数学建模 - 动物数量的变化及趋势

数学建模

——动物数量的变化及趋势

一．摘要

针对此问题假设100只动物在较好、中等及较差的自然环境下，年平均增长率分别为1.69%， 0.45%和-4.60%，根据单一控制变量原理，排除动物出现迁入和迁出现象，环境条件不随时间变化，动物不受到大的自然、人为灾害，是在理想的自然条件下的结果，在此基础上，通过模型的建立对动物数量在三种自然环境下逐年变化的研究，考虑在捕获动物时动物的灭绝问题，以及给人工繁殖提供一个可行的方案，因而有着广泛的应用。

针对问题1、2，我们可建立指数模型，在指数模型中，建立动物数量与时间（年份）的关系（指数函数关系），制成表格以及画出变化图形，即可解决问题1。对于问题2，通过指数多项式函数的建立，在不同的捕获数量下，根据函数的变化趋势，我们可判断该动物是否会灭绝，这样可防止过度捕获而引起的物种灭绝问题，同时进行适当的捕获，也可最大限度的利用资源

针对问题3，通过建立指数模型和微分方程建模，分析函数数据变化可得，在人工繁殖的条件下，可将该动物的数量稳定在某数值左右，即该动物的数量变化率接近0，这可应用到生产中，给人工繁殖提供一个可行的方案，使该动物数量稳定于一定值，有效地控制该动物的数量，同时，对其他动物的研究，可类似于此问题处理，因而有

着广泛的应用

关键词：环境动物数量 指数模型 微分建模

二．问题的重述

动物数量逐年变化的研究，在动物保护、人工繁殖、饲养方面都有着广泛的应用。我们主要通过对该动物数量逐年变化的研究，将此动物在不同自然环境下20年的数量变化图示化，考虑在捕获此动物时该动物的灭绝问题，以及给人工繁殖提供一个可行的方案，使该动物数量稳定于一定值。对其他动物的研究，可类似于此问题处理，因而有着广泛的应用。

某种动物在较好，中等，较差环境下的年平均增长率1.69%,0.45%,-4.6%。假设开始有100只动物，按以下情况分别讨论，动物数量的变化趋势。

1·三种环境下20年的变化过程，制表图示。

2·如果每年捕获3只，动物数量如何变化，是否会没绝？ 3·在较差环境下，使动物稳定在60只左右，问每年需要人工繁殖多少只？

三．模型的假设

1、模型假设：

① 群体无迁入、迁出现象，处于一个相对封闭的环境中。 ②群体中的每个个体具有相同的死亡与繁殖机会，即不考虑年龄个体

雌雄的差异。

③数量变化视为连续函数且光滑，只与时间有关的函数； ④从一个大的总体考虑山猫死亡与繁殖过程的平均效应； ⑤数量增长过程是平稳的，与时间无关；

⑥对动物每年的捕捉和繁殖都是在年末统计进行的。

2、符号假设：

r：表示增长率

x0：表示山猫的初始数量100只 x/t：表示第t年山猫的数量 b：每年繁殖或捕获的山猫数量

四、 模型的建立与求解

问题1

动物在较好、中等及较差的自然环境条件下的每年平均分别为1.69%， 0.45%和-4.60%，可以得知在20年的变化函数应是指数变化，分别为y1=100(1+0.0169)^x,y2=100(1+0.0045)^x,y3=100(1-0.046)^x, 利用MALLAB可画出动物在3种自然环境下20年的变化过程(作图) n=20;

r=[.0169,.0045,-.046]; x=[100,100,100]; % 初始值 for t=1:20

for j=1:3

if x(t,j)*(exp(r(j)))>0

x(t+1,j)=x(t,j)*(exp(r(j))); else

x(t+1,j)=0; %数量不能低于0. end end end

disp(' 动物在三种状态下的数量变化') % 表的标题 disp(' 年份 较好 中等 较差') % 表每列的项目名称 disp([(0:n)' round(x)]) % 把计算结果舍入为整数，列表 plot(0:n,x(:,1),'r*-',0:n,x(:,2),'yp-',0:n,x(:,3),'bo-') legend('r = 0.0168','r= -0.0055','r = - 0.045',2)%左上角注释 title('动物在三种状态下的数量变化') xlabel('时间/t'), ylabel('动物数量/只') grid

以下为动物20年的数量变化过程图 问题2

每年捕获三只，则动物在较好的自然环境下数量变化：

第一年，y1=100*(1+1.69%)-3；

第二年，y2=100*(1+1.69%)^2-3*(1+1.69%)-3；

第三年，y1=100*(1+1.69%).^3-3*(1+1.69%)^2-3*(1+1.69%)-3; ?? ??

第x年，y1=100*(1+1.69%).^x-3*(1-1.0169.^x)/(1-1.0169); 依此，中等及较差的自然环境下数量变化分别为 y2=100*(1+0.45%).^x-3*(1-1.0045.^x)/(1-1.0045); y3=100*(1-4.6/100).^x-3*(1-(1-0.046).^x)/0.046; 用matlab做出M文件程序如下： n=20; % 研究n年的演变 r=[.0169,.0045,-.046]; x=[100,100,100]; % 初始值 b=3; for k=1:n for j=1:3

if x(k,j)*(exp(r(j)))-b>0

x(k+1,j)=x(k,j)*(exp(r(j)))-b; else

x(k+1,j)=0; %捕获数量超过总数时,数量成0. end end

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/boow.html