的相关概念

1．指出下列各式中的整式、单项式和多项式，是单项式的请指出系数和次数，是多项式的请说出是几次几项式． (1)a?3 (2)5 (3)(9)

2xxm?n?b (4)?y (5)3xy (6) (7) (8)1+a%

25a?1(a?b)?h 2【答案与解析】

解：整式：(1)、(2)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(9)

单项式：(2)、(5)、(6)，其中：

5的系数是5，次数是0；3xy的系数是3，次数是2；多项式：(1)、(4)、(7)、(8)、(9)，其中：

x?的系数是

1?，次数是1.

a?3是一次二项式；?y是一次二项式；

x2m?n是一次二项式；1+a%是一次二项式； 51(a?b)?h是二次二项式。 2【总结升华】①分母中出现字母的式子不是整式，故母，故

2?b不是整式；②π是常数而不是字ax?是整式，也是单项式；③(7)、(9)表示的是加、减关系而不是乘积关系，而单项

式中不能有加减．如举一反三：

m?nmn111其实质为?，(a?b)h其实质为ah?bh． 555222【变式1】若单项式?2xy【答案】15

ab?2与单项式3y2?b5x的和是单项式，那么3a?b?

【变式2】若多项式(m?4)x?x3n?1?5x?(n?m?2)是关于x的二次三项式，则

m?________，

n?________，这个二次三项式为 。

【答案】?4,3,x?5x?9

2类型二、同类项及合并同类项

2．若

2m3m?1n?152n?1xy与?xy是同类项，求出m, n的值，并把这两个单项式相加. 35【答案与解析】

2m3m?1n?152n?1xy与?xy是同类项， 35?3m?1?5,?m?2, 所以? 解得?

?2n?1?1.?n?1.当m?2且n?1时， 2m3m?1n?152n?14524214xy?(?xy)?xy?x5y?(?)x5y?x5y. 35353515解：因为

【总结升华】同类项的定义中强调，除所含字母相同外，相同字母的指数也要相同.其中，．．．．常数项也是同类项.

合并同类项时，若不是同类项，则不需合并. 举一反三：

【变式】合并同类项．

(1)3x2?4xy?4y2?5x2?2xy?2y2； (2)5xy?【答案】

(1)原式＝(3?5)x?(?4?2)xy?(4?2)y

229329111xy?xy?x3y2?xy?x3y?5． 2424??2x2?2xy?2y2

(2)原式??5???911?1?9???xy???x3y2?x3y2??x3y?5 44?2?2???4x3y2?x3y?5．

类型三、去（添）括号

3．化简x?【答案与解析】 解：原式＝x?221?12?． x?(x?x)?2?2??1111151x?(x2?x)?x2?x?x2?x?x2?x． 2424444【总结升华】根据多重括号的去括号法则，可由里向外，也可由外向里逐层推进，在计算

过程中要注意符号的变化．若括号前是“-”号，在去括号时，括号里各项都应变号，若括号前有数字因数，应把数字因数乘到括号里，再去括号． 举一反三：

【变式1】下列去括号正确的是( )． A．a2?(2a?b2?b)?a2?2a?b2?b B．?(2x?y)?(?x2?y2)??2x?y?x2?y2 C．2x2?3(x?5)?2x2?3x?5

D．?a3?[?4a2?(1?3a)]??a3?4a2?3a?1 【答案】D

【变式2】先化简代数式

2?11???a??a2??(3a2?5a?1)?a?5??，然后选取一个使原式有33????3意义的a的值代入求值． 【答案】

112?11???2a??a2??(3a2?5a?1)?a?5???a?[a2?(3a2?5a?1?a?5)]

3333???3?321162116a?[a2?(3a2?a?4)]?a?(a2?3a2?a?4) 33333328162816814?a?(?a2?a?4)?a?a2?a?4?a2?a?4． 33333333 当a?0时，原式＝0-0-4＝-4．

?【变式3】(1) (x＋y)2－10x－10y＋25＝(x＋y)2－10(______)＋25;

(2) (a－b＋c－d)(a＋b－c－d)＝[(a－d)＋(______)][(a－d)－(______)]． 【答案】（1）x＋y; （2）－b＋c，－b＋c

类型四、整式的加减

【高清课堂：整式的加减单元复习388396经典例题3】

4. 从一个多项式中减去2ab?3bc?4，由于误认为加上这个式子，得到2bc?2ab?1，试求正确答案。 【答案与解析】

解：设该多项式为A，依题意，A?(2ab?3bc?4)?2bc?2ab?1

A?(2bc?2ab?1)?(2ab?3bc?4)

A?(2ab?3bc?4)?(2bc?2ab?1)?2(2ab?3bc?4) ?2bc?2ab?1?4ab?6bc?8?8bc?6ab?9 答：正确答案是8bc?6ab?9．

【总结升华】当整式是一个多项式，不是一个单项式时，应用括号把一个整式作为一个整体

来加减．

[来源学。科。网]

举一反三：

【变式】已知A＝x2＋2y2－z2，B＝－4x2＋3y2＋2z2，且A＋B＋C＝0，则多项式C为( )． A．5x2－y2－z2 B．3x2－5y2－z2 C．3x2－y2－3z2 D．3x2－5y2＋z2 【答案】B

类型五、化简求值

5. （1）直接化简代入 当

22222

时，求代数式15a－{－4a＋[5a－8a－(2a－a)＋9a]－3a｝的值．

（2）条件求值

2

已知(2a＋b＋3)＋｜b－1｜＝0，求3a－3[2b－8＋(3a－2b－1)－a]＋1的值． （3）整体代入

(2010·鄂州)已知m2?m?1?0，求m3?2m2?2009的值． 【答案与解析】

22222

解：（1）原式=15a－[－4a＋(5a－8a－2a+a＋9a)－3a]

222

=15a－[－4a＋(6a－a)－3a]

222

=15a－(－4a＋6a－a－3a)

22

=15a－(－5a＋3a)

222

=15a+5a—3a=20a—3a 当

时，原式=

=

=

2

（2）由(2a＋b＋3)＋｜b－1｜＝0可知：2a＋b＋3=0，b－1=0，解得a= -2，b=1. 3a－3[2b－8＋(3a－2b－1)－a]＋1 =3a－3(2b－8＋3a－2b－1－a)＋1 =3a－3(2a－9)＋1 =3a－6a+27＋1 =28—3a 由a= -2

则 原式=28—3a=28+6=34

（3）∵ m2?m?1?0，∴ m2?m?1．

9m?m?m?2009?(m3?m2)?m2?200∵ m?2m?m?200? 9222322?m(m2?m)?m2?2009?m?m2?2009?1?2009?2010．

所以m?2m?2009的值为2010．

【总结升华】整体代入的一般做法是对代数式先进行化简，然后找到化简结果与已知条件之

间的联系． 举一反三：

32

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