2018年江苏高考数学二轮复习教师用书：第1部分 知识专题突破 专题10 平面解析几何 含答案 精品

专题十 平面解析几何

———————命题观察·高考定位———————

(对应学生用书第44页)

1．(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23

＝1的焦距是________． 210 [∵a 2＝7，b 2＝3，∴c 2＝a 2＋b 2＝7＋3＝10，

∴c ＝10，∴2c ＝210.] 2．(2016·江苏高考)如图10－1，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0) 的右焦点，直线y ＝b 2 与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．

图10－1 63 [由题意得B ? ????－32a ，b 2，C ? ????32a ，b 2，∴BF →＝? ????c ＋32a ，－b 2，CF →＝?

????c －32a ，－b 2，∵BF →·CF →＝0，因此c 2－? ????32a 2＋? ??

??b 22＝0?3c 2＝2a 2?e ＝63.] 3．(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________．

(x －1)2＋y 2＝2 [直线mx －y －2m －1＝0经过定点(2，－1)．

当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r 满足r 2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.]

4．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23

－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________． 23 [如图所示，双曲线x 23

－y 2

＝1的焦点为F 1(－2,0)，F 2(2,0)， 所以|F 1F 2|＝4. 双曲线x 23－y 2＝1的右准线方程为x ＝a 2c ＝32，

渐近线方程为y ＝±

33x . 由????? x ＝32

，y ＝33x ，得P ? ??

??32，32. 同理可得Q ? ????32，－32. ∴|PQ |＝3， ∴S 四边形F 1PF 2Q ＝12·|F 1F 2|·|PQ |＝12

×4×3＝2 3.] 5．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2

＝50

上．若PA →·PB →

≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．

【导学号：56394068】

[－52，1] [法一：因为点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，

所以设P 点坐标为(x ，±50－x 2)(－52≤x ≤52)．

因为A (－12,0)，B (0,6)， 所以PA →＝(－12－x ，－50－x 2)或PA →

＝(－12－x ，50－x 2)，

PB →＝(－x,6－50－x 2)或PB →

＝(－x,6＋50－x 2)． 因为PA →·PB →

≤20，先取P (x ，50－x 2)进行计算，

所以(－12－x )·(－x )＋(－50－x 2)(6－50－x 2)≤20，

即2x ＋5≤50－x 2.

当2x ＋5≤0，即x ≤－52

时，上式恒成立； 当2x ＋5≥0，即x ≥－52

时，(2x ＋5)2≤50－x 2， 解得－52

≤x ≤1，故x ≤1. 同理可得P (x ，－50－x 2)时，x ≤－5.

又－52≤x ≤52，所以－52≤x ≤1.

故点P 的横坐标的取值范围为[－52，1]．

法二：设P (x ，y )，则PA →＝(－12－x ，－y )，PB →

＝(－x,6－y )．

∵PA →·PB →

≤20，

∴(－12－x )·(－x )＋(－y )·(6－y )≤20，

即2x －y ＋5≤0.

如图，作圆O ：x 2＋y 2＝50，

直线2x －y ＋5＝0与⊙O 交于E ，F 两点，

∵P 在圆O 上且满足2x －y ＋5≤0，

∴点P 在EDF 上．

由????? x 2＋y 2＝50，2x －y ＋5＝0得F 点的横坐标为1，

又D 点的横坐标为－52，

∴P 点的横坐标的取值范围为[－52，1]．]

6．(2016·江苏高考) 如图10－2，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2

－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．

图10－2

(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；

(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程；

(3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →

，求实数t 的取值范围．

【导学号：56394069】

[解] 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，

所以圆心M (6,7)，半径为5.

(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)．

因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，

所以0<y 0<7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.

因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2

＝1.

(2)因为直线l ∥OA ，

所以直线l 的斜率为4－02－0

＝2. 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，

即2x －y ＋m ＝0，

则圆心M 到直线l 的距离 d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5

. 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，

而MC 2＝d 2＋? ??

??BC 22， 所以25＝m ＋

22＋5，

解得m ＝5或m ＝－15.

