整数的概念

整数的概念（一）

1. 自然数：数物体时，用来表示物体个数的0、1、2、3……，叫做自然数。

整数：像…，-3、-2、-1、0、1、2、3……这样的数统称为整数，

整数的个数是无限的，自然数是整数的一部分。“1”是自然数的单位，没有最大的自然数，也没有最小的整数。

负数：为了表示两种意义相反的量，而出现的一种新的数，如-16 、

-0.3、-……等的数都是负数。 数可以分为正数和负数。所有的负数都小于0. 所有的正数都大于0. 正数大于负数

38正整数（非整数 0 负整数

一个物体也没有，就用0来表示。0是最小的自然数。0还是正数和负数的分界线。0还可以表示起点。0还具有占位的作用。 2. 序数和基数

序数：用来表示物体排列顺序的数。如：小明这次数学考试成绩排

在第一名。

基数：用来表示物体数量总数的数。如5个苹果，3元钱等。

3. 数位和位数

数位：用数字表示一个数时所占的位置，这些不同的位置叫数位。

. . . .如整数的数位有个位、十位、百位、千位等

位数：位数是指一个自然数含有数位的个数，指这个数有几位数。

如：9是一位数。120是三位数。 4. 数和数字

数：用来表示量的大小多少的。如98 3.5 3／4等都是数。 数字：数字是用来写数的符号。常用的数字有中国数字和阿拉伯数

字。如：0、1、2……9，共十个数字。 5. 计数单位和进率

计数单位：一（个）、十百、千万、十万……等都是计数单位，每

相邻两个计数单位之间的进率都是10.（即：满10进1），这样的计数法也叫十进制计数法。 6. 整数的读法和写法

按我国的计数习惯，从个位起，每四位分一级，有个级、万级、亿级

个级包括：个位、十位、百位、千位。

万级包括：万位、十万位、百万位、千万位。 亿级包括：亿位、十亿位、百亿位、千亿位。

读法：读数时，从高位读起，一级一级的往下读，万级和亿级数的

读法和个级相同，只是在读完后分别加上“万”或“亿”字。 （顺口溜：读数要从高位读，哪位是几就读几，中间连续几个0，只读一个要牢记，各级末尾有0时，全都不读记心里。）

写法：从高位写起，一级一级往下写，那个数位上一个单位也没有，

就在那个数位上写0.

. . . .（顺口溜：写数要从高位起，哪位是几就写几，遇到空位要补0，划级检查别忘记。） 7. 数的改写和省略 数的改写和省略比较如下：

改写 方法 在要改写的多位数的万位或（亿位）右边点上小数点，小数末尾的0要划去，加上万（或亿）字 省略 先找到多位数的万位（或亿位），再看万位（或亿位）的右边的数，如果是5或是比5大的，就向前一位进一，否则就舍去，然后写上万（或亿）字。 如：二千一百五十五亿五千三百六十万

写作：2155 5360 0000 改写成用“亿”做单位的数是：2155.536亿。 省略“亿”后面的尾数约为 2156亿

练习一 符号 结果 改写后数的是准确数 = 大小不变 ≈ 省略后数的是近似数 大小发生了变化。 . . . .1. 读出下面各数

（1） 地球与太阳之间的距离约是149450000千米。

读作： 改写成以“万”做单位数是（ ） （2） 月亮里地球约是384400千米。

读作： 省略“万”后面的尾数是（ ） （3） 地球赤道长40075696千米。

读作： 省略“万”后面的尾数是（ ） 2. 写出下面的数

（1） 我国的国土面积是九百六十万平方千米。写作：

（2） 离太阳最近的水星和地球之间的平均距离是五千八百万千米。 写作：

（3） 离太阳最远的冥王星和地球之间的平均距离约是五十九亿一

千一百万千米。写作：

（4） 二十亿零二十万零二百 写作：

3.一个数的十亿位上是8，百万位上是5，万位上是3，百位上是1，其余各位上是0，这个数是（ ），读作（ ），把它改写成以“万”做单位的数是（ ）

4. 783054051有（ ）个亿、（ ）个千万、（ ）个百万、（ ）个万和（ ）个1组成，省略“亿”后面的尾数是（ ） 5.用三个6和两个0组成的五位数中，只读出一个0的数是（ ）； 读出两个0的的数是（ ）；一个0也不读的数是（ ） 6.最小的五位数与最大的四位数的差是（ ）。

