易哈佛MBA综合数学-初等数学讲义

MBA联考综合能力考试数学讲义

大纲解读： 【考试性质】

综合能力考试的目的是测试考生运用数学基础知识分析与解决问题的能力、逻辑思维能力和汉语理解及书面表达能力。

注：2014年大纲要求为：综合能力考试的目的是测试考生的数学基础知识及运用能力、逻辑思维能力和汉语理解及书面表达能力。

【评价目标】

要求考生具有运用数学基础知识根系与解决问题的能力。 【考核内容】

综合能力考试由问题求解、条件充分性判断、逻辑推理和写作四部分组成。 (一) 问题求解题

问题求解题的测试形式为单项选择题，要求考生从给定的5个选择项中，选择1个作为答案。

(二) 条件充分性判断题

条件充分性判断题的测试形式为单项选择题，要求考生从给定的5个选项中，选择1个作为答案。

在问题求解和条件充分性判断这两部分试题中，可能涉及到的数学知识范围如下：实数的概念、性质、运算及应用；整式、分式及其运算；方程（一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组）的解法及应用；不等式（一元一次不等式、一元二次不等式）的解法及应用；等差数列、等比数列；排列组合；概率初步；常见平面图形（三角形、四边形、圆）；平面直角坐标及直线与圆的方程；常见立体图形（长方形、圆柱体、圆锥体、球）（09年大纲新增知识点）。

【试卷题型比例】

问题求解题 15小题，每小题3分，共45分。 条件充分性判断题 10小题，每小题3分，共30分。（原：15小题，每小题2分）

第一章 实数的概念、性质和运算

【考试大纲内容精要解析】

第一节 “条件充分性判断”——解题策略与应试技巧

MBA联考综合能力考试中，数学部分有问题求解和条件充分性判断两大题型。内容涉

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及实数的概念、性质和运算，整式和分式，方程和不等式，数列，排列组合与概率论初步，平面几何与解析几何初步等数学基础知识。从大纲要求上看，条件充分性判断题主要考查考生对数学的基本概念、基本方法的熟练掌握程度，并能够迅速准确地判断题干中陈述的结论可否由条件（1）或（2）推出。因而考生在备考时应对于充分条件的有关概念、联考题型的结构及其逻辑关系以及解题策略和应试技巧等有一个全面的理解和把握。

以下我们就从这几个方面并结合联考真题进行分析：

一、充分条件的有关概念 1、四种命题及其关系： 原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ

【注】：互为逆否的两组命题等价（即同真同假）

2、充分条件、必要条件

若p，则q（即p?q)，称p是q的充分条件，q是p的必要条件

充分条件：有之则必然，无之未必不然 必要条件：有之未必然，无之则必不然

【注】：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

具体判断时:注意两点：（1）分清条件与结论——抓“主语” （2）推导方向

对于具体问题可以有以下情况： （1）充分不必要 (2) 必要不充分

（3）充分而且必要（充要） （4）既不充分也不必要

3、MBA联考中，只要求判定“充分性”——有之则必然

（1）若p是q的充分条件，也说：p具备了使q成立的充分性；

（2）若p不是q的充分条件，即 p?q，也即：p不具备使q成立的充分性。

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由于在MBA联考中，只要求对条件充分性进行判断，故实际上只需考虑“p?q”与“p?q”两种类型的命题真假。

解题关键——“有之则必然，无之未必不然”，重点在前一句。 例1：x,y是实数，︱x︱+︱y︱=︱x－y∣

(1)x＞0, y＜0 (2) x＜0, y＞0 【解题分析】：（1）“有之” x＞0,y＜0 “则” ︱x︱+︱y︱=x－y

︱x－y∣= x－y (∵x－y＞0) “必然”︱x︱+︱y︱=︱x－y∣ 故条件（1）充分 （2）“有之” x＜0,y＞0

“则” ︱x︱+︱y︱＝﹣x＋y

︱x－y∣＝﹣x＋y (∵x－y＜0） “必然”︱x︱+︱y︱=︱x－y∣ 故条件（2）也充分

注：对“无之未必不然”可以这样理解。如上例中条件（1）为结论成立的充分条件，但若无条件（1）（即“无之” ），结论未必不成立（“未必不然”）。如上述的条件（2）仍然使结论成立。这说明充分条件不一定唯一。

4、从集合的角度分析

若从集合的观点对条件充分性问题加以分析。我们可以发现：条件充分性问题实质上是两个集合之间的一种蕴含关系。

对于命题：“若A，则B”，实质上是指A蕴含B。回顾集合之间的包含关系：若A?B（即A是B的子集），指“对任意的x∈A,有x∈B”。这正是关系“A?B”。因而我们有：若能够判断出A?B，即A是B的子集，则A就是B 的充分条件。

MBA中的很多问题，可以用集合的方法进行判断。 例2：关于x的不等式x≤1. (1) x＜1 (2)x＝1

解题分析：设B＝｛x∣x≤1｝，A1＝｛x|x＜1｝，A2=｛x∣x＝1｝

虽然有A1?B，A2?B

故条件（1）充分，条件（2）也充分。

注：对于任意两个集合A与B，它们之间可能的关系有： BAA（B） A A B B A B （ⅰ） （ⅱ） （ⅲ） （ⅳ） （ⅴ） MBA联考中的“条件充分性判断”问题，由于只考虑充分性，如判断A是否为B的充分条件，则只有图(ⅲ)、(v) 满足A?B。 即A是B的充分条件，其它关系下，A都不是B的充分条件。

