第一次阶段性测试

第一次阶段性测试

江苏省南菁高级中学2009届高三第一次阶段性测试

数 学

09.28

一、填空题（每题5分，14小题，共70分，请将答案填在答案卷题号相应处）

1．已知集合M＝{，8}，N＝{a，1}，f : x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中

3

仍为x，则a＋b的值为____ ▲____

2. 已知复数z1=3+4i, z2=t+i (t∈R), 且z1·－z是实数, 则实数t等于 ▲

2

b

b

3． 设P和Q是两个集合，定义集合P Q={x|x∈P, 且x Q}, 如果P={x| log2x<1}，Q={x| |x 2|<1}，

那么P Q等于_____ ▲______

2

4．已知命题：“任意x∈[1, 2]，都有x+2x+a≥0”为真命题，则a的取值范围是 ▲

2

5．条件p：“m< 2”和条件q：“方程x 2x m=0无实根”，则p是q的件.

6．对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为1000其频率分布直方图如图所示，根据此图可知这批样本中电子元件的寿命在300~500小时的数量是____▲_____个．

2

7．函数y x a 2 x 3,x a,b 的图象关于直线x 1对称， 则b=___▲____

h） 8．现有2008年奥运会福娃卡片5张,卡片正面分别是贝贝、 晶晶、欢欢、迎迎、妮妮，每张卡片大小、质地和背面图

案均相同，将卡片正面朝下反扣在桌子上，从中一次随机抽出两张，抽到贝贝的概率是___▲____

1 2 1 1

9．矩阵A= 的一个特征值为λ, 是A的属于特征值λ的一个特征向量，则A=__

c 1 0

▲__

x=2 t

10．在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为 (t∈R), 圆C的参数方程为

y=t

x=cosθ+1 (θ∈[0,2π]),则直线l截圆C所得的弦长为______▲____ y=sinθ

7 3333

11.对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:2 3 9 4

5 11

13153

仿此,若m的“分裂数”中有一个是59, 则m的值为 ▲ . 1719

2

12．已知f(x) x px q和g(x) x

45

都是定义在A {x|1 x 上的函数，对任x2

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意的x A，存在常数x0 A，使得f(x) f(x0),g(x) g(x0)，且f(x0) g(x0)，则f(x)在A上的最大值为___▲___

13．已知f (x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0, 1]时，f (x)= x，且在[ 1,3]内， 函数g(x)=f (x) kx k 1有4个零点，则实数k得取值范围是 ▲_______ .

14．在实数集R中定义一种运算“*”，具有性质：①对任意a,b R,a*b b*a； ②对任意a R,a*0 a；

③对任意a,b R,(a*b)*c c*(ab) (a*c) (b*c) 2c，

1

则函数f(x) x*(x 0)的最小值为 ▲

x

二、解答题（共6题，满分 90分）

15．(14分)已知集合A xx2 2x 3≤0,x R，

B xx2 2mx m2 4≤0,x R，m R ．

(Ⅰ)若A

B 0,3 ，求实数m的值；

(Ⅱ)若A CRB，求实数m的取值范围． 16．（16分）某公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查发

2

现投入广告费t（百万元），可增加销售额约为－t＋5t（百万元）（0≤t≤5）．

（1）若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？

（2）现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术

132

改造费x（百万元）x＋x＋3x（百万元）．请设计一个资金分

3

配方案，使该公司由此获得的收益最大？（注：收益＝销售额－投放）．

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17．(16分）已知下表中的对数值有且只有两个是错误的。

x 1.5 3 5 6 7 8 9 14 27

lgx 3a b+c 2a b a+c 1+a b c 2(a+c) 3(1 a c) 2(2a b) 1 a+2b 3(2a b)

(1)假设上表中lg3=2a b与lg5=a+c都是正确的，试判断lg6=1+a b c是否正确，给出判断过程;

(2) 求证lg3的对数值是正确的;

(3)试将两个错误的对数值均指出来, 并加以改正(不要求证明) ．．．．

18．(14分)在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放．．回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记 x 2 y x． ．

（1）求随机变量 的最大值，并求事件“ 取得最大值”的概率； （2）求随机变量 的分布列和数学期望．

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π2

19．(14分) (1) 已知某圆的极坐标方程为：ρ－42ρcos(θ－＋6=0．将极坐标

4

方程化为普通方程；并选择恰当的参数写出它的参数方程。

1

(2) 已知二阶矩阵M有特征值 8及对应的一个特征向量e1 , 且矩阵M对应的变

1

换将点( 1, 2)变换成( 2, 4)。求矩阵M的另一个特征值及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系。

20．对于定义域为[0, 1]的函数f (x)如果满足以下三个条件：①对任意的x∈[0, 1]，总有f (x)≥2；②f (1)=3； ③若x1≥0, x2≥0, x1+x2≤1，都有f (x1+x2)≥f (x1)+f (x2) 2成立。则称函数f (x)为理想函数。

x

⑴判断函数g (x) =2+1 (0≤x≤1)是否为理想函数，并予以证明； ⑵求定义域为[0, 1]的理想函数f (x)的最大值和最小值；

111

⑶某同学发现：当x= (n∈N) 时，有f )≤，由此他提出猜想：对一切x∈(0，1]，

222

都有f (x)<2x+2 , 请你根据该同学发现的结论(或其它方法)来判断此猜想是否正确，并说明理由。

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答案

一、填空题（每题5分，共30分，请将答案填在答案卷题号相应处）

3

1、5；2、 3、（0，1]； 4、a≥－3； 5、充分不必要； 6、650； 7、2 ； 8、2；

459、

1 2 1

； 102 ； 11、8； 12、5； 13、(0)； 14、3

0 1 3

二、解答题（共6题，满分90分）

15. (14分) 解：由已知得：A x 1≤x≤m 2 ． 3 ，B xm 2≤x≤4分

(Ⅰ)∵A

B 0,3 ,

m 2 0,

∴ 6

m 2≥3,

分

m 2,

∴

m≥1.

