2011年高考数学真题解析 - 文（书稿版） - 图文

2011年普通高等学校招生全国统一考试（数学文）解析版

2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）解析版 - 1 -

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2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）解析版 文科数学(必修+选修I)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.

3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一、选择题 (1)设集合U=（A）

?1,2,3,4?,M??1,2,3?,N??2,3,4?,则e（UMIN）=

2?3??1，?2，4? （D）?1，4? ?2， （B） （C）

【答案】D

用心 爱心 专心

- 1 -

【命题意图】本题主要考查集合交并补运算. 【解析】

QMIN?{2,3},?e1,4}U(MIN)?{

(2)函数y?2x(x?0)的反函数为

x2x2y?(x?R)y?(x?0)44（A） （B）

22y?4xy?4x(x?0) (x?R)（C） （D）

【答案】B

【命题意图】本题主要考查反函数的求法.

y2x?4,又原函数的值域为y?0,所以函数y?2x(x?0)的反函数【解析】由原函数反解得x2y?(x?0)4为.

rr??1????a?b??a?2b?a,b|a|?|b|?12(3)设向量满足,,则

（A）2 （B）3 （C）5 （D）7

【答案】B

【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.

rr2r2rrur2rr1|a?2b|?|a|?4a?b?4|b|?1?4?(?)?4?3a?2b?32【解析】,所以 ?x?y?6??x?3y?-2?x?1(4)若变量x，y满足约束条件?，则z=2x?3y的最小值为

（A）17 （B）14 （C）5 （D）3 【答案】C

【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.

【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线z=2x?3y过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.

(5)下面四个条件中，使a?b成立的充分而不必要的条件是 （A）a＞b?1 （B）a＞b?1 （C）a＞b （D）a＞b 【答案】A

【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.

用心 爱心 专心

- 2 -

2233

【解析】即寻找命题P,使P?a?b,且a?b推不出P,逐项验证知可选A. (6)设

Sn为等差数列

?an?的前n项和，若a1?1，公差d?2，Sk?2?Sk?24，则k?

（A）8 （B）7 （C）6 （D）5 【答案】D

【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用. 【解析】解

法一

Sk?2?Sk?[(k?2)?1?(k?2)(k?1)k(k?1)?2]?[k?1??2]?4k?4?2422，解得k?5.

，解得k?5.

解法二:

Sk?2?Sk?ak?2?ak?1?[1?(k?1)?2]?(1?k?2)?4k?4?24?(7)设函数f(x)?cos?x(??0)，将y?f(x)的图像向右平移3个单位长度后，所得的图像

与原图像重合，则?的最小值等于

1（A）3 （B）3 （C）6 （D）9

【答案】C

【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系.

?【解析】由题意将y?f(x)的图像向右平移3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说

2????k?(k?Z)3明了3是此函数周期的整数倍,得?,解得??6k,又??0,令k?1,得

?min?6.

(8)已知直二面角??l??,点A??，AC?l,C为垂足,B??，BD?l,D为垂 足,若AB?2,AC?BD?1，则CD?

（A） 2 （B）3 （C）2 （D）1 【答案】C

【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形.

? l D A C ?B 【解析】因为??l??是直二面角, AC?l,∴AC?平面?,?AC?BC

?BC?3,又BD?l,?CD?2 (9) 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 (A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种

用心 爱心 专心

- 3 -

【答案】B

【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力. 【解析】第一步选出2人选修课程甲有

2C4?6种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选

1门课程有2?2种选法，根据分步计数原理，有6?4?24种选法.

5f(?)?2 (10) 设f(x)是周期为2的奇函数，当0?x?1时，f(x)?2x(1?x),则

1111? (A) -2 (B)4 (C)4 (D)2

【答案】A 【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 关键是把通过周期性

5和奇偶性把自变量2转化到区间[0,1]上进行求值.

?【解析】由f(x)是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:

5511111f(?)?f(??2)?f(?)??f()??2??(1?)??2222222

(11)设两圆

C1、

C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离

C1C2=

(A)4 (B)42 (C)8 (D)82

【答案】C

【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.

【解析】由题意知圆心在直线y=x上并且在第一象限,设圆心坐标为(a,a)(a?0),则

a?(a?4)2?(a?1)22a?10a?17?0,所以由两点间的距离公式可求出,即

C1C2?2[(a1?a22)?4a1a2?]?2(1?00?41?7).

08(12)已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4?，则圆N的面积为 (A)7? (B)9? (C)11? (D)13?

【答案】D

【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.

【解析】如图所示,由圆M的面积为4?知球心O到圆M的距离

用心 爱心 专心 - 4 -

1ON?OM?3OM?23,在Rt?OMN中,?OMN?30?, ∴2,故圆N的半径r?R2?ON2?13,∴圆N的面积为S??r2?13?.

第Ⅱ卷 注意事项：

1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目。2第Ⅱ卷共2页，请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效。

3第Ⅱ卷共l0小题，共90分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上. (注意：在试卷上作答无效)

109(1?x)(13)的二项展开式中，x的系数与x的系数之差为 .

【答案】0

【命题意图】本题主要考查二项展开式的通项公式和组合数的性质. 【解析】由

9rrrTr?1?C10(?x)r?(?1)rC10x得x的系数为?10,x的系数为

99?C10??10,所以x的系数与x的系数之差为0.

??(?,(14)已知

3?)2,tan??2,则cos?? .

?【答案】

55

【命题意图】本题主要考查同角三角函数的基本关系式. 要注意角的范围，进而确定值的符号.

??(?,【解析】(15)已知正方体

3?5?)2,tan??2,则cos??5.

中，E为

ABCD?A1B1C1D1C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余

弦值为 .

2【答案】3

【命题意图】本题主要考查正方体中异面直线AE与BC所成的角.

【解析】取A1B1的中点M连接EM，AM，AE，则?AEM就是异面直线AE与BC所成的

22?32?52cos?AEM??2?2?33. 角。在?AEM中，

用心 爱心 专心

- 5 -

x2y2??1F1F2(16)已知、分别为双曲线C: 927的左、右焦点，点A?C，点M的坐标为(2，

0)，AM为

?F1AF2的平分线．则

|AF2|? .

【答案】6

【命题意图】本题主要考查三角形的内角平分线定理，双曲线的第一定义和性质.

|AF2||MF2|41????F1AF2|AF1||MF1|82 ∴|AF1|?2|AF2|

【解析】QAM为的平分线，∴

又点A?C，由双曲线的第一定义得

|AF1|?|AF2|?2|AF2|?|AF2|?|AF2|?2a?6.

三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效) 设等比数列

?an?的前n项和为Sn.已知a2?6,6a1?a3?30,求an和Sn.

