分式考点及典型例题分析（最全面）

分式考点及典型例题分析

1、分式的定义：

例：下列式子中，

15x?y、8ab、-

2

9a23、

5a?b2x?y、

3a2?b42、2-

2a、

1m、

5xy6

1x、

12、

x2?12、

3xy?、

3x?y、a?1m中分式的个数为（ ） （A） 2 （B） 3 （C） 4 (D) 5

练习题：（1）下列式子中，是分式的有 . ⑴

2x?7x?5； ⑵

x2?13；⑶

?5aa2；⑷

x?x?22?；⑸2?b2b；⑹

xy2x?y22.

（2）下列式子，哪些是分式？

?a5；

3x?42；

y3y；

7x8??；

x?xyx?2y；?14?b5.

2、分式有，无意义，总有意义：

（1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解； （2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解； 注意：（x?1≠0） 例1：当x 时，分式

1x?51x22有意义； 例2：分式

2x?12?x中，当x?____时，分式没有意义

xx2例3：当x 时，分式

?1有意义。 例4：当x 时，分式

x?yx?y?1有意义

例5：x，y满足关系 时，分式无意义；

例6：无论x取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A．

2xx?12 B.

xx?2x2x?1 C.

3xx?13 D.

x?5x2

例7：使分式 有意义的x的取值范围为（ ）A．x?2 B．x??2 C．x??2 D．x?2

x?2例8：要是分式

(x?1)(x?3)没有意义，则x的值为（ ）A. 2 B.-1或-3 C. -1 D.3

3、分式的值为零：

使分式值为零：令分子=0且分母≠0，注意：当分子等于0使，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那么要舍去。

例1：当x 时，分式

1?2aa?1的值为0 例2：当x 时，分式

x2?1x?1的值为0

例3：如果分式

a?2a?2x?xx?122的值为为零,则a的值为( ) A. ?2 B.2 C. ?2 D.以上全不对

例4：能使分式的值为零的所有x的值是 （ ）

A x?0 B x?1 Cx?0 或x?1 Dx?0或x??1 例5：要使分式

xx22?9?5x?6的值为0，则x的值为（ ）A.3或-3 B.3 C.-3 D 2

例6：若

aa?1?0,则a是( )A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数

4、分式的基本性质的应用：

分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

AA?CAA?C

???C?0? BB?CBB?C例1：

xyaab3?aby ；

6x(y?z)3(y?z)2?y?z ；如果

5(3a?1)7(3a?1)?57成立,则a的取值范围是________；

23例2：

ab?1(a?2ba?b?b?c)a??b?c()

例3：如果把分式中的a和b都扩大10倍，那么分式的值（ ）

A、扩大10倍 B、缩小10倍 C、是原来的20倍 D、不变 例4：如果把分式

10xx?y中的x，y都扩大10倍，则分式的值（ ）

110 A．扩大100倍 B．扩大10倍 C．不变 D．缩小到原来的

xyx?y

例5：如果把分式中的x和y都扩大2倍，即分式的值（ ）

A、扩大2倍； B、扩大4倍； C、不变； D缩小2倍 例6：如果把分式

x?yx?y中的x和y都扩大2倍，即分式的值（ ）

A、扩大2倍； B、扩大4倍； C、不变； D缩小2倍

例7：如果把分式

x?yxy中的x和y都扩大2倍，即分式的值（ ）

12A、扩大2倍； B、扩大4倍； C、不变； D缩小例8：若把分式A．扩大12倍

x?3y2x倍 ）

的x、y同时缩小12倍，则分式的值（

C．不变

D．缩小6倍

B．缩小12倍

例9：若x、y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A、

3x2y B、

3x2y2 C、

3x22y D、

3x2y32

例10：根据分式的基本性质，分式A

a?a?b?aa?b可变形为（ ）

aa?b B

aa?b C ? D ?aa?b

? ；

例11：不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数，例12：不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数， ?0.2x?0.012?x?0.051?x21?x?x= 。

5、分式的约分及最简分式：

①约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分 ②分式约分的依据：分式的基本性质．

③分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式． ④约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）

约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。

第二类：分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。 例1：下列式子（1）

x?yx?y22?1x?y；（2）

b?ac?a?a?ba?c；（3）

b?aa?b??1；（4）

?x?y?x?y?x?yx?y中正确的是（ ）A 、1个 B 、2 个 C、 3 个 D、 4 个

例2：下列约分正确的是（ ） A、

xx62?x； B、

3x?yx?y?0； C、

x?yx2?xy?1x； D、

2xy224xy?12

例3：下列式子正确的是( ) A

2x?y2x?y?0 B.