. . . .7. 9、0、4、3、5、8留个数中，找出其中的五个数，组成最大的五位数是（ ），最小的五位数是（ ）。 8.把0.72万改写成用“一”做单位的数是（ ）。9230540的最高位时（ ）位，其中的“3”表示3个（ ）。 9. 4820675000读作（ ），把他改写成用“亿”做单位的数是（ ）。省略“亿”后面的尾数约是（ ）。 10.有一个五位数，加上1后就变成了六位数，这个五位数是（ ） 11.珠穆朗玛峰比海平面高8848.43米，记作（ ），新疆吐鲁番盆地比海平面低158米，记作（ ），海平面记做（ ）。 12.有一个四位数，减去1后，就变成了三位数，这个四位数是（ ） 13.一个整数从个位起向左第五位是（ ）位，它的计数单位是（ ），第七位是（ ）位，它的计数单位是（ ）

14.三个连续自然数的和是48，这三个数从小到大是（ ）、（ ）、（ ） 15.三个连续偶数。中间一个偶数是a,其余的两个分别是（ ）、（ ） 16.读出下面的数

4503250 读作： 4503250=（ ）万 30045709 读作： 30045709≈（ ）万 267000670 读作： 267000670≈（ ）亿 17.写出下面的数

四百九十万三千七百 写作： 二十四亿伍仟零三万五千 写作：

数的概念（二）

. . . .

1. 小数：把单位“1”平均分成若干份，用来表示十分之几、百分之几、千分之几…的数叫小数。 如0.6、3.4、0.04等 小数的计数单位有十分之一（0.1）、百分之一（0.01）、千分之一（0.001）… 每相邻两个计数单位之间的进率都是10 2. 小数的性质

小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变。 小数点移动引起小数大小的变化规律

（1）小数的小数点向右移动一位，小数就扩大到原来的10倍；向左移动一位，小数就缩小到原来的1／10

（2）小数的小数点向右移动二位，小数就扩大到原来的100倍；向左移动二位，小数就缩小到原来的1／100

（3）小数的小数点向右移动三位，小数就扩大到原来的1000倍；向左移动三位，小数就缩小到原来的1／1000 3. 小数的分类 小数 有限小数：小数位数是有限的小数。 无限小数：小数循环小数：一个无限小数的小数部分从某一位位数是无限的小数 起，一个或几个数字依次不断的重复出现。如0.333… 2.417417…等 无限不循环小数：一个无限小数的小数部分，重复出现的数字排列无一定的规律。如3.1415926…。 循环小数：小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不

. . . .断地 重复出现，这样的小数叫循环小数。它的位数是无限的。 循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断的重复出现的数字，叫做循环节。 4. 准确数和近似数

（1） 准确数：一个数表示与实际数量完全相符。 （2） 近似数：一个数表示与原来实际数量很接近。 求近似值有三种方法：四舍五入法 去尾法 进一法 （1） 四舍五入法：把一个数保留指定的位数，取它的近似值 如：把544000千克四舍五入到万位（或精确到万位）（或精确到0.0001）

（2） 进一法：把一个数保留到指定的位数，取它的近似值，不

管舍去的尾数是多少，都要向前一位进一。

如：粮库有小麦384袋，一辆汽车一次最多只能运60袋，几次可以运完？ 384÷60=6.4≈7（次）

（3） 去尾法：把一个数保留到指定的位数，去它的近似值，不

管尾数是多少，都要舍去。

如：某机床厂制造一台机器需要用1.4吨钢材，现有200吨钢材，可以造多少台机器？ 200÷1.4=142.8≈142（台）

注意：在实际计算中，一般都用四舍五入法取近似值，其它两种要根据实际情况而定。

整数、小数数位顺序表

. . . .