【思路点拨】解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于a1和公比q的方程，求出a1和q，然后利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解即可。 【解析】设

?an?的公比为q,由题设得

?a1q?6??6a1?a1q?30 …………………………………3分

?a1?3?a1?2??q?2q?3解得?或?， …………………………………6分

当当

a1?3,q?2a1?2,q?3时，时，

an?3?2n?1,Sn?3?(2n?1)an?2?3n?1,Sn?3n?1；

……………………………10分

(18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知asinA?csinC?2asinC?bsinB. (Ⅰ)求B；

0A?75,b?2,求a，c. （Ⅱ）若

【思路点拨】第（I）问由正弦定理把正弦转化为边，然后再利用余弦定理即可解决。

（II）在（I）问的基础上知道两角一边可以直接利用正弦定理求解. 【解析】(I)由正弦定理得a?c?2ac?b…………………………3分 由余弦定理得b?a?c?2accosB.

222222cosB?故

22，因此B?45? .…………………………………6分

用心 爱心 专心

- 6 -

??sinA?sin(30?45) （II）

?sin30?cos45??cos30?sin45?

?2?64 …………………………………8分

a?b?sinA2?6??1?3sinB2

故

sinCsin60?c?b??2??6sinBsin45?.…………………………………12分

(19)(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.

(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

(II)求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.

【命题意图】本题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及次独立重复试验发生k次的概率，考查考生分析问题、解决问题的能力. 【解析】记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险：

B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险。 C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种； D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；

E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买. (I)P(A)?0.5, P(B)?0.3, C?A?B ……………………………3分

P(C)?P(A?B)?P(A)?P(B)?0.8 ……………………………6分

(II)D=C,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2, ……………………………9分 P(E)=

C32?0.2?0.82?0.384. ……………………………12分

(20）(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效) 如图，四棱锥S?ABCD中， AB∥CD,BC?CD，侧面

SSAB为等边三角形.AB?BC?2,CD?SD?1.

证明：SD?平面SAB

求AB与平面SBC所成角的大小。 【分析】第（I）问的证明的突破口是利用等边三角形SAB这个条件，找出AB的中点E，连结SE，DE，就做出了解决这个问题的关键辅助线。

用心 爱心 专心

DSADFAEBHGBCC- 7 -

(II)本题直接找线面角不易找出，要找到与AB平行的其它线进行转移求解。

【命题意图】以四棱锥为载体考查线面垂直证明和线面角的计算，注重与平面几何的综合. 解法一：(Ⅰ)取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE?CB?2，连结SE，则SE?AB，SE?3. 又SD?1,故ED?SE?SD,

所以?DSE为直角. ………………3分 由AB?DE,AB?SE,DEISE?E,得AB?平面SDE,所以AB?SD.

222SD与两条相交直线AB、SE都垂直.

所以SD?平面SAB. ………………6分

22SD?1,AD?5,SA?2SA?SD?AD.可知SD?SA,同理可另解:由已知易求得,于是

2得SD?SB,又SAISB?S.所以SD?平面SAB. ………………6分 (Ⅱ)由AB?平面SDE知，平面ABCD?平面SDE.

作SF?DE,垂足为F,则SF?平面ABCD,作FG?BC,垂足为G,则FG?DC?1. 连结SG.则SG?BC.

SF?SD?SE3?DE2.

又BC?FG,SGIFG?G,故BC?平面SFG,平面SBC?平面SFG.……9分 作FH?SG,H为垂足,则FH?平面SBC.

FH?SF?FG321?SG7,即F到平面SBC的距离为7.

21由于ED//BC,所以ED//平面SBC,E到平面SBC的距离d也为7.

sin??d2121???arcsinEB7,7.……12分

- 8 -

设AB与平面SBC所成的角为?,则

用心 爱心 专心

解法二：以C为原点,射线CD为x轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系C?xyz. 设D(1,0,0),则A(2,2,0)、B(0,2,0). 又设S(x,y,z),则x?0,y?0,z?0.

uuASr?(x?2,y?2,z),uuBSr?(x,y?2,z),uuDSur(Ⅰ)?(x?1,y,z), |uuASr|?|uuBSr由|得

(x?2)2?(y?2)2?z2?x2?(y?2)2?z2, 故x?1.

uuur由|DS|?1得y2?z2?1,

又由|uuBSr|?2得

x2?(y?2)2?z2?4, 1即y2?z2?4y?1?0y?,故

2,z?32. ………………3分 S(1,13uur33uur33r于是

2,2),AS?(?1,?2,2),BS?(1,?uuu132,2),DS?(0,2,2), uuDSur?uuASr?0,uuDSur?uuBSr?0.

故DS?AS,DS?BS,又ASIBS?S,

所以SD?平面SAB. ………………6分

r(Ⅱ)设平面SBC的法向量a?(m,n,p), r?uuBSr,ra?CBuur,ra?uuBSr?0,ra?CBuur则a?0.

uuBSr?(1,?3,3),CBuur又22?(0,2,0), ???m?3n?3p?0,故?22?2n?0 ………………9分

p?2ruuur取得a?(?3,0,2),又AB?(?2,0,0),

用心 爱心 专心 - 9 -

cos?uuABur,ruua??ABur?ra21|uuABur|?|ra|?7.

故AB与平面SBCarcsin21所成的角为

7. ………………12分

(21)(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效) 已知函数

f(x)?x3?3ax2?(3?6a)x+12a?4?a?R?

(Ⅰ)证明：曲线y?f(x)在x?0处的切线过点（2，2）； （Ⅱ）若

f(x)在x?x0处取得最小值，x0?（1，3），求a的取值范围.

【分析】第(I)问直接利用导数的几何意义，求出切线的斜率，然后易写出切线方程.

(II)第（II）问是含参问题，关键是抓住方程f?(x)?0的判别式进行分类讨论.

解：（I）

f?(x)?3x2?6ax?3?6a .………………2分 由f(0)?12a?4,f?(0)?3?6a得曲线y?f(x)在x=0处的切线方程为 y?(3?6a)x?12a?4

由此知曲线y?f(x)在x=0处的切线过点（2，2） .………………6分

（II）由f?(x)?0得x2?2ax?1?2a?0.

（i）当?2?1?a?2?1时，f(x)没有极小值； .………………8分(ii)当a?2?1或a??2?1时，由f?(x)?0得 x1??a?a2?2a?1,x2??a?a2?2a?1 故

x0?x2.由题设知

1??a?a2?2a?1?3， 当a?2?1时，不等式1??a?a2?2a?1?3无解；

当a??2?1时，解不等式1??a?a2?2a?1?3?5?a??2?1得2 a(?5,?2?1)综合(i)(ii)得的取值范围是2 ..………………12分

(22)(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)

用心 爱心 专心 - 10 -

y2x??12已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为?2uuruuuruuurr的直线l与C交与A、B两点，点P满足OA?OB?OP?0.