?a?ya?y??1 C.?yx?zx?y?z?x D.

c?da?c?da?c?d?c?da?0

例4：下列运算正确的是（ ） A、

aa?b??aa?b B、

2x?4x?12 C、

ab22?ab D、

12m?1m?1m

例5：下列式子正确的是（ ）

A．

ba?ba22 B．

a?ba?b?0 C．

?a?ba?b??1 D．

0.1a?0.3b0.2a?bmm?3?a?3b2a?bmm?3

例6：化简

m2?3m29?m的结果是（ ）A、

mm?3 B、? C、 D、

m3?m

例7：约分：

?4xy6xy22? ；

3?xx2?9= ；

?3xy2?y3x?5y53??； 。 ??0.6x?yxy11x?1例8：约分：

a?42 a?4a?4ax?ayx?y9?m222＝ ；

4xy16xy2? ；

a(a?b)b(a?b)? ；

x?y(x?y)232?

? ；x?16x?8x?165ab20ab222? ；x?92x?62? ?14abc21abc3?___________

2m?3?__________?__________

xx122?9?6x?9?__________。

例9：分式

a?2a2，

aa?b2?3?b2，

4a12(a?b)，

x?2中，最简分式有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6、分式的乘，除，乘方：

分式的乘法：乘法法测：分式的除法：除法法则：

abab〃÷

cdcd==

acbdab.

dc〃=

adbc

ab分式的乘方：求n个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是(

ab).分式的乘方，是把分

n

子、分母各自乘方.用式子表示为：(例题： 计算：（1）

26x15x26)=

n

abnn(n为正整数)

??25x39y274 （2）

16xy125a3410?56x100ax22413 （3）a?a?1a2

计算：（4）

a?ba2?ab?ab2?a24ab?a （5）

x?2x?5??25?42x （6）

a?1a?4a?42?a?1a?2

计算：（7）6xy?22?4x3y3 （8）?6ab?3b2a （9）?xy?x2??xyx?y

计算：（10）

2x3y22?5y6x?10y21x2 （11）

x?1x?6x?922?(1?x)?x?3x?x2（12）

a?1a?4a?422??a?1??a?2a?1

a2计算：（13）

a?1?42a?63?a

a?2?a2?2a?1?1a2 （14）

?14?4a?a2???a?3??a2?a?6求值题：（1）已知：x?3222，求

x?yy4x2?2xy?y2?xy?y的值。

x2?xy2 （2）已知：x?9y?y?3x，求

x?y2的值。

x2?y2 （3）已知：1x?3xy?2y的值。

x?1y?3，求

2x?2xy?y例题：

3计算：（1）(2y25)3? （2）???2a??3y3??= ?b?= （3）3x?????2x2???33计算：（4）???b?2??a?2?42??= （5）??????b2?????ab?

???2a????b???a??222 （6）

a?a?a2?1??a??1??????a?1??a?1? a??求值题：（1）已知：x?yz?xz

2?y3?z4 求

xyx2?y2?z2的值。（2）已知：x2?10x?25?y?3?0求

x2?x的值。

2xy?2y22例题：计算(x2?y)?x?yx?xx2?y的结果是（ ）A

xx2?y Bx2?y C

1y 11?y

例题：化简x?x?1yx的结果是（ ）A. 1 B. xy C.

yx D .

xy3计算：（1）

2x?8x?x?2；（2）

x2?2x?1?2xa?2a?1x2?4x?42x?4x2?1?2x?1 （3）(a2－1)·2a2?2a?1÷2a?2

7、分式的通分及最简公分母：

通分：主要分为两类：第一类：分母是单项式；第二类：分母是多项式（要先把分母因式分解）

D

分为三种类型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三种类型。 “二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是它们的乘积。 例如：

2x?2?xx?2最简公分母就是?x?2??x?2?。

“二、四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母。 例如：

2x?2?xx2?4最简公分母就是?x?4??x?2??x?2??

