高中数学竞赛辅导讲座-数列(一)

高中数学竞赛辅导讲座---数列

一、学习目标

数列是高中数学的重要内容之一，也是高考及高中数学联赛考查的重点。而且往往还以解答题的形式出现，所以我们在复习时应给予重视。近几年的数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。 二、知识要点

（一）、数列的基础知识

1．数列{an}的通项an与前n项的和Sn的关系

它包括两个方面的问题：一是已知Sn求an，二是已知an求Sn； 1.1 已知Sn求an

(n?1)?S1对于这类问题，可以用公式an=?.

S?S(n?2)n?1?n

1.2 已知an求Sn

这类问题实际上就是数列求和的问题。数列求和一般有三种方法：颠倒相加法、

错位相减法和通项分解法。

?a?a2．递推数列：?1，解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联

a?f(a)n?n?1系，设法转化为等差数列与等比数列的有关问题，然后解决。

（二）、等差数列与等比数列

1．定义：数列{an}为等差数列?an+1-an=d?an+1-an=an-an-1；

数列{bn}为等比数列?bn?1?q?bn?1?bn。

anbnbn?12．通项公式与前n项和公式：

数列{an}为等差数列，则通项公式

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an=a1+(n-1)d, 前n项和

Sn=

n(a1?an)n(n?1)d=na1?.

22(q?1)?na1?数列{an}为等比数列，则通项公式an=a1qn-1, 前n项和Sn=?a1(1?qn).

(q?1)?1?q?3．性质：

每连续m项的和若m+n=p+q， 则am+an=ap+aq 仍组成等差数列,即 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m组成等差数列 每连续m项的和若m+n=p+q， 则aman=apaq 仍组成等比数列，即 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m组成等比数列 （4）函数的思想：等差数列可以看作是一个一次函数型的函数；等比数列可以看作是一个指数函数型的函数。可以利用函数的思想、观点和方法分析解决有关数列的问题。

（三）．等差数列与等比数列数列问题的综合性和灵活性如何表现？ 数列问题的综合性主要表现在

1．数列中各相关量的关系较为复杂、隐蔽．

2．同一问题中出现有若干个相关数列，既有等差或等比数列，也有非等差，非等比的数列，需相互联系，相互转换． 数列问题的灵活性表现在：

1．需灵活应用递推公式，通项公式，求和公式，寻求已知与所求的关系，减少中

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等差数列 等比数列 间量计算．

2．需灵活选用辅助数列，处理相关数列的关系． 三、例题赏析

例1 已知(b－c)logm x+(c－a)logm y+(a－b)logm z＝0 ①

(1) 若a、b、c依次成等差数列，且公差不为0，求证x、y、z成等比数列； (2) 若x、y、z依次成等比数列，且公比不为1，求证a、b、c成等差数列． 分析 判断三个数成等差数列或等比数列的充要条件，一是定义，二是中项公式． 证明：（1）∵ a、b、c依次成等差数列 ∴ b－c＝－d，c－a＝2d，

a－b＝－d（d≠0）代入① 得 －d（logm x－2 logm y + logm z）＝0 ∵d≠0 ∴logmx?2logmy?logmz＝logm y2＝xz，可知x、y、z 成等比数列． （2）∵ x、y、z 依次成等比数列

yzz＝＝q ， ＝q2 （q?1）∴ 两边取对数，得 yxxxzy2＝ 0 ，，

logm z－logm y＝logm y－logm x＝logm qlogm z－logm x＝2 logm q ① 式可变为

a（logm z－logmy）－b（logm z－logmx）+ c（logm y－logmx）＝0 即 logm q（a－2b + c）＝0 ∵ logm q≠0

∴ 2b＝a+c，可知a、b、c成等差数列．

例2 数列｛an｝的 前 n 项 和Sn＝a · 2n + b（n?N），则｛an｝为等比数列的充要条件是________．

分析 应从转化出数列｛an｝的通项公式入手． 解：a1＝S1＝2a + b 当n≥2时，

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an＝Sn－Sn－1=(a ·2n + b)－(a ·2n－1+b)＝a · 2n－1