2(I)证明：点P在C上；

(II)设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.

【命题意图】本题考查直线方程、平面向量的坐标运算、点与曲线的位置关系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件。

????????????【分析】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路，注意把OA?OB?OP?0.用坐

标表示后求出P点的坐标，然后再结合直线方程把P点的纵坐标也用A、B两点的横坐标表示出来.从而求出点P的坐标代入椭圆方程验证即可证明点P在C上;(II)此问题证明有两种思路：思路一：关键是证明?APB,?AQB互补.通过证明这两个角的正切值互补即可，再求正切值时要注意利用到角公式.

思路二：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心N，然后证明N到四个点A、B、P、Q的距离相等即可.

y2x??1y??2x?1F(0,1)2【解析】(I),l的方程为,代入并化简得

24x2?22x?1?0. …………………………2分

设

A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),

则

x1?2?62?6,x2?,44

2,y1?y2??2(x1?x2)?2?1,2

x1?x2? 由题意得

x3??(x1?x2)??2,?1)2.

2,y3??(y1?y2)??1,2

所以点P的坐标为

(?2y22(?,?1)x??122P经验证点的坐标满足方程,故点P在椭圆C上 …6分

用心 爱心 专心 - 11 -

22,?1)(2(II)由P(?和题设知，Q2,1)，PQ的垂直平分线l1的方程为

y??22x. ①

M(21设AB的中点为M,则

4,2),AB的垂直平分线l2的方程为

y?22x?14. ②

2由①、②得l1、lN(?2的交点为

8,18). …………………………9分

|NP|?(?22?28)2?(?1?13118)2?8,

|AB|?1?(?2)2g|x2?x21|?32,

|AM|?324,

|MN|?(24?22112338)?(2?8)?8,

|NA|?|AM|2?|MN|2?3118,

故 |NP|?|NA|,

又 |NP|?|NQ|, |NA|?|NB|, 所以 |NA|?|NP|?|NB|?|NQ|,

由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心,NA为半径的圆上. ……………12分y1?(?1)?y2?(?1)x(?2)x2tan?APB?kPA?kPB?1?2?(1?kPAkPB1?y1?(2??1)?y2?(?2)1)（II）法二：

x?221?(2)x2?(?2)

用心 爱心 专心

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?3(x2?x1)4(x2?x1)?33293x1x2?(x1?x2)?22

y2?1y1?1?22x2?x1?(?)22?y?1y1?11?2?22x2?x1?(?)22

同理

tan?AQB?kQB?kQA1?kQAkQB?(x1?x2)4(x2?x1)??3213x1x2?(x1?x2)?22

所以?APB,?AQB互补，

因此A、P、B、Q四点在同一圆上。

【点评】本题涉及到平面向量，有一定的综合性和计算量，完成有难度. 首先出题位置和平时模拟几乎没有变化，都保持全卷倒数第二道题的位置，这点考生非常适应的。相对来讲比较容易，是因为这道题最好特点没有任何的未知参数，我们看这道题椭圆完全给出，直线过了椭圆焦点，并且斜率也给出，平时做题斜率不给出，需要通过一定条件求出来，或者根本求不出来，这道题都给了，反而同学不知道怎么下手，让我求什么不知道，给出马上给向量条件，出了两道证明题，这个跟平时做的不太一样，证明题结论给大家，需要大家严谨推导出来，可能叙述的时候有不严谨的地方。这两问出的非常巧妙，非常涉及解析几何本质的内容，一个证明点在椭圆上的问题，还有一个疑问既然出现四点共圆，这都是平时很少涉及内容。从侧面体现教育深层次的问题，让学生掌握解析几何的本质，而不是把套路解决。其实几年前上海考到解析几何本质问题，最后方法用代数方法研究几何的问题，什么是四点共圆？首先在同一个圆上，首先找到圆心，四个点找圆形不好找，最简单的两个点怎么找？这是平时的知识，怎么找距离相等的点，一定在中垂线，两个中垂线交点必然是圆心，找到圆心再距离四个点距离相等，这就是简单的计算问题.方法确定以后计算量其实比往年少.

2011年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷）解析版 文科数学

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

用心 爱心 专心

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2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合

M??0,1,2,3,4?,N??1,3,5?,P?M?N,则P的子集共有

（A）2个 （B）4个 （C）6个 （D）8个

1,3?，子集数为22=4 解析：本题考查交集和子集概念，属于容易题。显然P=?故选B

5i?（2）复数1?2i

（A）2?i （B）1?2i （C）?2?i （D）?1?2i 解析：本题考查复数的运算，属容易题。

5i?1?2i?5i??2?i?????1?2i1?2i解法一：直接法1?2i，故选C

解法二：验证法 验证每个选项与1-2i的积，正好等于5i的便是答案。 （3）下列函数中，即是偶数又在

?0,???单调递增的函数是

?x23y?x?1y?2y??x?1y?xA. B. C. D.

解析：本题考查函数的奇偶性和单调性，属于简单题 可以直接判断：A是奇函数，B是偶函数，又是

?0,???的增函数，故选B。

x2y2??1(4).椭圆168的离心率为

3211A. 3 B. 2 C. 3 D. 2

解析;本题考查椭圆离心率的概念，属于容易题，直接求

c222??42e=a,故选D。也可以用公式

e2?1?b2?1?2a812?.?e?1622故选D。

（5）执行右面得程序框图，如果输入的N是6，

用心 爱心 专心 - 14 -

那么输出的p是

（A）120 （B）720 （C）1440 （D）5040

解析：本题考查程序框图，属于容易题。 可设则

P21?1,

K1?2

P3?2，K,2?3

PPPP?6，K,3?44?24，K,4?55?120，K,5?6

6?720，K,6?7?6输出720.故选B

（6）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

1123（A）3 (B) 2 (C) 3 (D) 4

解析：本题考查古典概型，属于容易题。设三个兴趣小组分别为A,B,C.

