12年中考数学练习（八）：数形结合 doc

12年中考数学练习(八)：数形结合

【知识要点】

数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离”、几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法、

所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法、

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：Ⅰ、借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；Ⅱ、借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质

【历年考卷形势分析及中考预测】

数形结合思想是历年来中考和竞赛的必考内容，纵观近6年广州市的中考试题，分值分布大约在15分左右，其中简单的题目大约占9分，主要考察不等式组的解法，绝对值的化简，勾股定理的应用等等，其余的6分较难，主要出现在后面的压轴题目中，经常和实际问题，动点问题及函数问题结合，难度较大，应引起同学们的高度重视。

【考点精析】

考点1.借助数轴解不等式及根式的化简：

例1、〔2017浙江金华〕如图，假设A是实数a在数轴上对应的点，那么关于a，－a，1的大小关系表示正确的选项是〔〕 A、a＜1＜－a B、a＜－a＜1

A C、1＜－a＜a D、－a＜a＜1 0 1 例2、如果不等式

的整数解仅为1，2，3，那么适合不等式组的整数a,b的有序

?9x?a?0??8x?b?0(第9题图)

数对(a,b)有多少对？

【举一反三】

1.〔2017湖北宜昌〕如图，数轴上A,B两点分别对应实数a，b，那么以下结论正确的选项

BA是〔〕。

A.|a|>|b|B.a+b>0 a1-2b-10C.ab<0D.|b|=b

2.如果关于x的不等式组的解

有解，求m的取值范围

?1?x?2??x?m考点2.借助平面直角坐标系解函数问题：

例3、〔2017浙江台州市〕类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个

单位，相当于向右平移1个单位、用实数加法表示为3+〔?2〕=1、

假设坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a〔向右为正，向左为负，平移

a个单位〕，沿y轴方向平移的数量为b〔向上为正，向下为负，平移b个单位〕，那

么把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法那么为{a，b}?{c，d}?{a?c，b?d}、 解决问题：〔1〕计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}、

〔2〕①动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”

{1，2}平移到B；假设先把动点P按照“平移量”{1，2}平移到C，再按照“平移量” {3，1}平移，最后的位置还是点B吗?在图1中画出四边形OABC. ②证明四边形OABC是平行四边形.

〔3〕如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P〔2，3〕，再从码头P航行到码头Q〔5，5〕，最后回到出发点O.请用“平移量”加法算式表示它的航行过程、 例4、〔2017山东省德州〕某游泳池的横截面如下图，用一水管向池内持续注水，假设单位时间内注入的水量保持不变，那么在注水过程中，以下图象能反映深水区水深h与注水时间t关系的是 h h h h

O t O t O t O t 〔Ａ〕〔Ｂ〕〔Ｃ〕 〔Ｄ〕 【举一反三】 1、〔2017重庆市潼南县〕如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B，D〔F〕，H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F→H方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，那么能大致反映y与x之间函数关系的图象是〔〕 2、〔2017甘肃〕y关于x的函数图象如下图，那么当y?0时，自变量x的取值范围是〔〕

A、x?0

B、?1?x?1或x?2 C、x??1

D、x??1或1?x?2

考点3.利用图形理解代数恒等式

例5、〔2017辽宁丹东市〕图①是一个边长为(m?n)的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是〔〕 A、(m?n)2?(m?n)2?4mn B、(m?n)2?(m2?n2)?2mn C、(m?n)2?2mn?m2?n2 D、(m?n)(m?n)?m2?n2

例6、〔2017浙江衢州〕如图，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后余

部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，假设拼成的矩形一边长为3，那么另一边长是〔〕 A、2m+3 B、2m+6

C、m+3 D、m+6 例7、〔2017广东佛山〕新知识一般有两类：第一类是不依赖于其他知识的新知识，如“数”、“字母表示数”这样的初始性的知识；第二类是在某些就只是的基础上进行联系、拓广等方式产生的知识，大多数知识是这样的知识。

〔1〕多项式乘以多项式的法那么，是第几类知识？

〔2〕在多项式乘以多项式之前，你已拥有的有关知识是哪些？〔写出三条即可〕

〔3〕请你用已拥有的有关知识，通过数和形两个方面说明多项式乘以多项式的法那么时如何获得的?(用〔a+b〕〔c+d〕来说明) 【举一反三】 1、〔2017四川达州〕如图1，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形〔a＞b〕,将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为 A.