二、联考题型的结构及其逻辑关系

MBA联考大纲“条件充分性判断”问题解题说明如下：

本大题要求判断所给的条件能否充分支持题干中陈述的结论，阅读条件（1）和（2）后

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选择：

A 条件（1）充分，但条件（2）不充分 B 条件（2）充分，但条件（1）不充分

C 条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分 D 条件（1）充分，条件（2）也充分

E 条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分

1、 从结构上分析 从结构上分析可知，“条件充分性判断”题型中 条件是：（1）、（2） 结论是：题干

因而我们的推理方向是：

（1）

? 题干

（2）

2、 从逻辑关系上分析

从逻辑关系上分析可知，选择项A、B、C、D、E实质上就是命题“（1） ? 题干”和“（2）?题干”的真假情况的不同组合。其逻辑关系如下：

A：条件（1）充分，但条件（2）不充分，即： （1）? 题干 （2）? 题干

B：条件（2）充分，但条件（1）不充分，即有：

（1） ? 题干 （2） ? 题干

C：条件（1）和条件（2）单独都不充分，但条件（1）和（2）联合起来充分，即有： (1) ? 题干 （1） 但 ? 题干 （2） (2) ? 题干

D：条件（1）充分，条件（2）也充分。即有：

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（1） ? 题干 （2） ? 题干

E：条件（1）和条件（2）单独都不充分，条件（1）和（2）联合起来也不充分。即有：

(1) ? 题干

(1)

而且 ? 题干

(2)

(2) ? 题干

三、解题策略与应试技巧

从以上关于题型的结构及逻辑关系分析可知，对于这一题型我们的解题策略与应试技巧如下：迅速准确地对以下三种类型命题的真假给出判断：

（Ⅰ） （1） 题干

（Ⅱ） （2） 题干

当以上两类命题均不成立时，则再考虑（否则没有必要考虑Ⅲ）

（Ⅲ）（1）

题干 （2）

以上三类命题的真假情况的不同组合，构成最后的选项A、B、C、D、E（如下表所示，其中“+”表示真命题，“-”表示假命题）。

命题 I Ⅱ III 选项

四、典型例题及真题示例

例1 方程4x + (a - 2)x + a – 5 = 0 有两个不等的负实根。 （1） a ＜ 6 (2) a ＞ 5

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2真假情况 + - A - + B - - + C + + D - - - E

例2 实数a,b满足：a(a + b ) ＞ a a?b

(1) a＜ 0 (2) b ＞ – a

例3 某公司得到一批货款共68万元，用于下属三个工厂的设备改造结果甲、乙、丙三个工厂按比例分别得到36万元，24万元和8万元。

（1）甲、乙、丙三个工厂按1/2：1/3：1/9的比例分配贷款 （2）甲、乙、丙三个工厂按9：6：2的比例分配贷款

例4 不等式∣1－x∣＋∣1＋x∣＞a对于任意x成立 （1）a∈（－∞,2） （2）a＝2

26x?7x?a?0有两个实根，且1?x和1?x的几何平均值是3

例5 方程：12

（1） a＝3 （2） a＝2

例6 x1.x2是方程x2 – 2 (k+1) x + k2 + 2 = 0的两个实根 （1）k＞1／2 （2）k＝1／2

例7由方程组 x＋y＝a

y＋z＝4 x、y、z成等差数列 z＋x＝2

（1）a＝1 （2）a＝0

第二节 实数及其运算

1、 实数的分类

（1）实数分为有理数（整数、分数和零）和无理数两大类 2、 实数的基本性质

（1） 实数与数轴上的点一一对应

（2） 实数的大小顺序关系与运算关系 （3） 任意一个实数的完全平方为非负数

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3、 实数的运算

加、减、乘、除、乘方、开方 【补充】 分数指数幂 (1)amn?1nam1mn（a?0,m,n?N，且n?1）.

?(2)a?mn?（a?0,m,n?N，且n?1）.

?a根式的性质

n（1）(na)?a.

（2）当n为奇数时，nan?a；

?a,a?0当n为偶数时，a?|a|??.

?a,a?0?nn有理指数幂的运算性质 (1) a?a?arsrsrsr?s(a?0,r,s?Q).

(2) (a)?a(a?0,r,s?Q). (3)(ab)?ab(a?0,b?0,r?Q).

【注】： 若a＞0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运

算性质，对于无理数指数幂都适用.

二、【历年真题分析】

例1（2008）m是一个整数。

2pm（1） 若m?，其中p与q为非零整数，且是一个整数。 q

rrrp

（2） 若m?

p2m+4，其中p与q为非零整数，且是一个整数。 q3例2（2008）

ab2?cb2

（2）实数a，b，c满足a+b+c=0

（1）实数a，b，c满足a＜b＜c

例3（2008） x＞y

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（1） 若x和y都是正整数，且

x2＜y

（2） 若x和y都是正整数，且x＜y

例4（2008）a＞b

（1）a，b为实数，且a＞b （2）a，b为实数，且（）＜（） 例5 若x和y是整数，则xy+1能被3整除. （1） 当x被3除时，其余数为1. （2） 当y被9除时，其余数为8.

例6 正整数n是一个完全平方数.

（1） 对于每一个质数p, 若p是n的一个因子，则p也是n的一个因子. （2）

22212a12bn是一个整数.

1?1??1????????2?2??2?例7 （2008）

0.1?0.2?0.3?23?1?????2?= （ ） ?0.98（A）85/768 (B) 85/512 (C) 85/384 (D) 255/256 (E) 以上结论均不正确

(1?3)(1+32)(1+34)(1+38)例8（2008）

(1+332)+3?32?33?34??3101191911911919（A）?3?3 (B) ?3 (C) ?3 (D) ?3 (E) 以上结论均不正确

2222

12= （ ）

第三节 绝对值和平均值

（一） 绝对值

1． 绝对值的定义：a???a,a?o ，

??a,a?0a2?a.