31?.他们参加情况共一下9种情况，其中参加同一小组情况共3中，故概率为93故选A。

（7）已知角?的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2?=

4334?（A）5 （B）5 (C) 5 (D) 5

?解析：本题考查三角公式，属于容易题。

易知tan?=2，cos?=

?15.由cos2?=2cos23?-1=5 故选B

?（8）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的侧视图可以为

用心 爱心 专心 - 15 -

解析：本题考查三视图的知识，同时考察空间想象能力。属于难题。

由正视图和俯视图可以判断此几何体前部分是一个的三棱锥，后面是一个圆锥，由此可选D （9）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直。l与C交于A,B两点，P为C的准线上一点，则?ABP的面积为

（A）18 （B）24 （C）36 （D）48 解析：本题考查抛物线的方程，属于中等题。

易知2P=12，即AB=12，三角形的高是P=6，所以面积为36，故选C。 （10）在下列区间中，函数

的零点所在的区间为

AB=12，

解析：本题考查零点存在定理，属于中等题。只需验证端点值，凡端点值异号就是答案。故选C。

（11）设函数，则

（A）y=在单调递增，其图像关于直线对称

（B）y=在单调递增，其图像关于直线对称

用心 爱心 专心 - 16 -

ππ（C）y= f (x) 在（0，2）单调递减，其图像关于直线x = 4对称 ππ（D）y= f (x) 在（0，2）单调递减，其图像关于直线x = 2对称

解析：本题考查三角函数的性质。属于中等题。

π?解法一：f(x)=2sin(2x+2)=2cos2x.所以f(x) 在（0，2）单调递减，其图像关于直线x π= 2对称。故选D。

π解法二：直接验证 由选项知（0，2）不是递增就是递减，而端点值又有意义，故只需验证π端点值，知递减，显然x = 4 不会是对称轴

故选D。

，1?时 f (x) =x2,那么函数y = f (x) 的图像与函数(12) 已知函数y= f (x) 的周期为2，当x???1y =

lgx的图像的交点共有

（A）10个 （B）9个 （C）8个 （D）1个

解析：本题考查函数的图象和性质，属于难题。 本题可用图像法解。易知共10个交点

用心 爱心 专心 - 17 -

1 9

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须回答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直，则k= 。

解析：本题考查向量的基本运算和性质，属于容易题。 解法一：直接法 (a+b)(ka-b)=0展开易得k=1.

解法二：凭经验 k=1时a+b, a-b数量积为0，易知k=1.

（14）若变量x，y满足约束条件 则z=x+2y的最小值为 。 解析：本题考查线性规划的基本知识，属于容易题。只需画出线性区域即可。 易得z=x+2y的最小值为-6。

（15）△ABC中B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为 。 解析：本题考查余弦定理和面积公式，属于容易题。 有余

AB2?AC2?BC?2AC?BCcos20

153所以BC=3，有面积公式得S=4

（16）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆

3锥底面面积是这个球面面积的16 ，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的

比值为 。 解析：本题考查球内接圆锥问题，属于较难的题目。

用心 爱心 专心 - 18 -

3由圆锥底面面积是这个球面面积的16

?r4?22得

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

R?316r3R3R1?,2，则小圆锥的高为2大圆锥的高为2，所以比值为3 所以R已知等比数列

?a?中，

na2?11q?3，公比3。

Sn?1?an2

，求数列

（I）

Sn为

?a?的前n项和，证明：

n（II）设

bn?log3a1?log3a2?????log3anbn的通项公式。

解析：本题考查等比数列基本知识和等差数列的基本知识。

（I）?1?1?an?3??n?1?3???1????3?n?1??1?1?1?1n3?3n????3?Sn121?3

?

Sn?1?an2

（II）

bn?log3a1?log3a2?????log3ann(n?1)2=-（1+2+3+?+n）=- n(n?1)?数列bn的通项公式为bn=-2

（18）（本小题满分12分）

??DAB?60,AB?2AD,PD? 底P?ABCDABCD如图，四棱锥中，底面为平行四边形。

面ABCD 。 （I）证明：PA?BD

（II）设PD?AD?1，求棱锥D?PBC的高。

用心 爱心 专心 - 19 -

解：（Ⅰ ）因为?DAB?60?,AB?2AD, 由余弦定理得BD?3AD 从而BD2+AD2= AB2，故BD?AD 又PD?底面ABCD，可得BD?PD 所以BD?平面PAD. 故PA?BD

（Ⅱ）过D作DE⊥PB于E，由（I）知BC⊥BD,又PD⊥底面ABCD，所以BC⊥平面PBD，而DE?平面PBD，故DE⊥BC,所以DE⊥平面PBC 由题设知PD=1，则BD=3,PB=2，

33由DE﹒PB=PD﹒BD得DE=2,即棱锥D?PBC的高为2

（19）（本小题12分）

某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质产品，现用两种新配方（分别称为A分配方和B分配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；

（Ⅱ）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为

估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润。

解：本题考查概率的基本知识，属于容易题。

22?8（Ⅰ）由实验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为100=0.3所以用A配方生产

的产品中优质品率的估计值为0.3。

32?10由实验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为100=0.42，

用心 爱心 专心 - 20 -

所以用B配方生产的产品中优质品率的估计值为0.42.

（Ⅱ）由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率当且仅当

t≥94,由试验结果知，t≥94的频率为0.96，所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.

用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润为

1100??4??-2??54?2?42?4?=2.68（元）

2

（20）（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，曲线

y?x2?6x?1与坐标轴的交点都在圆C上 （Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）若圆C与直线x?y?a?0交与A，B两点，且OA?OB，求a的值。 解析：本题考查圆的方程和直线和圆的关系。

（Ⅰ）曲线y?x2?6x?1与坐标轴的交点为（0,1）（3?22,0）

32??t-1?2故可设圆的圆心坐标为（3，t）则有

??22?22+t

解得t=1,则圆的半径为32??t?1?2?3

所以圆的方程为?x?3?2??y?1?2?9

（Ⅱ）设A(

x1,y1) B(x2,y2)其坐标满足方程组

x?y?a?02 ?x?3?2??y?1?2?9

2消去y得到方程

2x?(2a?8)x?a2?2a?1?0

由已知可得判别式△=56-16a-4

a2>0

2xx?a?2a?1由韦达定理可得x1?x2?4?a，

122 ①

由OA?OB可得x1x2?y1y2?0.又

y1?x1?ay2?x2?a。所以

2

x1x2?a(x1?x22)?a?0 ②

由①②可得a=-1,满足△>0，故a=-1。

用心 爱心 专心

- 21 -

（21）（本小题满分12分）

f(x)?已知函数

alnxb?x?1x，曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x?2y?3?0。

（Ⅰ）求a、b的值；

)?lnx（Ⅱ）证明：当x?0，且x?1f(x时，

x?1。

解析：本题考查导数的基本概念和几何意义，

?(x?1f'(x)?x?lnx)b（Ⅰ）

(x?1)2?x2

?1?f(1)?1,?1

由于直线x?2y?3?0?的斜率为2，且过点(1,1)，故??f'(1)??2,即 ??b?1,?

?a?2?b??12,

解得a?1，b?1。

lnx?1（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=

x?1x,所以 2f(x)?lnx1??2lnx?x?1??x?1?1?x2??x??