故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.

(3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．

因为A (2,4)，T (t,0)，TA →＋TP →＝TQ →

，

所以????? x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4.①

因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.②

将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.

于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25上，

从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25有公共点，

所以5－5≤t ＋－6]2＋－2≤5＋5，

解得2－221≤t ≤2＋221.

因此，实数t 的取值范围是[2－221，2＋221]．

[命题规律]

(1)题量稳定：解析几何在高考试卷中试题大约出现3个题目左右，其中填空题占两道，解答题占一道；其所占平均分值为22分左右，所占平均分值比例约为14%.

(2)整体平衡，重点突出：重点内容重点考，直线与圆的方程，圆锥曲线的定义、标准方程、

几何性质等是高考命题的重点．

主要集中在如下几个类型：

①求曲线方程(类型确定，甚至给出曲线方程)；

②直线、圆和圆锥曲线间的交点问题(含切线问题)；

③与圆锥曲线定义有关的问题(涉及焦半径、焦点弦、焦点三角形和准线，利用余弦定理等)； ④与曲线有关的最值问题(含三角形和四边形面积)；

⑤与曲线有关的几何证明(圆线相切、四点共圆、对称性或求对称曲线、平行、垂直等)； ⑥探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征(很少)．

———————主干整合·归纳拓展———————

(对应学生用书第45页)

[第1步▕ 核心知识再整合]

1．直线的方程

点斜式：y －y 1＝k (x －x 1); 截距式：y ＝kx ＋b ；两点式：

y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1； 截距式：x a ＋y b ＝1；一般式：Ax ＋By ＋C ＝0，其中A 、B 不同时为0.

2．两条直线的位置关系

(1)两直线平行?两直线的斜率相等或两直线斜率都不存在；

(2)两直线垂直?两直线的斜率之积为－1或一直线斜率不存在，另一直线斜率为零；

(3)与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ≠0，B ≠0)平行的直线系方程为Ax ＋By ＋m ＝0(C ≠m )；

(4)若给定的方程是一般式，即l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有下列结论： l 1∥l 2?A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2?A 1A 2＋B 1B 2＝0.

(5)两平行直线间距离公式：

Ax ＋By ＋C 1＝0(A ≠0，B ≠0)与Ax ＋By ＋C 2＝0(A ≠0，B ≠0，C 1≠C 2)的距离d ＝

|C 1－C 2|A 2＋B 2

. 3．圆的方程

(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r . (2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为? ????－D 2

，－E 2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F

2.

4．直线与圆相关问题的两个关键点

(1)三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理．

(2)两个公式：点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B

2，弦长公式|AB |＝2r 2－d 2(弦心距d )．

5．圆锥曲线的定义

(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)；

(2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)；

(3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离)．

6．圆锥曲线的标准方程

(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在y 轴上)； (2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在y 轴上)；

(3)抛物线：y 2＝2px ，y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2

＝－2py (p ＞0)．

7．圆锥曲线的几何性质 (1)椭圆：e ＝c a ＝1－b 2a

2. (2)双曲线：①e ＝c a ＝1＋b 2

a

2； ②渐近线方程：y ＝±b a x 或y ＝±a

b x ；

(3)抛物线：设y 2＝2px (p ＞0)，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)为抛物线上的点，F 为其焦点． ①焦半径|CF |＝x 1＋p 2

； ②过焦点的弦长|CD |＝x 1＋x 2＋p ；

③若直线CD 过焦点，则x 1x 2＝p 24

，y 1y 2＝－p 2. 8．直线与圆锥曲线的位置关系

(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：

将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ＞0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ＜0，则直线与椭圆相离．

(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：

将直线方程与双曲线方程联立，消去y (或x )，得到一个一元方程ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．

①若a ≠0，当Δ＞0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ＜0时，直线与双曲线相离 .