2． 几何意义：实数a的绝对值就是数轴上与a对应的点到原点的距离。 3． 绝对值的主要性质：

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（1）a?0; （2）a??a;

（3）a?b?a?b；等号成立的条件为ab?0; （4）a?b?a?b；等号成立的条件为ab?0. 4．非负数： （1）a?0; （2）a?0;

（3）若a有意义，则a?0且a?0. 【真题分析】

例1（2003）不等式x?2?4?x?s无解 （1）s?2 （2）s >2

例2（2003）可以确定

2x?y?2 x-y（1）

xx1?3 （2）? yy3例3（2004） x，y是实数，x?y?x?y （1）x>0, y<0 (2)x<0, y>0

例4（2004）a2b??ab （1）a<0, b>0 (2) a>0, b<0

例5（2005）实数a，b满足a（a+b）>aa?b （1）a<0 (2) b>—a

例6（2006）b?a?c?b?c?a （1） 实数a，b，c在数轴上的位置为

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例7 （2008）方程x?1?x?2无根 （1）x????，?1? （2）x???1，0? 例8 （2008）f（x）有最小值2 （1）f?x??x?

例9（2008）

51?x? （2）f?x??x?2?4?x 1212b?cc?aa?b???1 abc（1） 实数a，b，c满足a+b+c=0

（2） 实数a，b，c满足abc>0

例10（2001）已知a?5，b?7，ab?0,则a?b? （ ） (A) 2 (B) —2 （C）12 (D) —12

32例11（2001）已知x?2x??x?2?x，则x的取值范围是 （ ）

（A）x<0 (B)x??2 (C)?2?x?0 (D)?2?x?0

例12（2003） 已知

5x?33?5x?，则实数x的取值范围为（ ）

2x?52x?55353（A）x??或x? (B)??x?

25253553（D）??x <（C）??x? 52

25

例13（2008） 设y?x-2?x?2，则下列结论正确的是（ ）

（A）y没有最小值 （B）只有一个x使y取到最小值

（C）有无穷多个x使y取到最大值 （D）有无穷多个x使y取到最小值 （E）以上结论均不正确

（二） 平均值 １、算术平均值： n个数x1,x2,x3x?x?x?,xn的算术平均值为123nxn1n，记为x??xi

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２、几何平均值： n个正数x1,x2,x3,xn的几何平均值x1?x2?x3nxn为，记为G?n?xi?1ni 3、极值定理

已知x,y都是正数，则有

（1）若积xy是定值p，则当x?y时和x?y有最小值2p； （2）若和x?y是定值s，则当x?y时积xy有最大值【真题分析】

例1（2008）三个实数x1，x2，x3的算术平均值为4 （1）x1?6，x2?2，x3?5的算术平均值为4 （2）x2为x1和x2的等差中项，且x2?4

例2（2005）a，b，c的算术平均值是14/3,而几何平均值是4， （1）a，b，c是满足a>b>c>1的三个整数，b=4 （2）a，b，c是满足a>b>c>1的三个整数，b=2

例3（2007）设变量x1，x2，，x10的算术平均值为x，若x是固定值，则

12s. 4x1（i=1，2，…,10）中可以任意取值的变量有

（A）10个 (B)9个 （C）2个 (D)1个 （E）0个

第四节 比和比例

1．比的意义：两个数相除，又叫做这两个数的比，把a和b的比（b?0）记为a:b或

aa， 的值叫a比b的比值。 bb２．比的性质：

aama?am?(m?0),?m(?bbmb?bma0)t?,b?at?b b(?0)３．百分比：常把比值表示百分数，称百分数形式的比值为百分比（或百分率），比如：

1:?25 0４．比例：两个比相等的式子叫做比例。记为

2ac?(a:b?c:d),a,d为比例外项，b,cbd为比例内项，若b=c，则b?ad有，此时b叫做比例中项。

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５．比例的性质： 对于

ac?，有： bd（１）ad=bc,

dcab?,?(内外项交换位置等式依然成立)， bacda?bc?d（３）（合比定理）， ?bda?bc?d（４）（分比定理） ?bd（2）

６．正比例和反比例：

正比例：

如果变量Ｘ和Ｙ，满足下面的关系：Ｙ＝ＫＸ（K?0是比例系数），则Ｘ与Ｙ成正比例

反比例：

如果变量Ｘ和Ｙ，满足下面的关系：Y?K（K?0是比例系数）则Ｘ与Ｙ成反比例 X

【本章典型题型分析】

题型一 绝对值性质的应用 此类题主要考察绝对值定义，绝对值非负性质，绝对值的几何意义及绝对值不等式性质 1．若(a?60)?b?90?(c?130)?0,则的a+b+c的值是（ ） （A）0 （B）280 （C）100 （D）—100 2．已知a?5,b?7,ab2100, ，则a?b?（ ）

（A）2 （B）—2 （C）12 （D）—12 3．已知x3?2x2??x2?x，则x的取值范围是（ ） （A） x<0 (B)x??2 (C)?2?x?0 (D)?2?x?0 4．已知