考虑函数

2222?2x??x?1??x?1?则h′(x)=

xx2??x2

所以x≠1时h′(x)＜0而h(1)=0故 x??0,1?f(x)?lnx时h(x)>0可得

x?1 f(x)?lnxx??1，??? h(x)<0可得x?1

f(x)?lnx从而当x?0，且x?1时，

x?1。

用心 爱心 专心 - 22 -

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D，E分别为

?ABC的边AB，

AC上的点，且不与?ABC的顶点重合。已知AE的长为m，AC2xxAB的长为n，AD,的长是关于的方程?14x?mn?0的两个

根。

（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；

（Ⅱ）若?A?90?，且m?4,n?6，求C，B，D，E所在

圆的半径。

解析：（Ⅰ）连结DE,根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC

ADAE?AB,又∠DAE=∠CAB,从而△ADE～△ACB 即AC因此∠ADE=∠ACB,所以C,B,D,E四点共圆。

（Ⅱ）m=4,n=6,方程x?14x?mn?0的两根为2,12.即AD=2，AB=12

取CE的中点G，DB的中点F，分别过G,F作AC,AB的垂线，两垂线交于点H，连结D,H,

因为C,B,D,E四点共圆，所以圆心为H,半径为DH.由于∠A=900 故GH∥AB,HF∥AC.从而HF=AG=5，DF=5，故半径为52. (23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为

2?x?2cos???y?2?2sin?（?为参数）

M是C1上的动点，P点满足(Ⅰ)求C2的方程

,P点的轨迹为曲线C2

??(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线为A，与C2的异于极点的交点为B，求

?3与C1的异于极点的交点

AB.

(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数

f(x)?x?a?3x,其中a?0。

用心 爱心 专心 - 23 -

（Ⅰ）当a?1时，求不等式f(x)?3x?2的解集

?x|x??1（Ⅱ）若不等式f(x)?0的解集为? ，求a的值

2011年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学（文）

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分）

选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项。

已知全集U=R，集合

P?x?x2?1??，那么eP?

U(A)(??,?1) (B)(1,??) (C)（-1，1) (D)

?????1???1????

2eP??????1???1????【解析】：x?1??1?x?1，U，故选D

i?2?1?2i（2）复数

4343??i??i (A)i (B )?i (C)55 (D)55 i?2(i?2)(1?2i)i?2i2?2?4ii?2(?1)?2?4i????i21?2i(1?2i)(1?2i)1?4i1?4(?1)【解析】：，选A。

log1x?log1y?0（3）如果

22，那么

（A）y?x?1 (B)x?y?1 (C)1?x?y (D)1?y?x

log1x?log1y?x?y【解析】：

22log1y?0?y?1，

2，即1?y?x故选D

（4）若p是真命题，q是假命题，则

（A）p?q是真命题 (B)p?q是假命题

用心 爱心 专心 - 24 -

(C)?p是真命题 (D)?q是真命题 【解析】：或（?）一真必真，且（?）一假必假，非真假相反，故选D

（5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积(A)32 (B)16+162 (C)48 (D)16?322

【解析】：由三视图可知几何体为底面边长为4，高为2的正四棱锥，则四棱锥的斜高为22，（?）

是

1?4?22?4?42?16?162表面积2故选B。

（6）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的P值为 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5

【答案】C

【解析】执行三次循环，S?1?A?2成立，p?1?1?2，

S?1?113?1??P22，

S?331311111?A?2S?????S??A?222P236，6成立，p?2?1?3，成立，

p?3?1?4

S?1111112525????S??A?26p6412，12不成立，输出p?4，故选C

用心 爱心 专心

- 25 -

（7）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。若每批生产x件，则平均仓

x储时间为8天，且每件产品每天的仓储费用为1元。为使平均到每件产品的生产准备费用与

仓储费用之和最小，每批应生产产品

（A）60件 (B)80件 （C）100件 （D）120件

（8）已知点

A?0,2?,B?2,0?。若点C在函数y?x的图象上，则使得?ABC的面积为2的

2点C的个数为

（A）4 (B)3 (C)2 (D)1

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）在?ABC中，若

b?5,?B??4,sinA?13，则a? .

52【答案】3

a552?,a?ab?11?3sin?b?5,?B?,sinA?443所以3【解析】：由正弦定理得sinAsinB又

y2x?2?1(b?0)b （10）已知双曲线的一条渐近线的方程为y?2x，则b? .

2【答案】2

y2y22x?2?1x?2?0y??bxbb【解析】：由得渐近线的方程为即y??bx，由一条渐近线的

2用心 爱心 专心 - 26 -

方程为y?2x得b?2

（11）已知向量【答案】1

a?(3,1),b?(0?1),c?(k,3)。若a?2b与c，共线，则k= .

?????【解析】：a?2b?(3,3)由a?2b与c共线得3?3?3k?k?1

1a?,a4?4,1an??2 （12）在等比数列中，若则公比q? ；

a1?a2???an? .

2n?1?【答案】2

312

113a?,a?4,4?q?q?214an??a4?a1q22【解析】：由是等比数列得，又 所以

1n(1?2)a1(1?q)21a1?a2???an???2n?1?1?q1?22

n（13）已知函数 若关于x的方程f(x)?k 有两个不同的实 【答案】（0，1）

2f(x)?(x?2)3f(x)?(x?1)(x?2)单调递增且值域为x【解析】单调递减且值域为(0,1]，(??,1)，f(x)?k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）。

根，则实数k的取值范围是 .

(4,0),C(t4,3),?(D,3)(t（14）设A(0,0),Bt?R)。记N(t)为平行四边形ABCD内部（不含

边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N(0)? ；

N(t)的所有可能取值为 。

【答案】6 6，7，8，

【解析】：在t?0,

0?t?33t?2 , 2时分别对应点为6,8 ,7。在平面直角坐标系中画出平行

用心 爱心 专心

- 27 -

AB位于x正半轴；四边形ABCD，其中A位于原点，设y?k(k?1,2)与AD边的交点为k ，

与BC 边的交点为

BkAB，四边形内部ABCD（不包括边界）的整点都在线段kk上，

?|AkBk|?|AB?|4?AB线段kk上的整点有3个或4个，所以3?2?N(t)?4?2?8，不难t2tA1(,1)A2(,2)3，3求得点

①当t为3n型整数时，都是整点，N(t)?6 ②当t为3n?1型整数时，③当t为3n?2型整数时，

A1，，

A2A2都不是整点， N(t)?8

都不是整点， N(t)?8（以上表述中n为整数）上面3种

A1情形涵概了t的所有整数取值，所以N(t)的值域为{6，7，8 }

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

f(x)?4cosxsin(x?)?1.6已知函数

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；

??????,??（Ⅱ）求f(x)在区间?64?上的最大值和最小值。

f(x)?4cosxsin(x?【解析】：（Ⅰ）因为网KS5U.COM]

?6)?1?4cosx(31sinx?cosx)?122[高考资源

?3sin2x?2cosx?1?3sin2x?cos2x2?2sin(2x??6所以f(x)的最小正周期为

)?