②若a ＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．

(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：

将直线方程与抛物线的方程联立，消去y (或x )，得到一个一元方程ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2

＋by ＋c ＝0)．

①当a ≠0时，用Δ判定，方法同上．

②当a ＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．

9．有关弦长问题

有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．

(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝1＋k 2|x 2－x 1|或|P 1P 2|＝

1＋1k 2|y 2－y 1|，其中求|x 2－x 1|与|y 2－y 1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：

|x 2－x 1|＝

x 1＋x 22－4x 1x 2， |y 2－y 1|＝y 1＋y 22

－4y 1y 2. (2)当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．

10．弦的中点问题

有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．

[第2步▕ 高频考点细突破]

【例1】 已知直线________．

[解析] 由题意36＝4m ，m ＝8，所以直线方程为6x ＋8y ＋14＝0，即3x ＋4y ＋7＝0，d ＝|－3－7|32＋4

2＝2.

[答案] 2

[规律方法] (1)若给定的方程是一般式，即l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有下列结论：l 1∥l 2?A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2?A 1A 2＋B 1B 2＝0. 给定两条直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1和l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则有下列结论：l 1∥l 2?k 1＝k 2且b 1≠b 2；l 1⊥l 2?k 1k 2＝－1；

(2)求直线方程就是求出确定直线的几何要素，即直线经过的点和直线的倾斜角，当直线的斜率存在时，只需求出直线的斜率和直线经过的点即可．对于直线的点斜式方程和两点式方程，前者是直线的斜率和直线经过的一点确定直线，后者是两点确定直线．

[举一反三]

已知直线l 1：ax ＋(a ＋2)y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋2＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值是________． 0或－3 [由题意得：a ＋a (a ＋2)＝0?a ＝0或a ＝－3.]

【例2】 (－3所示，已知圆

A 的圆心在直线y ＝－2x 上，且该圆存在两点关于直线x ＋y －1＝0对称，又圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，过点

B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .

图10－3

(1)求圆A 的方程；

(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程；

(3)(BM →＋BN →)·BP →

是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由.

【导学号：56394070】

[解] (1)由圆存在两点关于直线x ＋y －1＝0对称知圆心A 在直线x ＋y －1＝0上， 由????

? y ＝－2x ，x ＋y －1＝0得A (－1,2)，

设圆A 的半径为R ，因为圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，

所以R ＝|－1＋4＋7|5

＝25， 所以圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2

＝20.

(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意，

当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，

即kx －y ＋2k ＝0，连接AQ (图略)，则AQ ⊥MN ，

∵|MN |＝219，

∴|AQ |＝20－19＝1，

由|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34， ∴直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0，

∴所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.

(3)∵AQ ⊥BP ，

∴AQ →·BP →

＝0，

∴(BM →＋BN →)·BP →＝2BQ →·BP →＝2(BA →＋AQ →)·BP →＝2(BA →·BP →＋AQ →·BP →)＝2BA →·BP →

，

当直线l 与x 轴垂直时，得P ??????－2，－52，则BP →＝?

?????0，－52，又BA →

＝(1,2)， ∴(BM →＋BN →)·BP →＝2BQ →·BP →＝2BA →·BP →

＝－10.

当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，

由????? y ＝kx ＋2，x ＋2y ＋7＝0，解得P ????

??－4k －71＋2k ，－5k 1＋2k ， ∴BP →＝????

??－51＋2k ，－5k 1＋2k ， ∴(BM →＋BN →)·BP →＝2BQ →·BP →＝2BA →·BP →

＝2? ??

??－51＋2k －10k 1＋2k ＝－10， 综上所述，(BM →＋BN →)·BP →

是定值，且为－10.

[规律方法] 求圆的方程一般有两类方法：

(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；

(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．其一般步骤：①根据题意选择方程的形式：标准方程或一般方程；②利用条件列出关于a ，b ，R ，或D ，E ，F 的方程组；③解出a ，b ，R ，或D ，E ，F 的值，代入标准方程或一般方程，此外，根据条件要尽量减少参数设方程，这样可减少运算量．

[举一反三]

(2017·江苏省淮安市高考数学二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x －4)2

＋(y －

8)2＝1，圆C 2：(x －6)2＋(y ＋6)2＝9.若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆C 1和圆C 2的圆周，则圆C 的方程是________． x 2＋y 2＝81 [由题意，圆C 与圆C 1和圆C 2的公共弦分别为圆C 1和圆C 2的直径，

设C (x,0)，则(x －4)2＋(0－8)2＋1＝(x －6)2＋(0＋6)2

＋9，∴x ＝0，

∴圆C 的方程是x 2＋y 2＝81.]