5x?33?5x?，则实数x的取值范围是（ ）

2x?52x?5（A）x??53535335x? （B）??x? （C）??x? （D）??x? 25252552（E）以上结论均不正确

5．条件充分性判断：不等式x?2?4?x?s无解 （1）s?2 （2）s>2 6．条件充分性判断：可以确定

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（1）

xx1?3 （2）? yy37．条件充分性判断：x,y是实数，x?y?x?y

（1）x>0,y<0 （2）x<0,y>o

题型二 比和比例性质的应用

(1)在涉及与比例有关的试题中，一般都设出比例系数的方法来解题； (2)在遇到分数比和小数比时，先化为整数比； (3)将几个比例化为连比。 8．设

111::?4:5:6，则使x+y+z=74成立的y值是（ ） xyz（A）24 （B）36 （C）74/3 （D）37/2

9．某公司得到一笔贷款共68万元，用于下属三个工厂的设备改造，结果甲，乙，丙三个工厂按比例分别得到36万元和8万元。

（1）甲，乙，丙三个工厂按1/2：1/3：1/9的比例贷款 （2）甲，乙，丙三个工厂按9：6：2的比例贷款

题型三 比和比例的应用题

比和比例相关的应用题每年在试题中都占有教大比重，常见的类型有： （1） 对同一量的不同比例的变换。

一个数量a增加x%,再减少y%，实际变化结果为(1?x%)(1?y%)a,最终是增加或是减少，取决于1?(1?x%)(1?y%)的正负号和大小值，若在增加（或减少）x%后，要保持原数值不变，则应再减少（或增加）幅度为

x%。

1?x%（2） 局部之间，局部和整体之间增减数量增减与比例的转换关系。 有关局部之间或整体与局部之间数量增减和比例变换等问题，求解的基本方法是，由条件按数量关系或比例关系建立方程并求解，设定时仍要注意准确理解有关比例的术语：A比B多r%，即A=（1+r%）B；A是B的r%，即A=Br%；A增加到B的r倍，即A=Br

10．一商店把某商品按价标的九折出售，仍可获利20%，若该商品的进价为每件21元，则该商品每件的标价为（ ）

（A）26元 （B）28元 （C）30元 （D）32元

11．一公司向银行借款34万元，欲

111::按的比例分配给下属甲，乙，丙三车间进239行技术改造，则甲车间应得

（A）4万元 （B）8万元 （C）12万元 （D）18万元

12．健身房中，某个周末下午三点，参加健身的男士与女士人数之比为3：4，下午五点，男士中有25%，女士中有50%离开了健身房，此时留在健身房内的男士与女士人数之比是

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（A）10：9 （B）9：8 （C）8：9 （D）9：10

13．某厂生产的一批产品经产品检验，优等品与二等品的比是5：2，二等品与次品的比是5：1，则该批产品的合格率（合格品包括优等品与二等品）为

（A）92% （B）92.3% （C）94.6% （D）96%

14．甲花费5万元购买了股票，随后他将这些股票转卖给乙，获得10%，不久乙又将这些股票返卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给他的价格的9折把这些股票卖掉了，不计交易费，甲在上述股票交易中

（A）不盈不亏 （B）赢利50元 （C）赢利100元 （D）亏损50元

15．所得税是工资加奖金总和的30%，如果一个人的所得税为6810元，奖金为3200元，则他的工资为

（A）12000 （B）15900 （C）19500 （D）25900 （E）62000

16．某培训班有学员96人，其中男生占全班人数的

7，女生中有15%是30岁和3012岁以上的，则女生中不到30岁的人数是

（A）30 （B）31 （C）32 （D）33 （E）34

17．某工厂人员由技术人员，行政人员和工厂组成，共有男职工420人，是女职工的1倍，其中行政人员占全体职工的20%，技术人员比工人少

131，那么该工厂有工人（ ） 25（A）200人 （B）250人 （C）300人 （D）350人 （E）400人 18．装台机器需要甲，乙，丙三种部件各一件，现库中存有这三种部件共270件，分别用甲，乙，丙库存件数的,,332装配若干机器，那么原来库存有甲种部件的件数是（ ）

543（A）80 （B）90 （C）100 （D）110 （E）以上均不对 19．某工厂生产某种新型产品，一月份每件产品销售的利润是出厂价的25%（假设利润=出厂价—成本），二月份每件产品出厂价降低10%，成本不变，销售件数比一月份增加80%，则利润增长（ ）

（A）6% （B）8% （C）15。5% （D）25。5% （E）以上均不对

20．甲乙两个储煤仓库的库存煤量之比为10：7。要使这两仓库的库存煤量相等，甲仓库需向乙仓库搬入的煤量占甲仓库库存煤量的

（A）10% （B）15% （C）20% （D）25% （E）30% 21．某电子产品一月份按原定价的80%出售，能获利20%，二月份由于进价降低，按同样原定价的75%出售，却能获利25%，那么二月份进价是一月份进价的百分之（ ）

（A）92 （B）90 （C）85 （D）80 （E）75

题型四 算术平均值和几何平均值

22．某班同学在一次测验中，平均成绩为75分，其中男同学人数比女同学多80%，而女同学平均成绩比男同学高20%，则女同学的平均成绩是（ ）

（A）83分 （B）84分 （C）85分 （D）86分

23．公司有职工50人，理论知识考核平均成绩为81分，按成绩将公司职工分为优秀与非优秀两类，优秀职工的平均成绩为90分，非优秀职工的平均成绩是75分，则非优秀职工

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的人数是（ ）

（A）30 （B）25 （C）20 （D）无法确定

24．甲乙两组射手打靶，乙组平均成绩为171.6环，比甲组平均成绩高出30%，而甲组人数比乙组人数多20%，而甲，乙两组射手的总平均成绩是（ ）

（A）140环 （B）145.5环 （C）150环 （D）158.5环

25．某城区2001年绿地面积教上年增加了20%，人口却负增长，结果人均绿地面积比上年增长了21%。

（1）2001年人口较上年下降了千分之8.26 （2）2001年人口较上年下降了千分之10

第二章 整式和分式

【考试大纲内容精要解析】

第一节 整式 定义：在有理式中没有除法运算或有除法运算但除式中不含字母的式子叫做整式。包括单项式和多项式。整式的和、差、积仍为整式。

一、 整式的运算 1、 整式的加减法运算

2、 整式的乘法运算、乘法公式 3、 整式的除法运算

二、 多项式的因式分解 1、提取公因式

2、公式法（乘法公式的运用） 3、求根法 4、十字相乘法 5、分组分解法 6、待定系数法 第二节 分式

1、 分式的基本性质：分子分母同乘以一个不为零的数，值不变 2、 分式的运算：加减法，乘除法

【真题分析】

a11???0有实根. x2?1x?1x?1 （1） 实数a?2 （2） 实数a??2

例1（2008）方程

例2（2008）若多项式f(x)?x?ax?x?3a能被x?1整除，则实数a=（） （A） 0 （B）1 （C）0或1 （D）2或—1 （E）2或1

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322

例3（2008）若△ABC的三边a，b，c满足a?b?c?ab?ac?bc，则△ABC为 （A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等边三角形 （D）等腰直角三角形 （E）以上结果均不对