?（Ⅱ）因为

?6?x??4,所以??6?2x??6?2????.2x??,即x?3于是，626时，f(x)当

2x?取得最大值2；当

?6???,即x??时,f(x)66取得最小值—1．

?

（16）（本小题共13分）

以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊，无法确

用心 爱心 专心

- 28 -

认，在图中经X表示。

（Ⅰ）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；

（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率。

___1_22s?[(x1?x)?(x2?x)???(xn?x)2],xx?xnn（注：方差其中x为1，2，的平均数）

2 【解析】：（Ⅰ）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，

x?所以平均数为

8?8?9?1035?;44

135353511s2?[(8?)2?(9?)2?(10?)2]?.444416 方差为

（Ⅱ）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四

名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A3，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A1，B4），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，

P(C)?B2），（A4，B2），故所求概率为

（17）（本小题共14分）

41?.164

如图，在四面体PABC中，PC?AB,PA?BC,点

D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点。

（Ⅰ）求证：DE??平面BCP； （Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；

（Ⅲ ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点 的距离相等？说明理由。

【解析】：证明：（Ⅰ）因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE//PC。又因为DE?平面

用心 爱心 专心

- 29 -

BCP，所以DE//平面BCP。

（Ⅱ）因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，

所以DE//PC//FG，DG//AB//EF。所以四边形DEFG为平行四边形， 又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG，所以四边形DEFG为矩形。

（Ⅲ）存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点

1由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=2EG.

分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN。

与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线点为EG的中点Q，

1且QM=QN=2EG，所以Q为满足条件的点.

（18）（本小题共13分）

xf(x)?(x?k)e 已知函数。

（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）求f(x)在区间[0,1]上的最小值。

3?f(x)?(x?k?1)e.令f??x??0，得x?k?1． f(x)与f?(x)的情况如【解析】：（Ⅰ）

下：

x （??,k?k） k?1 — ↗ 0 （(k?1,??) + ↗ f?(x) f(x)

?ek?1 所以，f(x)的单调递减区间是（??,k?1）；单调递增区间是(k?1,??)

（Ⅱ）当k?1?0，即k?1时，函数f(x)在[0，1]上单调递增，所以f（x）在区间[0，

1?k?2时，由（Ⅰ）知f(x)在[0,k?1]上单1]上的最小值为f(0)??k;当0?k?1?1,即f(k?1)??ek?1(k?1,1]f(x)调递减，在上单调递增，所以在区间[0，1]上的最小值为；当

k?1?t,即k?2时，函数f(x)在[0，1]上单调递减，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)?(1?k)e.

用心 爱心 专心

- 30 -

（19）（本小题共14分）

6x2y2G:2?2?1(a?b?0)(22,0)ab 已知椭圆的离心率为3，右焦点为。斜率为1的

直线l与椭圆G交于A,B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(?3,2)。 （Ⅰ）求椭圆G的方程； （Ⅱ）求?PAB的面积。

c?22,【解析】：（Ⅰ）由已知得

c6?.222a3解得a?23.又b?a?c?4.

x2y2??1.124所以椭圆G的方程为

?y?x?m?2y2?x?14x2?6mx?3m2?12?0.??y?x?m.124?（Ⅱ）设直线l的方程为由得设A、B

的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1?x2),AB

中点为

E

(x0,y0)，则

x0?x1?x2m3m??,y0?x0?m?244因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以

m4??1.k?3m2?3?4x?12x?0.4PE的斜率解得m=2。此时方程①为解得x1??3,x2?0.2?所以y1??1,y2?2.所以|AB|=32.此时，点P（—3，2）到直线AB：x?y?2?0的距

d?离

|?3?2?2|2?3219,|AB|?d?.2所以△PAB的面积S=22

（20）（本小题共13分） 若数列

A:a1,a2,?an(n?2)满足

A?ak?1?ak???(k?1,2,?,n?1) ，则称n为E数列。记

- 31 -

用心 爱心 专心

S(An)?a1?a2???an（Ⅰ）写出一个E数列（Ⅱ）若（Ⅲ）在

。 满足

A5a1?a3?0；

a1?12,n?2000a1?4的E数列

，证明：E数列中，求使得

An是递增数列的充要条件是

an?2011；

AnS(An)?0成立的n的最小值。

课标文数【2011·天津卷】 一.选择题

1?3i文数1. L4[2011·天津卷] i是虚数单位，复数1?i=

【答案】A

1?3i(1?3i)(1?i)4?2i???2?i(1?i)(1?i)2【解析】 1?i.

文数2. E5[2011·天津卷] 设变量x，y满足约束条件

【答案】D

【解析】可行域如图：

用心 爱心 专心 - 32 -

y x+y-4=0 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 o 1 2 x=1 3 4 x x-3y+4=0 ?x?2?x?y?4?0??x?3y?4?0y?2当目标直线z?3x?y移至（2.2）时，z?3x?y有最大值联立?解得?4.

文数3.L1 [2011·天津卷] 阅读右边的程序框图，运行相应的程序， 【答案】C

【解析】当x??4时， 当x?7时，

x?x?3?7

；

x?x?3?4 当x?4时，x?|x?3|?1?3，

?∴y?2?2.

文数4. A2[2011·天津卷] 设集合【答案】C 【解析】∵∴

A??x?R|x?2?0?,B??x?R|x?0?

A??x?kx?2?0?，B??x?kx?0?，

或

A?B??xx?0，或

x?2?，又∵

C?x?kx(x?2)?0???x?kx?0?x?2?，

∴A?B?C，即“x?A?B”是“x?C”的充分必要条件. 文数5.B7 [2011·天津卷] 已知【答案】B 【解析】∵∴

2a?log3.62?log2?1a?log23.6,b?log43.2,c?log43.6

，又∵

xy?log4为单调递增函数，

3.64log3.24?log4?log4?1，

∴b?c?a.

文数6.H8 [2011·天津卷]

用心 爱心 专心

- 33 -

【答案】B

x2y2b??1y??x25a，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的【解析】双曲线a的渐近线为

p??2交点坐标为（－2，－1）得2，即p?4，

?pb?a?4y?xa得b?1， 又∵2，∴a?2，将（－2，－1）代入

∴c?a2?b2?4?1?5，即2c?25.

文数7.C4 [2011·天津卷]【答案】A

2?【解析】∵??6?，∴

??1??1???2k??,k?z23.又∵32且???4??， ,f(x?)1?2s?ixn()33，要使f(x)递增，须有

∴当k?0时，

???32k???1??5???x??2k??,k?z6k???x?6k??,k?z233222，解之得，当k?0时，

5?5????x?[??,]22，∴f(x)在22上递增.