【例3】 ((x －2)2＋(y －3)

2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是________．

[解析] 由圆的方程得：圆心(2,3)，半径r ＝2，

∵圆心到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|2k ＋3－3|k 2＋1

，|MN |≥23， ∴2r 2－d 2＝2

4－4k 2k 2＋1≥23， 变形得：4－4k 2k 2＋1≥3，即4k 2＋4－4k 2≥3k 2＋3，解得：－33≤k ≤33

， 则k 的取值范围是??????－

33，33. [答案] ????

??－33，33 [规律方法] 直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离d 与半径r 的关系确定，d ＝r 相切；d <r 相交，此时半弦长、弦心距、半径构成直角三角形；d >r 时相离．解有关直线与圆的相交问题要灵活运用圆的几何性质，特别是半弦长、弦心距、半径构成直角三角形，满足勾股定理．圆的切线问题一般利用d ＝r 求解，但要注意切线斜率不存在的情形，与圆有关的最值，范围问题要注意数形结合思想的运用．直线与圆中常见的最值问题：①圆外一点与圆上任一点的距离的最值．②直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值．③过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值．④直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题．⑤两圆相离，两圆上点的距离的最值．

[举一反三]

(2017·江苏省无锡市高考数学一模)在平面直角坐标系xOy 中，过点M (1,0)的直线l 与圆

x 2＋y 2

＝5交于A ，B 两点，其中A 点在第一象限，且BM →＝2MA →

，则直线l 的方程为________. 【导学号：56394071】

x －y －1＝0 [由题意，设直线x ＝my ＋1与圆x 2＋y 2＝5联立，可得(m 2＋1)y 2＋2my －4＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 2＝－2y 1，y 1＋y 2＝－

2m m 2＋1，y 1y 2＝－4m 2＋1， 联立解得m ＝1，∴直线l 的方程为x －y －1＝0.]

【例4】 (xOy 中，

椭圆C ：

图10－4

x 2a 2＋y 2

b 2

＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (3,1)在椭圆上，△PF 1F 2的面积为2 2. (1)①求椭圆C 的标准方程；

②若∠F 1QF 2＝π3

，求QF 1·QF 2的值． (2)直线y ＝x ＋k 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值．

[解] (1)①由条件

可知9a 2＋1b 2＝1，c ＝22， 又a 2＝b 2＋c 2，

所以a 2＝12，b 2＝4，

所以椭圆的标准方程为x 212＋y 24＝1. ②当θ＝π3时，有??? QF 1＋QF 2＝2a ＝43，QF 21＋QF 22

－QF 1·QF 2＝c 2＝32，

所以QF 1·QF 2＝163. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由????? x 212＋y 24

＝1y ＝x ＋k

，得4x 2＋6kx ＋3k 2

－12＝0， 由根与系数的关系及直线方程可知： x 1＋x 2＝－3k 2，x 1x 2＝3k 2－124，y 1y 2＝k 2

－124

， 因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，则OA →·OB →

＝x 1x 2＋y 1y 2＝k 2－6＝0，

解得k ＝±6，此时Δ＝120＞0，满足条件，

因此k ＝± 6.

[规律方法] (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求||PF 1＋||PF 2>||F 1F 2，双曲线的定义中要求||||PF 1－||PF 2<||F 1F 2.