222第三章 方程与不等式

【考试大纲内容精要解析】

第一节 方程和方程组

（一）一元一次方程和它的解法 （二）二元一次方程组 （三）一元二次方程

1．标准形式为：ax?bx?c?0(a?0) 2．解法：

（1）因式分解法：把方程化为形如a(x?x1)(x?x2)?0的形式，则解x?x1,x?x2为。如

2126x2?x?2?0?(2x?1)(3x?2)?0?,x2??.

2322（2）配方法：如x?4x?2?0?(x?2)?6?0?x?2??6?x?2?6 （3）公式法：将配方后的结果直接用作公式作用。

?b?b2?4ac x?

2a3． 一元二次方程的判别式：a?bx?c?0(a?0),?b?4ac （1） 当?0时，方程有两个不相等的实数根。 （2） 当?0时，方程有两个相等的实数根。 （3） 当?0时，方程无实数根。 4． 一元二次方程根与系数的关系：

设a?bx?c?0的两根为x1,x2,，则有x1?x2??222bc,x1?x2?. aa2当一元二次方程为x?px?q?0时，则有x1?x2??p,x1?x2?q.

【真题分析】

例1（2004）x1,x2是方程x?2(k?1)x?k?2?0的两个实根

22在线题库：http://www.ehafo.com/ 手机版加微信号：ehafocom获取

(1)k?

11 （2）k? 22例2（2005）方程4x2??a?2?x??a?5??0有两个不等的负实根 （1）a?6 （2）a?5

例3（2006）方程x?ax?2?0与x?2x?a?0有一公共实数解 （1）a?3 （2）a??2

例4（2003）不等式?k?3?x?2?k?3?x?k?1?0，对x的任意数值都成立

222（1）k?0 （2）k??3

例5（2005）4x?4x?3 （1）x???

例6（2007）方程x?p?x有两个不相等的正根 （1）p?0 （2）p?

例7（2008）1?x2?x?1

（1）x???1,0? （2）x??0,

例8（2008）2x2?x?3?x2?2x?3?0 （1）x???3,?2? （2）x??4,5?

例9（2008）方程2ax?2x?3a?5?0的一个根大于1，另一个根小于1， （1）a?3 （2）a?0

例10（1997）x1,x2是方程6x?7x?a?0的两个实根，若

222?11?,? （2）x???1,0? ?42?1 4

??1?? 2?????11,的几何平均值是3，x1x2在线题库：http://www.ehafo.com/ 手机版加微信号：ehafocom获取

则a的值是

（A）2 （B）3 (C) 4 (D) ?2 （E）?3

例11（1998）若方程x?px?37?0恰有两个正整数解是

（A）—2 （B）—1 （C）0 （D）1 （E）2

32例12（2000）已知x?2x?5x?6?0的根为x1??1,x2,x3,则

2x1?1??x2?1??x,x,则12p的值

11??() x2x3（A）1/6 (B) 1/5 (C) 1/4 (D) 1/3

例13（2002）已知方程3x?5x?1?0的两个根为?,?，则2????（ ） ??(A)?

535333 (B) (C) (D)? 3355第二节 不等式和不等式组

（一） 一元一次不等式（组）及其解法 （二） 一元二次不等式

求解一元二次不等式时借助二次函数图象最为简便，做法是先确定二次项系数正负号，其次再研究判别式?。二次函数，一元二次不等式及一元二次方程三者之间的关系表：二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先化成二次项系数是正数的不等式，再求它的解集

一元二次不等式ax?bx?c?0(或?0)(a?0,??b?4ac?0)，如果a与

22ax2?bx?c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2?bx?c异号，则其解集在两根之

间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2)； x?x1,或x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2).

（三）含有绝对值的不等式 当a> 0时，有

x?a?x2?a??a?x?a.

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2

x?a?x2?a2?x?a或x??a.

【真题分析】

例1（1998）要使方程3x2??m?5?x?m2?m?2?0的两个根分别满足

??0?x1?1和1?x1?2，实数m的取值范围是

(A)?2?m??1 （B）?4?m??1 (C)?4?m??2 (D)?1?65?m??1 (E)?3?m? 123x2?2?1的解是 （ ） 例2（2007）设0?x?1，则不等式2x?1(A)0?x?11?x?1 (B)2222?x?1 (D)

33(C)0?x?

例3（2001）已知?2x?5x?c?0的解为?21?x?3，则c为 （ ） 2(A)1/3 (B) 3 (C) —1/3 (D) —3

例4（2005）满足不等式?x?4??x?6??3?0的所有实数x的集合是（ ）

(A)?4,??? (B)?4,??? （C）???,?2? (D)???,?1? (E)???,???