文数8. B5[2011·天津卷]【答案】B

22??x?2,x?2??x?1??1f(x)???x?x2,x2?2??x?1??1?【解析】

?x2?2,?1?x?2???x?1,x??1,或x?2

则f(x)的图象如图，

用心 爱心 专心 - 34 -

y 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 o -1 -2 -3

∵函数y?f(x)?c的图象与x轴恰有两个公共点，

∴函数y?f(x)与y?c的图象有两个交点，由图象可得?2?c?1,或1?c?2,. 二.填空题

文数9.A1 [2011·天津卷] 已知集合【答案】3 【解析】

1 2 3 4 x A??x?R|x?1?2?,Z为整数集，

Ax?kx?1?2??x?1?x?3???.∴A?Z??0,1,2?，即0?1?2?3.

文数10.G2 [2011·天津卷] 一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则 【答案】4

【解析】v?2?1?1?1?1?2?4. 文数11. D2[2011·天津卷] 已知【答案】110

?an?为等差数列，Sn为

?a3?a1?2d?16??20?19S?20a????2??20201?a12?【解析】设等差数列的首项为，公差为d，由题意得，，

a1?20,d??2解之得，∴

s10?10?20?10?9?(?2)?1102.

，则3?9的

ab文数12. [2011·天津卷] 已知【答案】18

log2a?log2b?1abablog?log?log222?1， 【解析】∵

用心 爱心 专心 - 35 -

∴ab?2， ∴3?9?3?3aba2b?23a?3b?23a?2b?2322ab?18.

文数13. N1 [2011·天津卷] 如图已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF?CF?2,AF:FB:BE?4:2:1.若CE与圆相切，则CE的长为________.

7【答案】2

2【解析】设AF?4k，BF?2k，BE?k，由DF?FC?AF?BF得2?8k，即

k?12.

AF?2,BF?1,BE?∴

17,AE?22，

177??224，

CE2?BE?EA?由切割定理得

CE?∴

72.

文数14. F2[2011·天津卷] 已知直角梯形ABCD中，AD//BC, 【答案】5

【解析】建立如图所示的坐标系，设PC?h，则A(2,0),B(1,h)，设P(0,y),(0?y?h)

????????????????PA?3PB?25?(3h?4y)2?25?5PA?(2,?y),PB?(1,h?y)则，∴.

用心 爱心 专心 - 36 -

y C B D o A x

三、解答题

文数15. K2[2011·天津卷] 编号为

A1,A2,???,A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得

文数16. C9[2011·天津卷] 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c 文数17. G12[2011·天津卷] 如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为 平行四边形，?ADC?45，AD?AC?1， 文

数

18.

H5[2011

·

天

津

卷

]

0

32f(x)?4x?3tx?6tx?t?1,x?R，其中t?R． 文数19. B12[2011·天津卷] 已知函数

文数20. D5[2011·天津卷]

用心 爱心 专心

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2011年高考试题——数学文（上海卷）解析版

用心 爱心 专心- 38 -

用心 爱心 专心 - 39 -

用心 爱心 专心 - 40 -

用心 爱心 专心 - 41 -

2011年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 文科数学全解全析 注意事项：

1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B铅笔将答题卡上试卷类型B后的方框涂黑。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。咎在试题卷、草稿纸上无效。

3填空题和解答题用0 5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。答在试题卷、草稿纸上无效。

4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.

1.设集合 M ={x|(x+3)(x-2)<0}，N ={x|1≤x≤3},则M∩N =

用心 爱心 专心

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（A）[1,2) (B)[1,2] (C)( 2,3] (D)[2,3] 【答案】A 【解析】因为

M??x|?3?x?2?，所以

M?N??x|1?x?2?，故选A.

2?i2.复数z=2?i(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为

（A）第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【答案】D

2?i(2?i)23?4iz???2?i55,故复数z对应点在第四象限,选D. 【解析】因为

a?xy?33.若点（a,9）在函数的图象上，则tan6的值为 3（A）0 (B) 3 (C) 1 (D) 3

【答案】D

a【解析】由题意知:9=3,解得a=2,所以

tana?2???tan?tan?3663,故选D.

2y?x?11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是 4.曲线

(A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15

2225.已知a，b，c∈R，命题“若a?b?c=3，则a?b?c≥3”，的否命题是 222(A)若a+b+c≠3，则a?b?c<3 222(B)若a+b+c=3，则a?b?c<3 222(C)若a+b+c≠3，则a?b?c≥3 222(D)若a?b?c≥3，则a+b+c=3

【答案】A

【解析】命题“若p,则q”的否命题是“若?p,则?q”,故选A.

用心 爱心 专心 - 43 -

???????0,,????f(x)?sin?x332?上单调递减，?上单调递增，6.若函数 (ω>0)在区间?在区间?则ω=

23 (A)3 (B)2 (C) 2 (D)3

【答案】Bhttp://www.

x?【解析】由题意知,函数在

?3处取得最大值

1,所以

??1=sin3,

???3?2k???3,??6k?,k?Z22。 故选B.

?x?2y?5?0??x?y?2?0?x?07.设变量x，y满足约束条件?，则目标函数z?2x?3y?1的最大值为

(A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5 【答案】B

【解析】画出平面区域表示的可行域如图所示,由目标函数z?2x?3y?1得直线

2z?1y??x?33，当直线平移至点A(3,1)时, 目标函数z?2x?3y?1取得最大值为10,故选

B.