∴

m 2． 8分 (Ⅱ) CRB={x|x<m 2 或x>m+2} 10分

∵A CRB,

∴m 2 3,或m 2 1， 12分

∴m 5, 或m 3． 14分

16.（16分）（1）设投入t（t百万元）的广告费后增加的收益为f(t)（百万元），则有 f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0＜t≤3)， 所以当t＝2百万元时，f(t)取得最大值4百万元．

即投入2百万元时的广告费时，该公司由此获得的收益最大． 6分

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（2）设用技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告促销的资金为 (3－x)(百万元)，

132132

则增加的收益为 g(x)＝(x＋x＋3x)＋[－(3－x)＋5(3－x)]－3＋4x＋3 (0≤

33

x≤3)，

2

所以g (x)＝－x＋4．令g (x)＝0，解得x＝2，或x＝－2(舍去）． 又当0≤x＜2时，g (x)＞0，当2＜x≤3时，g (x)＜0．

故g(x)在[0，2]上是增函数，在[2，3]上是减函数．所以当x＝2时，g(x)取最大值， 即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大． 16分

17. (16分)(1)由lg5=a+c ，得lg2=1 a c ∴lg6=lg2+lg3=1+a b c满足表中数值， 也就是lg6在假设下是正确的。 4分

(2)假设lg3=2a-b是错误的，即lg3≠2a-b，∴lg9=2 lg3≠2(2a-b)，lg27=3 lg3≠3(2a-b) 于是lg9，lg27也均是错误的，这与“有且只有两个是错误的”矛盾，故假设不成立， ∴lg3的对数值是正确的。 8分

(3) lg1.5是错误的，正确值应为3a b+c 1 12分

lg7是错误的，正确值应为2b+c 16分

理由：由(2)知lg3一定对，则lg9, lg27都对。 若lg5错，则lg6, lg8均错（不符），所以lg5对的，可得lg2=1 a c, 即有lg6, lg8均对的。

∴lg1.5=lg3 lg2=3a b+c 1, ∴表中lg1.5是错的。

又易知lg7是错的，∵2(a+c)=2lg5=lg25≠lg7, 事实上lg7=lg14 lg2=2b+c

18. (14分)解：（1） x,y可能的取值为1, 2, 3, x 2 1，y x 2，

3，且当x 1,y 3或x 3,y 1时， 3．因此，随机变量 的最大值为3．

有放回抽两张卡片的所有情况有3 3 9种， P( 3)

2

． 92

答：随机变量 的最大值为4，事件“ 取得最大值”的概率为．

9

6分

（2） 的所有取值为0,1,2,3．

0时，只有x 2,y 2这一种情况，

1时，有x 1,y 1或x 2,y 1或x 2,y 3或x 3,y 3四种情况， 2时，有x 1,y 2或x 3,y 2两种情况．

142

P( 0) ，P( 1) ，P( 2) ．

999

则随机变量 的分布列为：

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因此，数学期望E 0 1 2 3 14

99999

分

2 22

19. (14分)（1）∵ρ－4ρ(cosθ+sinθ)＋6=0, ∴x＋y－4(x+

y)＋6＝

0；

22

即x＋y－4x－4y＋6＝0 4分

x 2

圆的标准方程为：(x－2)＋(y－2)＝2, ∴参数方程为 (α为参数)

y 2

2

2

6分

a b 8, ab ab 1 1 8

(2）设M= ，则=8=，故 cd 1 1 8 cdc d 8.

a 2b 2, ab 1 2

=，故 cd 2 4 c 2d 4.

62 联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M= ． 1044 分

∴M的特征多项式为f( ) ( 6)( 4) 8 2 10 16，∴另一个特征值为 2 12

分

x 6x 2y x

设M的另一个特征向量是e2 ，则M e2= 2 y ，解得2x y 0。 14y4x 4y

分

x

20．(16分)（1）显然g (x) =2+1 (0≤x≤1) 满足①x∈[0, 1]， f (x)≥2；②f (1)=3；

x1+x2x1x2x1x2

若x1≥0, x2≥0, x1+x2≤1，则g (x1+x2)－[g(x1)+g(x2)]=2－2－2－1=(2－1)(2－1)－2≥－2 即g (x1+x2)≥g (x1)+g(x2) 2成立，故为理想函数。 4分

（2）设x1, x2∈[0, 1], x1<x2, 则x2 x1∈(0, 1] ∴f (x2)=f [(x2 x1)+x1]≥f (x2 x1)+f (x1) 2

∴f (x2)－f (x1)≥f (x2 x1)－2≥0, ∴f (x1)≤f (x2) 则当0≤x≤1时，f (0)≤f (x)≤f (1)，

在③中，令x1=x2=0, 得f (0)≤2，由②得f (0)≥2， ∴f (0)=2 当x=1时，f (1)=3， ∴当x=0时，f (x)取得最小值2，当x=1时，f (x)取得最大值3 10分

111

（3）对x∈(0，1]，总存在n∈N+1<x≤, 由(2)及该同学的结论，得f (x)≤f (≤

222

1

n+2, 2

11

又2x+2>2·n+1n∴ f (x)<2x+2

22

综上所述，对一切x∈(0，1]，都有f (x)<2x+2 16分

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