数学分析十三章讲义

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《数学分析》下册教案第十三章函数列与函数项级数西南财经大学数学学院

第十三章函数列与函数项级数

§1 一致收敛性

教学目标：掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．

教学内容：函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．

(1)基本要求：掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．教学建议：

(1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．

(2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．教学过程：

我们知道，可以用收敛数列（或级数）来表示或定义一个数，在此，将讨论如何用函数列（或函数项级数）来表示或定义一个函数。一、函数列及其一致收敛性。

设

f1,f2,?,fn,? （1）

是一列定义在同一数集E上的函数，称为定义在E上的函数列。也可简记为： {fn}或 fn， n?1,2,?。

设x0?E，将x0代入f1,f2,?,fn,?得到数列：

f1(x0),f2(x0),?,fn(x0),? （2）

若数列（2）收敛，则称函数列（1）在点x0收敛，x0称为函数列（1）的收敛点。若数列（2）发散，则称函数列（1）在点x0发散。若函数列（1）在数集D?E上每一点都收敛，则称（1）

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在数集D上收敛。这时?x?D，都有数列{fn(x)}的一个极限值与之对应，由这个对应法则就确定了D上的一个函数，称它为函数列{fn}的极限函数。记作f。于是，有 limfn(x)?f(x)， x?D，或 fn(x)?f(x)(n??)，x?D。

n??函数列极限的??N定义对每一个固定的x?D，对???0，?N?0（注意：一般说来N值的确定与?和x的值都有关），使得当n?N时，总有 fn(x)?f(x)??。

使函数列{fn}收敛的全体收敛点的集合，称为函数列{fn}的收敛域。

例1、设fn(x)?xn，n?1,2,?为定义在(??,?)上的函数列，证明它的收敛域是(?1,1]，

?0,x?1且有极限函数 f(x)?? （3）

?1,x?1证：任给??0（不妨设??1），当0?x?1时，由于fn(x)?f(x)?x，故只要取

N(?,x)?ln?，则当n?N(?,x)时，就有fn(x)?f(x)??。而当x?0和x?1时，则对任何正lnxn整数n，都有

fn(0)?f(0)?0??，fn(1)?f(1)?0??。

这就证得?fn?在(?1,1]上收敛，且有（3）式所表示的极限函数。

当x?1时，则有x???(n??)，当x??1时，对应的数列为?1,1,?1,1,?它显然是发散的。所以函数列?xn?在区间(?1,1]外都是发散的。

例2、定义在(??,??)上的函数列fn(x)?nsinnx，n?1,2,?，由于对任何实数x，都有 nsinnxsinnx11?sinnx??0??。所以函数列??，故对任给的??0，只要n?N?，就有?的收nnn??n?敛域为无限区间(??,??)，函数极限f(x)?0。

定义1、设函数列?fn?与函数f定义在同一数集D上，若对任给的正数?，总存在某一正整数N，使得当n?N时，对一切的x?D，都有

fn(x)?f(x)??

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则称函数列?fn?在D上一致收敛于f，记作： fn(x) f(x) (n??)， x?D。

定理13.1（函数列一致收敛的柯西准则）函数列?fn?在数集D上一致收敛的充要条件是：对任给的正数?，总存在正数N，使得当n,m?N时，对一切x?D，都有 fn(x)?f(x)??。（4）

???证： [必要性] 设fn(x) ? f(x) (n??)，x?D，即对任给??0，存在正数N，

使得当n?N时，对一切x?D，都有 fn(x)?f(x)?于是当n,m?N，由（5）就有

fn(x)?fm(x)?fn(x)?f(x)?f(x)?fm(x)??2。（5）

?2??2??。

[充分性] 若条件（4）成立，由数列收敛的柯西准则，?fn?在D上任一点都收敛，记其极限函数为f(x)，x?D。现固定（4）式中的n，让m??，于是当n?N时，对一切x?D都

???有 fn(x)?f(x)??。由定义1，fn(x) ? f(x)(n??)，x?D。

定理13.2 函数列?fn?在区间D上一致收敛于f的充要条件是： limsupfn(x)?f(x)?0。（6）

n??x?D证： [必要性] 若fn(x) f(x) (n??)，x?D。则对任给的正数?，存在不

依赖与x的正整数N，当n?N时，有

fn(x)?f(x)??， x?D。由上确界的定义，亦有

supfn(x)?f(x)??。

x?D则有 limsupfn(x)?f(x)?0。

n??x?D [充分性] 由假设，对任给的??0，存在正整数N,使得当n?N，有 supfn(x)?f(x)??。（7）

x?D因为对一切x?D，总有fn(x)?f(x)?supfn(x)?f(x)。

x?D故由（7）式得 fn(x)?f(x)??。于是?fn?在D上一致收敛于f。

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例3、定义在[0,1]上的函数列

1?22nx,0?x??2n?11?fn(x)??2n?2n2x,?x? n?1,2,? （8）

2nn??1?0,n?x?1?由于fn(0)?0，故f(0)?limfn(0)?0。当0?x?1时，只要n?n??n??1，就有fn(x)?0，故在(0,1]上x有f(x)?limfn(x)?0。于是函数列（8）在[0,1]上的极限函数f(x)?0，又由于

supfn(x)?f(x)?fn(1)?n?? (n??)， 2nx?[0,1]所以函数列（8）在[0，1]上不一致收敛。

二、函数顶级数及其一致收敛性

设?un(x)?是定义在数集E上的一个函数列，表达式

u1(x)?u2(x)???un(x)??，x?E （9）称为定义在E上的函数顶级数，简记为?un(x)或?un(x)。称

n?1? Sn(x)??uk(x)， x?E，n?1,2,? （10）

k?1n为函数顶级数（9）的部分和函数列。

若x0?E，数顶级数u1(x0)?u2(x0)???un(x0)?? （11）

收敛，既部分和Sn(x0)??uk(x0)当n??时极限存在，则称级数（9）在点x0收敛，x0称为

k?1n级数（9）的收敛点，若级数（11）发散，则称级数（9）在点x0发散。若级数（9）在E某个子集D上每个点都收敛，则称级数（9）在点D上收敛，若D为级数（9）全体收敛点的集合，这时则城D为级数（9）的收敛域。级数（9）在D上每一点x与其所对应的数项级数（11）的和S(x)构成一个定义在D上的函数，称为级数（9）的和函数，并写作

u1(x)?u2(x)???un(x)???S(x) ，x?D，

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即 limSn(x)?S(x)，x?D。

n??也就是说，函数项级数（9）的收敛性就是指它的部分和函数列（10）的收敛性。

例4、定义在(??,??)上的函数项级数（几何级数） 1?x?x2???xn?? （12）

1?xn的部分和函数为Sn(x)?。故当x?1时，

1?x S(x)?limSn(x)?n??1。 1?x1；当x?1时，几何级数是发散的。 1?x?所以几何级数（12）在(?1,1)内收敛于和函数S(x)?定义2（函数项级数一致收敛性定义）设?Sn(x)?是函数项级数?un(x)的部分和函数列。

n?1若?Sn(x)?在数集D上一致收敛于函数S(x)，则称函数项级数?un(x)在D上

n?1?一致收敛于函数S(x)，或称?un(x)在D上一致收敛。

n?1?由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来决定的，因此有

定理13.3（函数项级数一致收敛的柯西准则）函数项级数?un(x)在D上一致收敛 ?对

n?1?于???0，?N，使得当n?N时，对一切x?D和一切正整数p，都有 Sn?p(x)?Sn(x)??，