练习二

一，填空：

（1）808.08是（ ）位小数，最高位上的8表示8个（ ），小数点左边第一位上的8表示8个（ ），小数点右边的8表示8个（ ），这个数读作（ ）

（2）有8个亿，75个百万，9个万，6个钱，40个十，15个千分之一组成的数是（ ），读作（ ），这个数是（ ）位小数，它的计数单位是（ ），改写成用“亿”作单位的数是（ ），精确到0.1是（ ）。 （3）把30改写成两位小数是（），29.0500化简后是（）。在0.6和0.60中，（ ）的计数单位大，这两个数的数值（ ）。 （4）4.377……用循环小数简便记法写作（ ），4.172172……用循环小数简记为（ ），它的循环节是（ ）。 （5）把5.96保留一位小数是（ ），四舍五入取两位小数是（ ），精确到千分位是（ ）。

. . . .（6）3.6 -5 0.425 14 0 -2.8 0.317 π中，整数有（ ），负数有（ ），有限小数有（ ），无限小数有（ ）；（ ）既不是正数也不是负数。 （7）9.97÷3.21的商是（ ），余数是（ ）；15700÷1500的商是（ ），余数是（ ）

（8）把3.14 3.14 3.1 π 314％按从小到大排列是 （ ）

（9）按规律填数 6.25 2.5 1 （ ） （ ） 0.064 （10）按规律填数7 3.5 1.75 （ ） （ ） 0.21875 二.判断

（1）小数一定比整数小（ ）

（2）循环小数是无限小数，无限小数一定是循环小数。（ ） （3）大于0.5而小于0.7的小数只有0.6（ ）

（4）整数与小数相同，每相邻两个计数单位间的进率都是10（ ） （5）去掉小数点后面的0，小数的大小不变。（ ） （6）4.97保留一位小数是5.0.（ ） （7）小数部分最大的计数单位是十分位。（ ） （8）因为0.80=0.8，所以它们的计数单位相同。（ ） （9）0.88888是无限小数。（ ）

（10）小数和整数一样，位数越多，这个数就越大（ ）

（11）把0.081扩大1000倍后再缩小100倍，这个数是81（ ） （12）一个数的小数点向左移动两位，再向右移动三位，原数缩小了10倍（ ）

数的概念（三）

. . . .1.分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数，叫分数。

2.分数的计数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数就是分数单位。

3.百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数。 4.百分数的单位：是1％。

5.分数的基本性质：分数的分子分母同时乘（或除以）相同的数，分数的大小不变。 作用主要是用来约分和通分 6.分数与除法的关系：a÷b= （b≠0） 7.真分数和假分数

真分数：分子比分母小的分数 真分数小于1

假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数 假分数大于或等于1。

带分数:像这样1 1……的分数叫假分数。 （8）约分和通分：

约分：把一个分数化成和它相等，但分子分母都比较小的分数。 通分：把异分母分数化成和原来分数相等的同分母分数。 （9）分数大小的比较：

同分母分数比较大小：分子大的分数较大。 同分子分数比较大小：分母大的分数较大。

异分母分数比较大小：先化成同分母分数，再按同分母分数比较大小。 （10）分数 小数 百分数的互化

1214ab . . . .

（11）整数 小数大小的比较

整数比较大小：先看整数位数，如位数相同，就看最高位，如果最高位相同则依次看下去，直到那个位上的数大，它所在的数就大。 小数比较大小:先看整数部分，如果整数部分相同，就看十分位…，依次类推。

练习三

一.填空：

1.的分数单位是（ ），它含有（ ）个这样的单位，再添就（ ）个这样的单位就是最小的质数。

2.2里面有（ ）个0.1，有（ ）个0.01，有（ ）个。 3.分数，当a=（ ）时，这个分数的分数值等于0，当a=（ ）时，这个分数的分数值等于1，当a=（ ）时，它是这个分数的分数单位。

4.把5米长的铁丝截成同样长的7段，每段长（）米，每段长是这根

a52534 . . . .铁丝的

??. ??5.2÷5的商用小数表示（ ），用分数表示（ ），用百分数表示（ ）。 6.（ ）÷100=5：（ ）=

34351??=

16??=二成半=（ ）％=（ ）折

7. 和60％比较，（ ）的值最大，（ ）的值最小，（ ）和（ ）相等。

3????8.5千克可以看作3千克的，也可以看作1千克的。

????9.分数单位是的最大真分数是（ ），最小假分数是（ ），最小带分数是（ ）。 二.判断

1.分数的分子和分母都乘或除以相同的数，分数的大小不变。（ ） 2.一堆煤的和吨的意义相同。（ ）

3.分母是16的真分数中，能化成有限小数的共有8个。（ ） 4.因为=，所以和的分数单位相同。（ ）

5.把单位“1”分成8份，取其中的5份，用分数表示就是（ ）

465777117.因为=50％，所以吨=50％ 。（ ）

2258683468343535176.大于而小于的分数只有一个。（ ）

8.分母是12的最简真分数共有4个。（ ）

因数 和 倍数

1.因数与倍数

a×b=c(a 、b不等于0)，a 、b叫做c的因数，c叫做a和b的倍数. 注意：因数和倍数是相互的，不能单独说谁是因数，谁是倍数。

. . . .一个数的因数个数是有限的。最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的。最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

