历年全国1卷文科数学立体几何

18. （2015本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE?平面ABCD， （I）证明：平面AEC?平面BED；

（II）若?ABC?120?，AE?EC, 三棱锥E?ACD的体积为

6，求该三棱锥的侧面积. 3

18、解：

（I）因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD. 因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,故AC⊥平面BED.

又AC?平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED. ……5分 （II）设AB=x，在菱形ABCD中，又∠ABC=120 ，可得

oAG=GC=

x3x，GB=GD=.

22因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中，可的EG=3x. 22x. 2由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形，可得BE=

由已知得，三棱锥E-ACD的体积VE?ACD=

11636x?×AC·GD·BE=.

32243故x=2 ……9分 从而可得AE=EC=ED=6. 所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与 △ECD的面积均为5. 故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25. ……12分

19(2014本题满分12分)

如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO?平面BB1C1C.

（1）证明：B1C?AB;

（2）若AC?AB1,?CBB1?60?,BC?1,求三棱柱ABC?A1B1C1的高.

（17）解： （I）

连接BC1，则O为B1C与BC1的交点.因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C?BC1. 又AO?平面BB1C1C，所以B1C?AO，故B1C?平面

ABO.

由于AB?平面ABO，故B1C?AB. ……6分

（II） 作OD?BC，垂足为D，连接AD.作OH?AD，垂足

BC?OD，为H. 由于BC?AO，故BC?平面AOD，

所以OH?BC.又OH?AD，所以OH?平面ABC. 因为?CBB1?60?，所以?CBB1为等边三角形，又BC=1， 可得OD?113.由于AC?AB1 ，所以OA?B1C?.

224 由OH?AD?OD?OA，且AD?OD2?OA2?217. ，得OH?14421故三棱柱ABC?A1B1C1的距离为7又O为B1C的中点，所以点B1到平面

ABC的距离为

21. 7

19．(2013课标全国Ⅰ，文19)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°. (1)证明：AB⊥A1C；

(2)若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积． 19．

(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B. 因为CA＝CB， 所以OC⊥AB.

由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°， 故△AA1B为等边三角形， 所以OA1⊥AB.

因为OC∩OA1＝O，所以 AB⊥平面OA1C. 又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C.

(2)解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形， 所以OC＝OA1＝3. 又A1C＝6，则A1C＝OC＋OA12，

2

2

故OA1⊥OC.

因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高． 又△ABC的面积S△ABC＝3，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3. （19）（2012本小题满分12分）

1如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点

2(Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。

18．（2011本小题满分12分）

如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为平行四边形，?DAB?60?，AB?2AD，PD?底面ABCD． （I）证明：PA?BD； （II）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高． (18)解：

（Ⅰ）因为?DAB?60?,AB?2AD， 由余弦定理得BD?3AD 从而BD2+AD2= AB2，故BD?AD 又PD?底面ABCD，可得BD?PD 所以BD?平面PAD. 故 PA?BD

（Ⅱ）如图，作DE?PB，垂足为E。已知PD?底面ABCD，则PD?BC。由（Ⅰ）知BD?AD，又BC//AD，所以BC?BD。

故BC?平面PBD，BC?DE。 则DE?平面PBC。

由题设知，PD=1，则BD=3，PB=2，

根据BE·PB=PD·BD，得DE=

3， 2 即棱锥D—PBC的高为

3. 2（18）(2010全国新课标卷文)如图，已知四棱锥P?ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD,AC?BD,垂足为H，PH是四棱锥的高。

（Ⅰ）证明：平面PAC? 平面PBD;

（Ⅱ）若AB?6,?APB??ADB?60°,

求四棱锥P?ABCD的体积。

解： (1)因为PH是四棱锥P-ABCD的高。

所以AC?PH,又AC?BD,PH,BD都在平PHD内,且PH?BD=H. 所以AC?平面PBD.

故平面PAC平面PBD. ……..6分 (2)因为ABCD为等腰梯形，AB?CD,AC?BD,AB=6. 所以HA=HB=3. 因为?APB=?ADR=60

0

所以PA=PB=6,HD=HC=1. 可得PH=3. 等腰梯形ABCD的面积为S=12AC x BD = 2+3. 所以四棱锥的体积为V=13?233x（2+3）x3=3

..9分 ……..12分

……

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