2例5已知不等式ax?2x?2?0的解集是??,?11??，则a?（ ） 32??（A）—12 （B）6 （C）0 （D）12 （E）以上结论均不对

例6（2008）一元二次函数x?1?x?的最大值为

（ A）0.05 (B) 0.01 (C) 0.15 (D) 0.20 (E) 0.25

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例7（2008）若方程x?px?q?0的一个根是另一个根的2倍，则p和q应满足

2(A)p2?4q (B)2p2?9q (C)4p?9p2 (D)2p?3q2 （E）以上结论均不对

例8 已知关于一元二次方程k2x2??2k?1?x?1?0有两个相异实根，则k的取值范围是（ ）

1111 (A)k? (B)k? (C)k??且k?0 (D)k??且k?04444

例9一元二次不等式3x?4ax?a?0?a?0?的解集是

22(A)aaa?x?a (B)x?a或x? (C)a?x? 333a(D)x?或x?a (E)a?x?3a

3

例10不等式x4?4?x2?2?0的解是

????(A)x?2或x??2 (B)?2?x?2 (C)x??3或x?3 (D)?2?x?2

【本章典型例题】

【题型一】：韦达定理的变形及应用

设x1,x2,是一元二次方程a?bx?c?0(a?0),(a?0)的两个根，则

2bcx1?x2??,x1?x2?.这类题一般是给出一个一元二次方程，要求不解方程求有关两根

aa代数式的值。

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11x1?x2??x1x2x1x2(x1?x2)2?2x1x211?2?2x1x2(x1x2)2相关公式x12?x22?(x1?x2)2?2x1x22x13?x23?(x1?x2)?(x?x)?3x1x2?12??2x13?x23?(x1?x2)??(x1?x2)?x1x2??

x1?x2?(x1?x2)2?4x1x2例1．若x?bx?1?0的两个根为x1和x2，且

211??5，则b的值是（ ） x1x2（A）—10 （B）—5 （C）3 （D）5 （E）10

例2．x1,x2,是方程6x?7x?a?0的两个实根，若

211,的几何平均值是3，则ax1x2的值是（ ）

（A）2 （B）3 （C）4 （D）—2 （E）—3

例3．若方程x?px?37?0恰有两个正整数解x1,x2,，则的值是（ ） （A）—2 （B）—1 （C）0 （D）1 （E）2

32例4．已知方程x?2x?5x?6?0的根为x1??1,x2,x3,，则

211??（ ） x2x3（A）

1111 （B） （C） （D） 6543例5．已知方程3x?5x?1?0两个根为?,?，则2????（ ） ??（A）?535333 （B） （C） （D）? 33552例6．条件充分性判断：一元二次方程x?bx?c?0的两根之差的绝对值为4， （1）b=4,c=0 (2) b?4c?16

【题型二】：一元二次方程的判别式及其应用

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2

对于方程ax?bx?c?0，(a?0)，记??b?4ac，则

22?0时，方程有两个不相等的实数根。 ?0时，方程有两个相等的实数根。 ?0时，方程无实数根。

一般情况，对于方程ax?bx?c?0，(a?0)

2???0?（1） 方程有两个正根?x1?x2?0

?xx?0?12???0?（2） 方程有两个负根?x1?x2?0

?xx?0?12???0??0??（3） 一正一负根?特别地正根绝对值比负根绝对值大时，?x1?x2?0负根

xx?0?12?xx?0?12???0?绝对值比正根绝对值大时?x1?x2?0

?xx?0?12

2222例7．已知x1,x2,是方程x?(k?2)x?(k?3k?5)?0的两个实根，则x1?x2最小

值为

（A）19 （B）31 （C）

50 （D）50 9，则m,n的值为

例8．已知关于x的一元二次方程（ ）

x2?2(m?1)x?3m2?4mn?2?011 （B）m?,n??1 2211（C）m??,n?1 （D）m?1,n??

22（A）m??1,n?例9．当m??1时，方程(m?1)x?(m?1)x?m?1的根的情况是（ ） （A）两负根 （B）两异号根且负根绝对值大

（C）无实根 （D）两异号根且正根绝对值大

322在线题库：http://www.ehafo.com/ 手机版加微信号：ehafocom获取

例10．已知方程x?6x?8?0有两个相异实根，下列方程中仅有一根在已知方程两根之间的是（ ）

2（A）x?6x?9?0 （B）x?22x?2?0

2222（C）x?4x?2?0 （D）x?5x?7?0 （E）x?6x?5?0

2例11．设?,?是关于x的方程x?2ax?6?0的两个实根，则(??1)?(??1)的

222最小值为（ ）

49（A）4 （B）18 （C）8 （D）9 （E）?10

?例12．条件充分性判断：x1,x2,是方程x?2(k?1)x?k?2?0的两个实根。 （1）

22k?112 （2）k?

24x2?(a?2)x?a?5?0有两个不等的负实根。

例13．条件充分性判断：方程

（1）a?6 （2）a?5

【题型三】： 一元二次方程与二次函数的关系

22例14．要使方程3x?(m?5)x?m?m?2?0的两根分别满足0?x1?1和

1?x2?2，实数m的取值范围应是

（A）

?2?m??1

（B）?4?m??1

（C）?3?m?1 （D）

2?1?65?m??1 （E）?3?m?1 2例15．关于x的 一元二次方程mx?2(m?1)x?4?0,(m?0)的两个实根，一个根是比1大，一个根是比1小，求m的取值范围

【题型四】、 高次方程或特殊方程的求解

一些高次方程，指数方程，对数方程都可通过3化为一元二次方程求解。

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例16．解方程4x?12?2x?1

【题型五】、 一元二次方程的求解

1．一般题型

考题中一元二次不等式通常与其他的知识结合起来，解题时要特别注意题中的隐含条件如函数的定义域，绝对值非负等等，并且要熟练不等式解集的结构。

例17．一元二次不等式3x?4ax?a?0,(a?0)的解集是（ ）

22aaa?x?aa?x?（A）3 （B）x?a或x? （C）3

3（D）x?a?x?3aa或x?a （E） 33x2?2?1的解集是（ ） 例18．设0?x?1，则不等式2x?1（A）0?x?2211?x?1 ?x?1 （C）0?x? （B） （D）33222例19．不等式4?5x?x的解集是（ ）