1是任何数的因数。0不能做因数. 2. 2、3、5的倍数的特征

（1）个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。

自然数中，是2的倍数的数是偶数（或双数）。（如：0、2、4、6、8）不是2的倍数的数是奇数（或单数）。（如：1、3、5、7、9） （2）个位上是0或5的数，都是5的倍数

（3）一个数各个位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数 3.质数和合数

一个数，如果只有公因数1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。

最小的质数是2，没有最大的质数。 20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19

一个数，如果除了1和它本身外，还有别的因数，这样的数叫做合数。 1即不是质数，也不是合数。 20以内既是奇数又是合数的两个数是9和15. 4.公因数和最大公因数

两个数公有的因数，叫做它们的公因数。其中最大的一个叫做这两个数的最大公因数。

互质数：公因数只有1的两个数叫做互质数。

. . . .两个质数必然是互质数，但互质的两个数不一定是质数。 倍数关系的两个数。它们的最大公因数是较小的那个数。 互质关系的两个数。它们的最大公因数是1. 5.公倍数和最小公倍数

两个数公有的倍数，叫做这两个数的公倍数。公倍数中，最小的那个数叫做这两个数的最小公倍数。

倍数关系的两个数的最小公倍数是那个较大的数；互质关系的两个数的最小公倍数是这两个数的乘积。

对于一般关系的两个数，求它们的最大公因数和最小公倍数还可以用短除法或分解质因数的方法。

练习四

一.填空

（1）根据4×9=36，（ ）和（ ）是36的因数，（ ）是4和9的倍数。

（2）一个数的因数的个数是（ ）的，其中最小的是（ ），最大的是（ ），一个数的倍数的个数是（ ），其中最小的是（ ）。 （3）24的因数有（ ），这些因数中，（ ）是奇数，（ ）是偶数，（ ）是质数，（ ）是合数，（ ）既不是质数也不是合数。

（4）20以内的奇数有（ ），偶数有（ ），合数有（ ），质数有（ ）。

（5）是2的倍数的最大两位数是（ ），是3的倍数的最小三位

. . . .数是（ ），是5的倍数的最大三位数是（ ）。是2、3、5的倍数的最大三位数是（ ）。

（6）15、18、30、45、48、135、570和858中，同时是2、3的倍数的数有（ ），同时是2、5的倍数的数有（ ），同时是2、3、5的倍数的数有（ ）。 （7）24的因数有（ ），18的因数有（ ）。24和18的公因数有（ ），24和18的最大公因数有（ ）。

（8）6的倍数有（ ），9的倍数有（ ），6和9的公倍数有（ ），6和9 的最小公倍数有（ ）。 二.判断

（1）所有的自然数不是质数就是合数。（ ） （2）所有的自然数不是奇数就是偶数。（ ） （3）6是倍数，3是因数。（ ） （4）合数就是偶数，质数就是奇数。（ ） （5）何止的两个数不一定都是质数。（ ） （6）一个数的因数一定比它的倍数小。（ ） （7）一个合数至少有三个因数。（ ） （8）两个自然数的积，不一定是合数。（ ） （9）同时是2、5倍数的数，个位数一定是0。（ ） （10）只有两个因数的数一定是质数。（ ）

（11）个位上是3、6、9的数，都是3的倍数。（ ）

. . . .