由此可知：当a≠0时， a2 , a3 … ,an , … 是公比为2的等比数列． ∴｛an｝为等比数列的充要条件是

a≠0，且2a+b＝a·20，即a≠0，且a + b＝0．

例3 设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若S7＝56，Sn＝420，an－3＝34，则n＝________． 分析 将题设的三个数据，利用等差数列的通项公式及前n项和公式， 布列出三个关于a1，公差d，项数n的方程，并求解，会使过程复杂化，应设法直接布列关于n的方程

解：∵ S7＝a1+ a2+ a3+ a4+ a5+ a6+ a7＝7a4 ∴ 由S7＝56，可得a4＝8 又a1+ an＝a4+ an－3＝8+34＝42． ∴ 由 Sn＝420，解得n＝20．

例4.等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求S13 解：由求和公式S13?13(a1?a13)?13a7 2知问题转化为求a7由条件得：a7=12

例5.各项均为实数的等比数列{an}的前n项之和为Sn，若S10=10，S30=70，求S40。 解 记b1=S10,b2=S20-S10,b3=S30-S20,b4=S40-S30.设q是{an}的公比，则b1,b2,b3,b4构成以r=q10为公比的等比数列。于是70=S30=b1+b2+b3=b1(1+r+r2) =10(1+r+r2) 即r2+r-6=0. 解得r=2 或 r=-3由于r=q10>0 ,

1?240?10(240?1) 所以r=2故 S40?10(1?2?2???2)?10?1?2239例4 （2000年全国）设{an}是首项为1的正项数列，且(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，(n=1,2,3,…),则它的通项公式是an= . 分析：（1）作为填空题，不需要解题步骤，所以可以采用不完全归纳法。

1111令n=1，得：2a22+a2-1=0,解得，a2=.令n=2, 得：3a32+a3-=0, 解得，a3=.

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11同理，a4=由此猜想：an=.

4n(2)由(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，得：[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0, 所以(n+1)an+1=nan，

1这说明数列是常数数列，故nan=1，an=.

n也可以由(n+1)an+1=nan，得：

an?1n，所以 ?ann?1an?anan?1an?1n?211????2?a1??????1?。 an?1an?2a1nn?12n例5 在等差数列{an}中，已知a1>0,Sn是它的前n项的和.已知S3=S11，求Sn的最大值。

分析：和例8一样，也是未知数的个数多于方程的个数，所以须考虑等差数列的性质。

解：由已知：S3=S11，故3a1?3d?11a1?55d,得：d??2a1?0.而因为S3=S11，13得a4+a5+a6+…+a10+a11=0.由于a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8,所以a7+a8=0。

故a7>0,a8<0,所以 S7最大。

评说：(1)本题也可以利用函数的思想来解，即把Sn表示成某一变量的函数（比如n），然后再求这个函数的最大值。

(2)本题还可以利用方程与不等式的思想来解，即Sn最大当且仅当an>0同时

an+1<0，解这个不等式组即可。

例7已知等差数列{an}的前n项的和为Sn，令bn=

n11，且b4=，S6-S3=15,

10Sn求数列{bn}的通项公式和lim?bi的值。

n??i?1 分析：欲求bn，需先求Sn，而Sn是数列{an}的前n项的和，所以应首先求出an。

因为数列{an}是等差数列，故只要能找到关于a1与d的两个方程即可。

解：设数列的首项为a1，公差为d.由已知得：

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则第一部分各数之和3am>1+a+…+am-13第二部分之和 四、学生练习

1.设{an}是等比数列，首项a1>1,公比q>1，求证：数列{

}是递减数列

2.确定最大的实数z，使得x+y+z=5，xy+yz+zx=3，并且x与y也是实数 3.将奇数{2n-1}按照第n组含有n个数的规则分组： 1， 3,5 7,9,11, 13,15,17,19 …………………

(1)求第8组中的所有奇数

(2)求1993属于第几组中的第几号数 (3)求第100组中所有奇数的和 (4)求前100组的全体奇数的总和

4.设{an}与{bn}分别是等差数列和等比数列，且a1=b1>0，a2=b2>0试比较an和bn的大小

5.设S={1,2,3,…,n}，A为至少含有两项的公差为正的等差数列，其每一项均在S中，且添加S中的其它元素于A以后，均不能构成与A有相同公差的等差数列，求这种数列A的个数(只有两项的数列也看成等差数列)

6.数列{an}的前n项之和为Sn，若S1=1且Sn1=Sn+(5n+1)an,n=1,2,…,|a|11，求Sn

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