2“四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母要有独特的；相同的都要有。

x2?x?2?2x?x?2?例如：?最简公分母是：2x?x?2?

这些类型自己要在做题过程中仔细地去了解和应用，仔细的去发现之间的区别与联系。 例1：分式

1,12m?nm2?n22,2m?n的最简公分母是（ ）

222A．(m?n)(m?n) B．(m?n) C．(m?n)(m?n) D．m?n 例2：对分式

y2x222，

x3y2，

14xy通分时， 最简公分母是（ ）

２

２

２

２

A．２４xy

2３

B．１２ｘｙ Ｃ．２４ｘｙ Ｄ．１２ｘｙ

x?1x?x22例3：下面各分式：

A. 4

例4：分式

1a2,

x?yx?y22,

?x?1x?1,

x?yx?y2222，其中最简分式有（ ）个。

D. 1

，

aB. 3 C. 2

?41b2a?4的最简公分母是 .

例5：分式a与

1的最简公分母为________________；

?1x?xy2例6：分式

x?y22,的最简公分母为 。

8、分式的加减：

分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减。 1、同分母分式不用通分，分母不变，分子相加减。 2、异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了。

通分方法：先观察分母是单项式还是多项式，如果是单项式那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分；如果是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分。

分类：第一类：是分式之间的加减，第二类：是整式与分式的加减。 例1：

2m?2nm= 例2：

xy?x42aa22?3?1?aa22?4?1=

例3：

yx?y?= 例4：

x?2yx2?y2?yy2?x2?2xx2?y2=

计算：（1）

m?32?m?1m?3 （2）

aa?b2?bb?a （3）

a22(a?b)?b22(b?a)

（4）

5ab?3ab2－

3ab?5ab22－

8?abab2.

13115例5：化简

ba1xcb+

12xac+

13x等于（ ） A．2x B．2x C．6x D．6x

2aa?42例6： 例9：

?? 例7：?1a?2 例8：

3x(x?3)2?x3?x

xx?3?x?6x2?3x?1 －2 例11：a?1? 2xa?4a?1例10：a?a?22a?1a?2a例12：

x2x?1?x?1

ba?babb2练习题：（1） ??a2 （2）

12?x?4x2?4?x?12?x （3）

12a?92+

23?a.

（4）

b2a-b?a?b （5） 2?xx?y1?yy?x

例13：计算a?1?aa?11x?2的结果是（ ）A

2xx?42a?1 B ?1a?1 C

a?a?1a?12 D a?1

例14：请先化简：

2?，然后选择一个使原式有意义而又喜欢的数代入求值.

xx?2?1?2xx2例15：已知：x?4x?3?0 求

?4x?4的值。

9、分式的混合运算：

例1：

4x2?16?2x?4?xx?4 例2：

1x?1?x?3x2?1?xx22?2x?1?4x?3

例3：(x?2x?2?x?2x?2)?x2?2xx2 例4：?2???x? ??x?3?x?1224x?yx?y1?x?1???例5：?1? 例6： ?22x?2y1?x?x?1x?4xy?4y?(1x?y?1x?y)?2yx?2xy?y22例7

例8： ?x?4x?x?1?x2?x?x2?1??

?2x?1?xx例9： (x?2x2?2x?x?1x2?4x?4)?

10、分式求值问题：

例1：已知x为整数，且

122x?3?+

23?x24+

2x?18x?92为整数，求所有符合条件的x值的和.

例2：已知x＝2，y＝

，求??(x?y)2???11??÷??的值. 2?(x?y)?x?y??x?y2412x?例3：已知实数x满足4x2-4x+l=O，则代数式2x+例4：已知实数a满足a＋2a－8=0，求

1x2

的值为________．

a?2a?1a?4a?3221a?1?a?3a?12的值.