（12）个位上是1、3、5、7、9的数都是奇数。（ ） （13）两个质数的和是偶数。（ ） （14）所有的偶数都是合数。（ ） （15）所有的奇数都是质数。（ ）

（16）在1、2、3、4、5…中，除了质数就是合数。（ ） （17）两个不同质数的公因数只有1.（ ） （18）两个数的乘积一定是它们的公倍数。（ ） 四则运算

一.四则运算的意义

1.（1）什么叫加法？小数、分数加法和整数加法的意义相同吗？ 把两个数合并成一个数的运算。小数、分数加法和整数加法的意义完全相同。

（2）加法各部分之间的关系：

加数+加数=和 和－一个加数=另一个加数

2.（1）什么叫减法？小数、分数减法和整数减法的意义相同吗？ 它们的意义完全相同。都表示已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。 （2）减法个部分的关系：

被减数－减数=差 减数＋差=被减数 被减数－差=减数 3.（1）整数乘法的意义：求几个相加数的和的简便运算。 小数分数乘法的意义是：求被乘数的几分之几（或几倍）是多少。 （2）乘法各部分的关系：因数×因数=积 积÷一个因数=另一个因数

. . . .4.（1）什么叫除法？小数、分数除法和整数除法意义相同吗？ 它们意义完全相同。都表示已知两个因数的积，与其中的一个因数，求另一个因数的运算。 （2）除法各部分的关系：

被除数÷除数=商 除数×商=被除数 被除数÷商=除数 5.四则运算的方法

（1）整数、小数加减的计算方法 相同数位对齐，满十向前一位进一。

相同数位对齐，那一位上不够减据向前一位借一当十再减。 （2）整数、小数乘法的计算方法

整数、小数乘法计算方法基本相同，只是小数乘法要在积里点上小数点。

分数乘法：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。能约分的先约分再乘。

（3）整数、小数除法的计算方法

整数除法：从高位除起，除到哪一位，商就写在哪一位上，不够商1的就商0，余数要比除数小。

小数除法：先把除数转化成整数，再按照整数除法的方法计算。注意商的小数点要和被除数的小数点对齐。

分数除法：甲数除以乙数（0除外）等于甲数乘乙数的倒数。 （4）简便运算

加法交换律：a＋b=b＋a

. . . .加法结合律：a＋b＋c=(a＋b)＋c=a＋(b＋c) 乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：a×b×c=a×(b×c) 乘法分配律：a×(b＋c)=a×b＋b×c （5）运算性质

减法的性质：a－(b＋c)=a－b－c a－(b－c)=a－b＋c 除法的性质：a÷b÷c=a÷(b×c)

（6）商不变的性质：被除数和除数同时乘（或除以）一个相同的数（0除外），它们的商不变。 （7）积、商变化规律 ?积的变化规律

如果一个因数扩大到它的（或缩小到它的）几倍（或几分之一），另一个因数不变，它们的积也扩大到它的（或缩小到它的）几倍（或几分之一）。

如果一个因数扩大到它的（或缩小到它的）几倍（或几分之一），另一个因数反而缩小到它的几分之一（或几倍），它们的积不变。 ?商的变化规律

如果被除数扩大到它的（或缩小到它的）几倍（或几分之一），除数不变，商也扩大到它的（或缩小到它的）几倍（或几分之一）。 如果除数扩大到它的（或缩小到它的）几倍（或几分之一），被除数不变，它们的商反而缩小到它的几分之一（或扩大到它的几倍） （8）四则运算的顺序

. . . .在没有括号的算式里，如果是同级运算，从左向右依次计算。 在没有括号的算式里，如果有两级运算，先算乘、除法，后算加、减法。

在含有括号数位算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。

十一类简单应用题类型及常见的数量关系

1.总数和部分数的关系

（1）求总数： 部分数+部分数=总数 （2）求部分数： 总数－部分数=另一个部分数 2.总数 、 份数、 总份数的关系

（1）求相同加数的和 每份数×份数=总数

（2）把一个数平均分成几份，求其中的一份 总数÷份数=每份数 （3）求一个数包含几个另一个数 总数÷每份数=份数 3.两数相差关系

（1）求两数相差多少 大数－小数=相差数 （2）求比一个数多几的数 小数+相差数=大数 （3）求比一个数少几的数 大数－相差数=小数 4.两数倍数关系

（1）求一个数是另一个数的几倍 几倍数（较大数）÷一倍数（较小数）=几倍

（2）求一个数的几倍是多少 一个数×倍数=几倍数

（3）已知一个数的几倍是多少，求这个数 多少÷倍数=这个数

. . . .5.常见的数量关系

（1）速度×时间=路程 （2）单价×数量=总价 （3） 工作效率×工作时间=工作总量 （4） （甲速度+乙速度）×相遇时间=路程 （5） 本金×时间×利率=利息

. . . .

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