（A）全体实数 （B）（5，—1） （C）（—4，2） （D）空集

例20．条件充分性判断：4x?4x?3 （1）x?(?211,) （2）x?(?1,0) 42

2．已知一元二次不等式的解集求不等式的参数以及求另外不等式的解

这类题主要是利用不等式的解与一元二次不等式的关系，再利用韦达定理反求参数。

例21．已知?2x?5x?c?0的解为?（A）

21?x?3，则c为（ ） 211 （B）3 （C）? （D）—3 33

3. 绝对值不等式的解法。

x?a?若a?0,x?a或x??a；若a?0则x?a的解集为R；

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x?a?若a?0,?a?x?a；若a?0时，则x?a的解集为?； ax?b?c?ax?b?c或ax?b??c(c?0); ax?b?c??c?ax?b?c(c?0) f(x)?g(x)?f2(x)?g2(x); f(x)?g(x)?f2(x)?g2(x);

例22．满足不等式x?1?2x?3?0的x的取值范围是（ ） （A）(?,4) （B）(,4) （C）(??,4) （D）(??,?)2323

232(4,??) （E）(??,)(4,??)

3

4．不等式对任意实数x恒成立问题

不等式ax?bx?c?0对任意一切实数x恒成立的条件是； ?2?a?b?0?a?0或?

c?0??0???a?b?0?a?0或?

?c?0???0不等式ax?bx?c?0对任意x都成立的条件是?

2例23．不等式(k?3)x?2(k?3)x?k?1?0，对x的任意数值都成立。 （1）k=0 （2）k??3

5．其他题型

22 例24．设实数x,y适合等式x?4xy?4y?3x?3y?6?0，则x+y的最大值是

2（ ）

（A）

例25．若a.b?0,k?0,，则下列不等式中能够成立的是（ ） （A）?323 （B） （C）23 （D）32 （E）33 22bb?kaa?k?? （B）? aa?kbb?k在线题库：http://www.ehafo.com/ 手机版加微信号：ehafocom获取

（C）?bb?kaa?k （D）? ??aa?kbb?k

【题型六】 应用题 1、总量为1的工程问题

有关计算单位时间（1天，1小时，1分钟）内的工作量（即工作效率），以及晚场一定的工作量所需要的时间（简称工作时间），与在一定时间内所完成的工作量（简称工作总量）的问题叫做工程问题。

有关工程问题的关系式有； 工作效率?工作时间=工作总量 工作总量?工作时间=工作效率 工作总量?工作效率=工作时间

在问题中，若对于工作总量与工作效率没有说明具体的数量，那么，我们通常把工作总量看做“1”。

例26．一批货物要运进仓库，由甲乙两队合运9小时，可运进全部货物的50%，乙队单独运进则要30小时才能运完，又知甲队没小时可运进3吨，则这批货物共有（ ）

（A）135吨 （B）140吨 （C）145吨 （D）150吨 （E）155吨

例27．一项工程有甲乙两队一起做30天可以完成，甲队单独做24天后，乙队假如，两队一起做10天后，甲队调走，乙队继续做了17天才完成，若这项工程欲甲队单独做需（ ）

（A）60天 （B）70天 （C）80天 （D）90天 （E）100天

例28．公司的一项工程由甲乙两队合作6天完成，公司需付8700元，由乙丙两队合作10天完成，公司需付9500元，甲丙两队合作7。5天完成，公司需付8250元，若单独承包给一个工程队并且要求不超过15天完成全部工作，则公司付钱最少的队是（ ）

（A）甲队 （B）丙队 （C）乙队 （D）不能确定

例29．甲乙两项工程分别由一，二工程队负责完成，晴天时，一队完成甲工程需要12天，二队完成乙工程需要15天，雨天时，一队的效率是晴天时的60%，二队的工作效率是晴天时的80%，结果两队同时开工并同时完成各自的工程，那么在这段工期内，雨天的天数为

（A）8 （B）10 （C） 12 （D）15 2．距离固定的运动问题 根据题意画图（略），找等量关系（一般是时间和路程），列方程求解，这种题的类型有两种

（1） 直线运动。

等量关系：s甲?s乙?s?v甲AC?（时间相同） v乙BC此类问题主要抓住运动路程，速度和时间之间的关系，在实际试题中要注意： （1） 如两个物体相向而性，则相对速度为两速度之和； （2） 如两个物体同向而性，则相对速度为两速度之差； （3） 两物体在同一时间行走路程与速度成正比关系，而在行驶同路程时所用时间与

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两速度成反比关系

（2） 圆周运动（图略） （a） 同向。 等量关系：（经历时间相同）

s甲?s乙?s（s代表周长，s甲代表甲走了的路程，s乙代表乙走了的路程），甲乙每相

遇一次，甲比乙多跑一圈，若相遇 n 次，则有s甲?s乙?n?s

（b） 逆向。

等量关系： s甲?s乙?s（s代表周长，s甲代表甲走了的路程，s乙代表乙走了的路程）即：每相遇一次，甲与乙路程之和为一圈，若相遇n次有s甲?s乙?n?s

例30．甲乙两汽车从相距695公里的两地出发，相向而行，乙车比甲车迟2个小时出发，甲汽车每小时行驶55公里，若乙汽车出发后5小时与甲汽车相遇，则乙汽车每小时行驶（）