1101214例5：若x??3 求

xx422?x?1的值是（ ）．A．

18 B． C． D．

例6：已知

1x?1y?3，求代数式

2x?14xy?2yx?2xy?y的值

例7：先化简，再对a取一个合适的数，代入求值练习题： （1）

xx22a?1a?3?a?3a?2?a?6a?9a?422．

?4x?8x?16，其中x=5. （2）

a2?8a?16a2?16,其中a=5 （3）

aa22?ab2?2ab?b,其中a=-3，

b=2 （4）

a?1a?4a?422?a?1a?2 ；其中a=85； （5）(5x?2?x?2x?2x2?x?1x?4x?42)?x?4x，其中x= -1

（6）先化简，再求值：

aa?baa223?x2x?4÷(x+2－

aa?b).其中x＝－2.

a22（7）(??2ab?b2)?(a2?b)?1,其中a?23,b??3

1?x?1?（8）先化简，?1???，再选择一个你喜欢的数代入求值．

xx??211、分式其他类型试题：

例1：观察下面一列有规律的数：是＿＿＿（n为正整数） 例2： 观察下面一列分式：?1x,2x223，

38，

415，

524，

635，

748，??． 根据其规律可知第ｎ个数应

,?4x3,8x4,?16x5,...,根据你的发现，它的第8项是 ，第n项

是 。

例3：按图示的程序计算，若开始输入的n值为4，则最后输出的结果m是 （ ） Yes n（n+1）输入n 计算 >50 输出结果m n No A 10 B 20 C 55 D 50 例4：当x=_______时,分式

15?x与

102?3x互为相反数.

1a?1b23例5：在正数范围内定义一种运算☆，其规则为a☆b＝（

） A．x?4x(x?4)2，根据这个规则x☆(x?1)?D．x?2332的解为

23 B．x?1 C．x??或1 或?1

例6：已知?Ax?Bx?Cx?42，则A?_____,B?_____,C?______；

By?2例7： 已知

3y?7(y?1)(y?2)?Ay?1?，则（ ）

A．A??10,B?13 例8：已知2x?3y，求

B．A?10,B?13 C．A?10,B??13 D．A??10,B??13

xyx?y22?y222x?y的值；

1mn例9：设m?n?mn,则

1m?1n的值是( ) A. B.0 C.1 D.?1

例10：请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式

ｘ－4ｘｙ＋4ｙ ｘ－4ｙ ｘ－2ｙ 例11：先填空后计算： ①

1n?1n?11n?11n?21n?21n?32222= 。

1?= 。

?1?= 。（3分）

1②（本小题4分）计算：

解：

n(n?1)1??1(n?1)(n?2)1(n?2)(n?3)(n?2)(n?3)???1(n?2007)(n?2008)

1n(n?1)?(n?1)(n?2)???(n?2007)(n?2008)

=

12、化为一元一次的分式方程：

（1）分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

（2）解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。 （3）解分式方程的步骤 ：（1）能化简的先化简； (2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； (3)解整式方程； (4)验根． 例1：如果分式例2：要使

5x?1x?12x?1与4x?2的值为－1，则x的值是 ； 的值相等，则x=__________。

2mx?1m?x例3：当m=_____时，方程

2a(x?1)3x?1x?2x?2=2的根为

12.

例4：如果方程

2x?3 的解是x＝5，则a＝ 。

2?xx?313?x例5：(1)? (2)

?16x2??1

例6:解方程：

?4?x?2x?2a?

x?43?x例7：已知：关于x的方程1?例8：已知关于x的方程例9：若分式

1x?2x?ax?2x?3无解，求a的值。

??1的根是正数，求a的取值范围。

与

x?2x?3的2倍互为相反数，则所列方程为___________________________；

mx2例10：当m为何值时间？关于x的方程

b?xa?x?2?xx?1?x?1x?2的解为负数？

例11：解关于x的方程?2?x?1a?bx?ba?(a?0) 2a例12：解关于x的方程:

x?1a?b?a?b22(a?0)

例13：当a为何值时,

x?1x?2?x?2x?12?2x?a(x?2)(x?1)2的解是负数?

例14：先化简,再求值:

x(x?y)x?1x?22?x?yx?y?2x?2?x?2y?3?2,其中x,y满足方程组? x?y?x?y??2例15知关于x的方程?xx?1?m(x?2)(x?1)的解为负值，求m的取值范围。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/boag.html