1导数的概念及其几何意义 简单难度 讲义

导数的概念及其几何意义

引入

中国跳水皇后郭晶晶在高台跳水运动中,平均速度不一定能反映她在某一时刻的运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.那么，如何求瞬时速度呢？

解读

1、导数的概念

（1）．函数的平均变化率：一般地，已知函数，)xf(y?，是其定义域内不xx10同的两点，记，，则当)(x)?f?f(x??x??y?y?y?f(x)f(x)?x?x?x?x?001001100f(x??x)?f(x)?y称作函数在区间时，商)x?f(y（或）00]xx,][x??[x,x??x?0000?x?x的平均变化率．注：这里，可为正值，也可为负值．但，可以为．00??x?xyy??（2）．函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数在)(xy?f附近有定义，当自x0变量在附近改变量为时，函数值相应的改变．)f(xx(??x)x?x??y?fx?000f(x??x)?f(x)y?趋近于一个常数趋近于如果当时，（平均变化率也l0x?00??x?x就是说平均变化率与某个常数的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），l那么常数称为函数在点l)xf(的瞬时变化率．x0f(x??x)?f(x)趋近于常数”可以用符号“”记作：?l趋近于零时，当“x?00?x

f(x??x)?f(x)f(x??x)?f(x)”，或记作时，“当“”，符号“”?0x??0000llim?l?

?x?x0??x读作“趋近于”．

函数在的瞬时变化率，通常称为在处的导数，并记作．?)(x?xxxf)xf(000这时又称在)xf(处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当时，x?x0??x0f(x??x)?f(x)f(x??x)?f(x)”或“”．??0000)??f(x)fx(lim00?x?x0?x?（3）．可导与导函数：如果在开区间内每一点都是可导的，则称在))(x(x)f(a,bf区间可导．这样，对开区间内每个值，都对应一个确定的导数x)ba(a,b),(．于是，在区间内，构成一个新的函数，我们把这个函数称为??)((a,b)fx(x)f函数的导函数．记为或（或）．???y)f(y?f(x)x y x导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．

2、导数的几何意义

（1）.导数的几何意义：设函数的图象如图)x?f(y y

D为过点所示．AB与))x(x??))B(x??x,f,A(xf(x B0000A是斜率割线．由此割线的的一条C)?x)?f(xf(x?y?，可知曲线割线的斜率就是函00?xx??xxO x0转动，它的最终位置为绕点沿曲线趋近于点时，割线数的平均变化率．当点AABBA)x?f()?f(x?x的即切线的切线，这条直线直线，叫做此曲线过点ADADADA00?lim x?0??x斜率．过点由导数意义可知，曲线)(?yfx?的切线的斜率等于．)))fxf,((xx(000 .2（）求曲线的切线方程

若曲线在点)xf(y?及其附近有意义，给横坐标一个增量，相x)P(x,yx000

应的纵坐标也有一个增量，对应的点.则)yx,y?f(x)?Q(xxy?f(?x)?PQ0000

为曲线的割线.当时,如果割线趋近于一确定的直线，0x?PQPQ?fy?(x)

y就趋近于切线则这条确定的直线即为曲线的切线.当然，此时割线的斜率PQ

x

的斜率.

切线的方程为.

)?xk(xy?y?00探究

'（xy）类型一、求曲线在点的切线：)f(xy?y?y?f(x)(x?x)．00,000）y（x的切线：过点类型二、求曲线)xy?f(00,）y（x；步骤一：设切点11,y?f(x)?11；步骤二：联立方程组解出x?1'y?y?f(x)(x?x)?11000'(x)(x??yy?fx)步骤三：写出切线方程.

001归纳总结

1、导数的概念

f(x??x)?f(x)叫函数在)xf(y??00x?x lim)x?f(处的导数，记作

00?x0?x??|y .

xx?0注意：

①函数应在点x的附近有定义，否则导数不存在.

0?x趋近于0可正、可负、但不为0②在定义导数的极限式中，，而可能为0. y?