?a?b?2?a2?2ab?b2B.

?a?b?2?a2?2ab?b2

C.a2?b2?(a?b)(a?b)D.a2?ab?a(a?b)

图1

2、〔2017浙江湖州〕将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的

面积关系得到的数学公式是、

考点4.借助直角三角形解三角比问题

例8、(南京·2007中考)如图,A、B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地须经C地沿

折线A—C—B行驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线AB行驶.AC=10km,∠A=30°,∠B=45°,那么隧道开通后,汽车从A地到B地比原来少走多少千米?(结果精确到0.1km)(参考数据:2?1.41,3?1.73)

考点5.借助勾股定理等几何图形的知识解实际问题

例9、(上海·2006中考)本市新建的滴水湖是圆形人工湖.为测量该湖的半径,小杰和小丽

沿湖边选取A、B、C三根木柱,使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等,并测得BC长为240米,A到BC的距离为5米,如图1所示.请你帮他们求出滴水湖的半径. 【举一反三】

气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛〔设为点O〕的南偏东45°方向的B点生成，测得OB=100√6km.台风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点C处.因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/h的速度向北偏西60°方向继续移动.以O为原点建立如下图的直角坐标系. 〔1〕台风生成中心点B的坐标为______，台风中心转折点C的坐标为_____(结果保留根号〕 〔2〕距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭.如果某城市〔设为点A〕位于点O的

正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？

考点6.借助图形解决代数式或函数最值问题

例10、解关于x的方程例11、

x?1?x?3?6

S?x2?4?(12?x)2?9

,求S的最小值。

【举一反三】 1解关于x的方程

x?1?x?3?2考点7.借助图形解决函数解析式问题

例12在同一坐标系内，直线l1：y=〔k-2〕x+k和l2：y=kx的位置可能为〔〕 例13、如果一次函数y?kx?b?k?0,b?0?的图象经过第【二】【三】四象限，那么〔〕

〔A〕k?0且b?0〔B〕k?0且b?0 〔C〕k?0且b?0〔D〕k?0且b?0

2例14、一次函数y?ax?c与y?ax?bx?c，它们在同一坐标系内的大致图象是〔〕 【举一反三】

1一次函数y=kx+b的图象经过点(m,1)和(-1,m)其中m>-1那么k、b应满足〔〕 〔A〕k>0且b>0〔B〕k>0且b<0 A k<0且b<0 B C D 〔C〕k<0且b>0〔D〕2如果函数y=kx+b的图象在第【一】【二】三象限内，那么函数y=kx2+bx-1的图象大致是

〔〕 3当k?0时，反比例函数y?x和一次函数y?kx?k的图象大致是〔〕 k考点8.借助图形解决实际问题

例15、〔09年北京〕如图，A、B两点在函数〔1〕求m的值及直线AB的解析式；

〔2〕如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部

分〔不包括边界〕所含格点的个数。 【举一反三】

1某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对二月份至七月份的该商品的

销售和成本进行了调研，结果如下：每件商品的售价M〔元〕与时间t〔月〕

my??x?0?x的图象上.

的关系可用一条线段上的点来表示〔如图〕，每件商品的成本Q〔元〕与时间t的关系可用一条抛物线的一部分上的点来表示〔如图〕〔说明：图①、图②中的每一个实心黑点所对应的纵坐标，分别指相应月份的售价和成本〕 请你根据图像提供的信息回答：

〔1〕每件商品在3月份出售时的利润〔利润=售价－成本〕是多少元？

〔2〕求图中表示的每件商品的成本Q〔元〕与时间t〔月〕之间的函数关系式〔不要求写出

自变量的取值范围〕 〔3〕你能求出三月份至七月份每件商品的利润W〔元〕与时间t〔月〕之间的函数关系式吗？

〔请写出计算过程，不要求写自变量的取值范围〕假设该公司共有此种商品30000件，准备在一个月内全部售完，请你计算一下至少可获利多少元？

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