8.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表

根据上表可得回归方程y?bx?a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为

(A)63.6万元 (B)65.5万元 (C)67.7万元 (D)72.0万元 【答案】B

????x?【解析】由表可计算

4?2?3?5749?26?39?547?y??42(,42)42,4,因为点2在回归

42?9.4?7??a?2, 解得a?9.1,故回归方程为

?????a上,且b直线y?bx为9.4，所以

用心 爱心 专心 - 44 -

??9.4x?9.1, 令x=6得y??65.5,选B. y9.设M(

x0，

y02FMx)为抛物线C：?8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、为

半径的圆和抛物线C的准线相交，则

y0的取值范围是

(A)(0，2) (B)[0，2] (C)(2，+∞) (D)[2，+∞) 【答案】C www.com

【解析】设圆的半径为r,因为F(0,2)是圆心, 抛物线C的准线方程为y??2,由圆与准线相切知4

x0，

y02r?|FM|?y0?2?4,?y0?2.x)为抛物线C：?8y上一点，所以

y?10．函数

x?2sinx2的图象大致是

【答案】C

y'?【解析】因为

111?2cosxy'??2cosx?0cosx?224,此时原函数是增函数;,所以令,得

y'?令

11?2cosx?0cosx?24,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得C正确. ,得

11.下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯

视图如下图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是

(A)3 (B)2 (C)1 (D)0 【答案】Awww.ylhxjx.com

【解析】对于①可以是放倒的三棱柱；容易判断②可以； 对于③可以是放倒的圆柱。 12.设

A1，

A2，

A3，

A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若

??????????A1A3??A1A2A4调和分割

(λ∈R)，，

??????????A1A4??A1A21(μ∈R)，且??1??2,则称

A3，

A1A2 ,已知点C(c，o),D(d，O) (c，d∈R)调和分割点A(0，

用心 爱心 专心 - 45 -

0)，B(1，0)，则下面说法正确的是 (A)C可能是线段AB的中点 (B)D可能是线段AB的中点

(C)C，D可能同时在线段AB上

(D) C，D不可能同时在线段AB的延长线上 【答案】D 【解析】由点

??????????A1A3??A1A2A3，

(λ∈R)，

??????????A1A4??A1A2(μ∈R)知:四

A1，

A2，

A4在同一条直线上,且不重合。

因为C,D调和分割点A,B,所以A,B,C,D四点在同一直线上,且

111??2c?cd2，不满足；同理选项B也不正确；, 选项A中110?c?1,0?d?1,??2.cd选项C中，也不正确；故选D.

第II卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 . 【答案】16

8【解析】由题意知,抽取比例为3:3:8:6,所以应在丙专业抽取的学生人数为4020=16.

?14.执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y的值是 【答案】68 【解析】由输入l=2，m=3，n=5，计算得出y=278,第一次得新的y=173;第三次得新的y=68<105,输出y的值是68.

x2y2x2y2?2?1(a＞0，b＞0)?=12ab16915.已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心

率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .

1

用心 爱心 专心 - 46 -

6.已16.已知f（x）=

logax?x?b(a＞0，且a?1).当2＜a＜3＜b＜4时，函数f（x）的零点

x0?(n,n?1),n?N*,则n= .

【答案】2 【解析】因为函数

f(x)?logax?x?b(2?a?3)在（0，??)上是增函数，

f(2)?loga2?2?b?logaa?2?b?3?b?0,f(3)?loga3?3?b?logaa?3?b?4?b?0，

?x0?(2,3)即n?2。

三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17.（本小题满分12分）

cosA-2cosC在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosB=2c-ab. sinC求sinA的值；

1若cosB=4，?ABC的周长为5，求b的长.

【解析】(1)由正弦定理得a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC,

cosA-2cosC=2c-a2sinC?sinA所以cosBb=sinB,

即sinBcosA?2sinBcosC?2sinCcosB?sinAcosB, 即有sin(A?B)?2sin(B?C),即sinC?2sinA,

sinC所以sinA=2.

sinCc?2(2)由(1)知sinA=2,所以有a,即c=2a,

又因为?ABC的周长为5,所以b=5-3a, 由余弦定理得：b2?c2?a2?2accosB，

用心 爱心 专心 - 47 -

(5?3a)2?(2a)2?a2?4a2?即

14，解得a=1，

所以b=2.

18.（本小题满分12分）

甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.

（I）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；

（II）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.

【解析】(1) 从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，

所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男)，共9种； 选出的2名教师性别相同的结果有(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲女1, 乙女1)、(甲女1, 乙女2)，共4种，

4所以选出的2名教师性别相同的概率为9.

（2）从报名的6名教师中任选2名，所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男) 、(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共15种；

选出的2名教师来自同一学校的所有可能的结果为(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共6种，

62?所以选出的2名教师来自同一学校的概率为155.

19.（本小题满分12分） 如图，在四棱台

ABCD?A1B1C1D1中，

D1D?平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，

AB=2AD，AD=A1B1，?BAD=60°

（Ⅰ）证明：（Ⅱ）证明：

AA1?BD；

.

CC1∥平面A1BD【解析】（Ⅰ）证明：因为AB=2AD，所以设AD=a,则AB=2a,

又因为?BAD=60°, 所以在?ABD中,

222?2BD?(2a)?a?2a?2a?cos60?3a由余弦定理得：,

用心 爱心 专心 - 48 -

222所以BD=3a,所以AD?BD?AB,故BD⊥AD,

又因为又因为故

D1D?平面ABCD，所以

D1D?BD,

AD?D1D?D.

, 所以BD?平面

ADD1A1,

AA1?BD(2)连结AC, A1C1,设AC?BD?E， 连接EA1，因为四边形ABCD为平行四边形，

EC?所以

1AC2

由棱台定义及AB=2AD=2A1B1知CC1∥EA1， 又因为EA1?平面A1BD，CC1?平面A1BD， 所以

CC1∥平面A1BD.

20.（本小题满分12分） 等比数列 第一行 第二行 第三行 （Ⅰ）求数列（Ⅱ）若数列

?an?中，a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1,a2,a3中的任何

第一列 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18 两个数不在下表的同一列. ?an?的通项公式；

?bn?满足：bn?an?(?1)lnan，求数列?bn?的前2n项和S2n.

a1?2,a2?6,a3?18,因为

【解析】（Ⅰ）由题意知

?an?是等比数列,所以公比为

3,所以数列

?an?的通项公式an?2?3n?1.

bnan?(?1)nlnan2?3n?1?(?1)n[ln2?(n?1)ln3]（Ⅱ）==

nnn?1(?1)ln2?(?1)(n?1)ln3, 2?3?=

所以

S2n?(2?30?2?31?2?32??2?32n?1)?((?1)1?(?1)2???(?1)2n)ln2?((?1)1?0?

(?1)2?1?(?1)3?2???(?1)2n?(2n?1))ln32(1?32n)??(?1?1?1?1???1?1)ln2?(0?1?2?3?4???(2n?1)?2n)ln31?3

用心 爱心 专心

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=9?1+0?ln2?nln3?9?1?nln3

21.（本小题满分12分）

某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右

nn80?两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为3立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用

仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c＞3)千元.设该容器的建造费用为y千元.

（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r.

80?【解析】（Ⅰ）因为容器的体积为3立方米，

4?r380???r2l?3, 所以3l?解得

804r?23r3,

由于l?2r 因此0?r?2。

160?8?r2804r?2?r(2?)?2?rl3r3, 3r3所以圆柱的侧面积为=

两端两个半球的表面积之和为4?r,

2160??8?r22所以建造费用y?r+4?cr,定义域为(0,2].

8?[(c?2)r3?20]160??2?16?r'y?r2r （Ⅱ）因为+8?cr=,0?r?2

由于c>3,所以c-2>0,

'y所以令?0得:

r?320c?2;

'y令?0得:

0?r?320c?2, 用心 爱心 专心

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