13-1拉普拉斯变换

第十三章 拉普拉斯变换

经典法——根据电路列出微分方程然后进行求解来求解动．．．

态电路响应的方法。也叫时域解法（求解时间函数方程）。．．．．优点：物理概念清楚，便于理解。

但是这种方法对于求解二阶以上的复杂电路，很困难。即使是一阶电路，当激励为常数、正弦函数与冲击函数时，应用三要素法进行时域分析是方便的，但当激励为指数函数、斜坡函数、特别是任意函数式，时域分析也是很麻烦的。

在正弦稳态分析中，采用向量法后，将时域中的微积分运算转化成了频域中的代数运算，使运算十分简单。向量分析是一种变换。

在暂态分析中，能否也建立这种类似的变换? 拉普拉斯变换（简称拉氏变换）

线性定常电路的拉氏变换分析与向量分析十分相似，用拉氏变换求解动态电路，先将时域函数通过拉氏变换变成复频域（S域）函数，并画出S域电路，在S域电路中确定响应后，经过拉氏反变换得到时域响应。这种分析法不用求特解、通解、及确定积分常数，所得结果就是全响应。

拉氏变换将时域中的微积分方程变成S域中的代数方程。

应当指出，拉氏变换求解动态电路，只适用于线性，非

1

时变的电路，不适用于时变及非线性电路。

§15-1 拉普拉斯变换的定义

一、 拉氏变换的定义

先定义一个复数 s???j?

定义在（0－，∞）内的时间函数f(t)（f(t)代表电路中的激励，或响应），与因子e?st相乘，构成一个新的函数

f(t)e?st，再在（0－，∞）内对t积分，该积分称为单边拉

普拉斯（Laplace）正变换，简称拉氏变换。

?stL[f(t)]?F(s)?f(t)edt ? 0? ? 式中 s???j?为复数（复频率变量）

上式对t求定积分后，变成了复变量s的函数，所以记作

F(s)。

F(s)称为f(t)对应的象函数，f(t)称为F(s)的原函数。 L──拉氏变换符号（算子）

F(s)?L[f(t)]，所以F(s)又称为f(t)的拉氏变换式。

由于s被称为复频率，所以S域又叫做复频域。 积分式中下限取到t?0?，是为了当f(t)在t?0处含有冲激函数时不会被忽略。而对一般情况，下限取t?0?，0, 0?都无所谓。

1、 拉氏反变换的定义

2

sts域中的象函数F(s)，与因子e相乘，构成一个s的

stF(s)e新函数，再从(??j?)到（?＋j?)对s求定积分，

将积分值除以2?j，即得到原函数f(t)。这个定积分称为拉普拉斯反变换，简称拉氏反变换。即

1 ??j?stL[F(s)]?f(t)?F(S)eds ?2?j ??j??1L与L是一对反变换。

f(t)?F(s)称为一个拉氏变换对，f(t)与F(s)是一

?1一对应的。

习惯上，时域的原函数用小写字母表示，如i(t), u(t)， 象函数用大写字母表示，如I(s), U(s)等。 二、拉氏变换存在的条件

并非任意f(t)都能进行拉氏变换。

定义在(0?,?)区域内的函数f(t)，如果满足下列两个条件：

（1）t?0的任一有限区间内，f(t)分段连续； （2）在t充分大时，f(t)满足不等式

ct |f(t)|?Me

其中M、C为实常数（即f(t)为一指数函数），则f(t)的拉氏变换F(s)?? ? 0?f(t)e?stdt，在复平面上Re(s)?C（即

??C）的半平面上一定收敛，即在Re(s)?C的半平面内其

拉氏变换存在。

j? 3

?st所以拉氏变换存在的基本要求是? 0f(t)edt为有限值（收

? ?敛），对应复平面中使积分收敛的区域称为收敛域。 ．．．

j?t|e|?|cost?jsint|?1 证明： ∵

?? t|f(t)edt|?|f(t)|edt ∴ ? 0?? 0??st?(??c)t?Medt ? 0? ? ? ? 当??c?0，即??c，即Re(s)?c时，M? 0?e ??(??c)tdt是

收敛的（有限的），f(t)的拉氏变换才是存在的。

ct 满足|f(t)|?Me的函数f(t)称为指数级函数。在电路分析

中所遇到的大多为指数级函数，因而，其拉氏变换大多是存在的。

§15-2 一些常用函数的拉普拉斯变换 几个基本函数的拉氏变换： 1. 单位阶跃函数?(t)

?stL[?(t)]??(t)edt?e ? 0?? 0?dt

??st ? 4

1?st ??se?0?1? sj? 即?(t)?1s 为一拉氏变换对

收敛域为Re(s)?0 (??0) 0

若f(t)??(t?t0)

? L[?(t?t0)]???st 0?(t?t?0)edt ?1? ?? te?stdt???st?1?st00set0se ∴ ?(t?t1?st00) ? se (t0?0)

若f(t)?k（常数）根据拉氏变换的定义，对t?0时的函数值不予考虑，所求和拉氏变换时，k可视为k?(t)

L[k]?L[k?(t)]?k ? ??st 0?(t)edt ? ?k?1ks?s

∴ k?ks

2. 单位冲激函数?(t)

L[?(t)]?? ??st 0?(t)edt??0?0??(t)dt?1

? ∴ ?(t)?1

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?

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