?y?x x范围内的平均变化率，它的几何意义是过在③是函数对自变量)(xfy?x?上点（曲线)(xy?f x?. ，，）及点（+）的割线斜率)x??xf(xx)f(x00000)(x)?f?f(x?x在点④导数是函数)x?f(y?00lim)f?(x它的处瞬时变化率，x00x?0x??在反映的函数)x?f(y上它的几何意义是曲线点处变化的快慢程度，x)f(xy?0点（. ）处的切线的斜率，)(xxf00)xf(?x?x)?f(在点⑤若极限不存在，则称函数)(xy?f00lim. 处不可导x0x?0??x在开区内每一点都有导数，则称函数在开区间⑥如果函数)ba,()xy)?f(y?f(x?)xf(x，从间∈，都对应着一个确定的导数内可导；此时对于每一个)b((a,b)a,??)fxf((x)内而构成了一个新的函数在开区间，称这个函数为函数),b(a)xy?f(.

的导函数，简称导数就是求导函这要加以区分：求一个函数的导数，导数与导函数都称为导数，.

数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值2、导数的几何意义在函数)xf(?xx?)fx(在其上点的几何意义：曲线处的导数)xf:y?(C00xP()y（切点在切线上、切点是关键.，用导数研究切线问题，处的切线的斜率00.

切点在曲线上、切点横坐标的导函数值为切线斜率）过三次曲线的对称中心（不

难证明三次曲线一定是中心对称图形，,一般地而过三次曲线上除对称中心外的任的切线有且仅有一条；且对称中心在曲线上）.

一点的切线有二条以下给出简单证明（不要求学生掌握）：

由于三次曲线都是中心对称曲线，因此，将其对称中心移至坐标原点便可将三次函数的解析式简化为fx?ax?bx3.

)(??若3yM，x上的任一点，是三次曲线bx?ax?f(x)11????M相切于设过的切线与曲线xy?f，yx,00则切线方程为()()?，xxfx?y?y?000M在此切线上，故因为点()()?，

xx?xy?y?f0110033又bx?,y?ax?yax?bx，110010)()3)((233所以xx?ax?bx?ax?bxb??ax，0010110整理得：()(2)02，??xxxx?1100x解得，1?x?. 或xx?0102xM是对称中心即当点1x=0时，过点=-作曲线的切线切点是惟一的，且为，MM12故只有一条切线；0M 不是对称中心即当点?xM作曲线的切线可产生两个不同的切点，过点时，1MM 处）的切线. 故必有两条切线，其中一条就是以为切点（亦即曲线在点

典例精讲

一．选择题（共20小题）

1．（2017秋?凉州区校级期末）在平均变化率的定义中，自变量的增量△x满足（）

A．△x＜0 B．△x＞0

C．△x=0

D．△x≠0

）的增大，增长速度最快的0＞x（x（2．2017秋?河西区期末）下列函数中，随）是（

xx BA．y=1 ．D ．y=x

Cy=2．y=e

t的单位是米，其中s2tt+s=120183．（春?鹤壁期末）﹣个物体的运动方程为﹣5）秒末的瞬时速度是（的单位是秒，那么物体在B秒米A．6/秒米9．秒/8．C 秒/米．7 米D/

的平均变化率分[在01]，2=x春（4．2018?）（，=x）（海淀区期中）函数fxgx m，m别记为），则下面结论正确的是（21 =m．AmBm＞m．2112，m的大小无法确定m＞mm．CD．2211

5．（2014?上城区校级一模）如图，函数y=f（x）在A，B两点间的平均变化率是（）

2

．﹣2 DCBA．1 ．﹣1 ．

）的函数值的改变量与自变量的改（x6．（2017春?孝感期中）我们常用函数y=f 时，函数值的改x变量的比值来表示平均变化率，当自变量x由x改变到x+00变量△y等于（）x +△）x ．f（BxA．f（+△x）00 x）D．f（x ）?△x）﹣fx（△+x．Cf（000