（A）55公里 （B）58公里 （C）60公里 （D）62公里 （E）65公里

例31．一列火车长75米，通过525米长的桥梁需要40秒，若以同样的速度穿过300米的隧道，则需要（ ）

（A）20秒 （B）约23秒 （C）25秒 （D）约27秒 （E）约28秒

例32．两地相距351公里，汽车已行驶了全程的

1，试问再行驶多少公里，剩下的路9程是已行驶的路程的5倍（ ）

（A）19．5公里 （B）21公里 （C）21。5公里 （C）22公里

例33．甲乙两人同时从同一地点出发相背而行，1小时后他们分别到达各自的终点A和B，若从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A之后35分钟到达B，则甲的速度和乙的速度之比是（ ）

（A）3：5 （B）4：3 （C）4：5 （C）3：4 （D）以上结论均不正确

例34．一支部队排成长度为800米的对列行军，速度为80米/分钟，在队首的通讯员以3倍于行军的速度跑步到队尾，花1分钟传达首长命令后，立即以同样的速度跑回队首。在这往返全过程中通讯员所花费的时间为（ ）

（A）6．5分钟 （B）7.5分钟 （C）8分钟 （D）8.5分钟 （E）10分钟

例35．一辆大巴车从甲城以均速V行驶，可按预定时间到达乙成，但在距乙成还有150公里处，因故停留了半个小时，因此需要平均每小时增加10公里才能按预定时间到达乙城，则大巴车原来的速度V=（ ）

（A）45 （B）50 （C）55 （D）60 （E）以上答案均不正确

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第四章 数列

【考试大纲内容精要】

第一节 等差数列

等差数列常用性质和公式有如下几项：

1． 定义：数列?an?为等差数列?an?1?an?d

2． 通项公式：an?a1?(n?1)d或an?dn?(a1?d)d，即是一个n的一次函数，一次项系数为公差，系数之和为首项，如an?3n?5，可知该数列为等差数列，公差为3，首项为—2。

3． 等差中项：若a,b,c成等差数列，则有2b= a + c

4． 求和公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)dd2d或Sn?na1??n?(a1?)n。从求和公2222式可以看出，等差数列前n项之和的解析表达式是不喊常数项的二次函数，且而次项的系数

2是半公差，系数之和就是首项，如Sn?3n?5n，则此数列一定是等差数列，且公差是6，

首项是—2

5． 性质：

（1）am?an?(m?n)d；

（2）当m?n?p?q时，am?an?ap?aq,2ak?ak?1?ak?1?ak?2?ak?2?（3）Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,仍成等差数列，公差为nd；

2;

（4）等差数列?an?和?bn?的前n项和分别用Sn和Tn表示，则

akS2k?1? bkT2k?1第二节 等比数列

1．定义： 如果数列?an?恒有

an?1?q（常数），则称?an?为等比数列，称q为该数列的公比。 ann?12．通项公式：an?a1q。

3．前n项求和公式：

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设等比数列?an?的首项为a1，公比为q，则前n项之和Sn?a1?a1q?（1） 当q = 1时，Sn?na1；

?a1qn?1

a1(1?qn)（2） 当q?1时，Sn?；

1?qa1(1?qn)a?1 （3） 当n???,且q?1时，S?limx??1?q1?q4．性质：

（1）距首末等远两项积都相等，a1?an?a2?an?1?a3?an?2?;

;

2（2）当k?1时，距ak前后等远两项之积相等，ak?ak?1?ak?1?ak?2?ak?2?（3）

am?qm?n an仍是等比数列，

（4）若Sn是等比数列?an?前n项的和，则Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,公比为q

【真题分析】 例1（2003）

na?b1 ??a2?b2311(1)a2,1,b2成等差数列 (2),1,成等比数列

ab例2（2003）数列?an?的前k项和a1?a2??a2k之比与k无关

(1)an?2n?1 ?n?1,2,? (2)an?2n?n?1,2,?

?x?y?a?例3 （2004）方程组?y?z?4,得x,y,z程等差数列

?z?x?2?(1)a?1 (2)a?0

例4（2008） S6?126

（1） 数列?an?的通项公式是an?10?3n?4? ?n?N?

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n（2）数列?an?的通项公式是an?2 ?n?N?

例5（2006） S2?S5?2S8

3（1） 等比数列前n项的和为Sn，且公比q??4 2（2） 等比数列前n项的和为Sn，且公比q?1 32例6（1999） 若方程a2?c2x2?2c?a?b?x?b2?c2?0有实根，则 （A）a,b,c成等比数列 （B）a,c,b成等比数列

（C）b,a,c成等差数列 （D）a,b,c成等差数列 （E）以上答案均不对 例7（2001）若2,2?1,2?3成等比数列，则x?（ ）

678(A)log25 (B)lo2g （C）log2 （D）log2

2例8（2003）数列?an?的前n项的和为Sn?4n?n?2，则它的通项an是）（ ）

??xx(A)3n?2 (B)4n?1 (C)8n?2 (D)8n?1 （E）以上结论均不正确

例9（2006）若6,a,c成等差数列，且36,a,?c也成等差数列，则c?（ ） （A）—6 （B）2 （C）3或—2 （D）—6或2 （E）以上均不对 例10（2008）已知等差数列?an?中，a2?a3?a10?a11?64，则S12?（ ） （A）64 （B）81 (C)128 (D)192 (E)188 例11（2008）如果数列?an?的前n项的和Sn?223an?3，那么这个数列的通项公式是 2?n2 （C）an?3n?1 (A)an?2?n2?n?1? (B)an?3(D)an?2?3n （E）以上结果均不对

例12（2007）整数数列a, b , c, d中a, b, c成等比数列，b, c, d成等差数列

(1) b=10 d=6a (2) b= —10， d=6a 例13 （2002）设3?4,3?8,3?16,则a,b,c

（A）是等比数列，但不是等差数列 （B）是等差数列，但不是等比数列

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