2+2Q（）及邻近点（y=x?春东莞市校级月考）在曲线+x上取点P2，6．7（2015）（为，那么x△，y）△6+

225

+x C．△+△A．x2 ）△+△．）△+△．D3x（x B2x（x

）的几何意义表示（）x乐都区校级期末）春2016（．8?f′（0 A．曲线的切线

．曲线的切线的斜率B ）的切线的斜率（．曲线Cy=fx

，f（x））处切线的斜率xD．曲线y=f（x）在点（00

的值处可导，x）在2014春?城关区校级期中）若函数f（x9．（0

为（）B．﹣f′（x）C．f′（x）D．﹣f′（）x）xf′A．（00

f'，则时，（．2018春?龙岩期中）设（f当h→0x）是可导函数，

10

（x）=（）0D． 2

B．A．2 C．﹣

等于（））潮州校级月考）若2016春?f′（x=3，则（11．

B．CA．3 ．﹣1 D．1

处的瞬2x=（）在xfx=x）﹣+10，则（f?2018．12（春杏花岭区校级月考）已知时变化率是（）

A．3 B．﹣3

C．2

D．﹣2

与的2017．13（春x（y=f则）的图象如图，已知函数石河子校级月考）?（关系是：）

＜＞B．．A

D．不能确定C．

）的图象如图所示，下列数值排序正确g14．（2016春?临汾校级期中）函数（x 的是（）

g（2）（3）＜g（3）﹣g′A．0＜（2）＜g′2）（2）＜g′（）﹣g′B．0＜（3）＜g（3g 3＜g′（））﹣2）＜g（3g（2）g′C．0＜（（3）g′（2）＜g′＜ggD．0＜（3）﹣（2）

、的图象如图所示，且点A2=xf201415．（秋?花垣县校级期中）已知函数（x）在哪点附近增长最快（）2=x、BC（在图象上，问函数D、fx）

点．DC点DB．BA．A点点C．

3，则）=﹣）（x=（201416．（秋?公主岭市校级月考）若f′

12

D．6 C．9 ．﹣A3 B．﹣

，若=）2014（春?渝水区校级月考）物体自由落体运动方程为s（t17．

）=g=9.8m/s，那么下面说法正确的是（

这段时间内的平均速度9.8m/s是0～1sA．t）s这段时间内的速度1B．9.8m/s 是从1s到（+△t=1s这一时刻的速度C．9.8m/s是物体在这段时间内的平均速度△到（1+t）s1sD．9.8m/s是物体从

）的切线斜率是，2在点（﹣3x23y=x秋（．2016?沙河市校级期末）（文）曲线18）（

9 ．﹣6

B1 A．﹣．C3

D．

图象上一点（2，﹣2）及=秋?龙华区校级期末）过曲线y=f（x）19．（2017

邻近一点（2+△x，﹣2+△y）作割线，则当△x=0.5时割线的斜率为（）D．﹣．1

B．CA．

=（则），）=2，f′（x）=﹣22014?20．（开福区校级模拟）已知f （3

B．6 C．8 D．不存在A．﹣4

2（位移单位：米，时间单苏州期末）一质点的运动方程为s=t+1021．（2015秋? ．位：秒），则该质点在t=3秒的瞬时速度为

）处的切线的倾斜角，3在点（13x﹣春22．（2016?广丰区校级期中）曲线

y=4x ．是

（23．2016春?=．）（邯郸期中）已知f′2=2，则

，昌吉市期末）春（24．2018?如图函数+﹣y=处的切线为：的图象在点x（f）P2x5 f′+2（f则）=）（2．

（秒）的关t仓山区校级期末）已知某物体的位移S（米）与时间25．（2015秋? ．﹣tS（t）=3t系是2 t=2秒的平均速度；t=0（Ⅰ）求秒到t=2秒的瞬时速度．（Ⅱ）求此物体在

处可导，试求下列各极限x（x）在点2013．（春?贞丰县校级月考）设函数f260的值．（1）；

）．2（

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