(2)求圆锥曲线标准方程常用的方法：(1)定义法；(2)待定系数法，①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a 不具有p 的几何意义．②椭圆的标准方程可设为x 2m ＋y 2n

＝1(m >0，n >0)，双曲线的标准方程可设为x 2m －y 2n ＝1(mn >0)，这样可以避免讨论和繁琐的计算．

[举一反三]

(江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研)已知椭圆C ：x 225＋y 29

＝1的左焦点为F ，点M 是椭圆C 上一点，点N 是MF 的中点，O 是椭圆的中点，ON ＝4，则点M 到椭圆C 的左准线的距离为________．

52 [设点M 到右焦点的距离为MF ′，则MF ′＝2×4＝8，由定义可知该点到左焦点的距离MF ＝10－8＝2，由圆锥曲线的统一定义可得点M 到椭圆C 的左准线的距离为d ＝MF e ＝245

＝52.]

【例5】 (江苏省扬州市2017届高三上学期期末)已知抛物线y 2＝16x 的焦点恰好是双曲线x 2

12－y 2

b 2

＝1的右焦点，则双曲线的渐近线方程为________． [解析] 根据题意，抛物线的标准方程：y 2

＝16x ，其焦点坐标为(4,0)， 则双曲线x 212－y 2

b

2＝1的右焦点坐标为(4,0)，则c ＝4， 有12＋b 2＝16，解可得b ＝2，

则双曲线的方程为x 212－y 2

4

＝1， 则该双曲线的渐近线方程y ＝±

33x . [答案] y ＝±33x [规律方法] 求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a 的值；在双曲线中由于e 2＝1＋? ??

??b a 2，故双曲线的渐近线与离心率密切相关，求离心率的范围问题关键是确立一个关于a ，b ，c 的不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到关于a ，c 的不等式，由这个不等式确定a ，c 的关系．

[举一反三]

(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上学期期中)如图10－5，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．

图10－5 5－12 [由题意得－b c ×b a ＝－1?b 2＝ac ?a 2－c 2＝ac ?1－e 2＝e,0＜e ＜1?e ＝5－12

.]

【例6】

图10－6

x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)，圆O ：x 2＋y 2＝b 2

，过椭圆C 的上顶点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 分别交圆O 、椭圆C 于不同的两点P 、Q ，设AP →＝λPQ →

.

(1)若点P (－3,0)，点Q (－4，－1)，求椭圆C 的方程；

(2)若λ＝3，求椭圆C 的离心率e 的取值范围．

【导学号：56394072】

[解] (1)由P (－3,0)在圆O ：x 2＋y 2＝b 2上，可得b ＝3. 又点Q 在椭圆C 上，得－2a

2＋－232＝1，解得a 2

＝18. ∴椭圆C 的方程为x 218＋y 29

＝1； (2)联立????? y ＝kx ＋b ，x 2＋y 2＝b 2，得x ＝0或x P ＝－2kb 1＋k

2， 联立????? y ＝kx ＋b ，x 2a 2＋y

2b 2＝1，得x ＝0或x Q ＝－2kba 2a 2k 2＋b 2

. ∵AP →＝λPQ →，λ＝3，∴AP →＝34AQ →

， ∴2kba 2k 2a 2＋b 2·34＝2kb 1＋k 2，即k 2＝3a 2－4b 2a 2＝4e 2－1.

∵k 2＞0，∴4e 2＞1，得e ＞12或e ＜－12

. 又0＜e ＜1，∴12

＜e ＜1. [规律方法] (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法

将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．

(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法

将直线方程与双曲线方程联立，消去y 或x ，得到一个一元方程ax 2＋bx ＋c ＝0，或ay 2

＋by ＋c ＝0，若a ≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离；若a ＝0，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．

(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法

将直线方程与抛物线方程联立，消去y 或x ，得到一个一元方程ax 2＋bx ＋c ＝0，或ay 2＋by ＋c ＝0，当a ≠0时，用Δ判定，方法同上；当a ＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，与抛物线有一个交点． 抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F ? ????p 2，0的弦AB ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .同样可得抛物线y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py 类似的性质．

(4)解决直线与圆锥曲线相交时的弦长问题方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入．即当直线与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|，而|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2.

[举一反三]

(2017·江苏省泰州市高考数学一模)如图10－7，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2

a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22

，焦点到相应准线的距离为1.

图10－7

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y ＝2于点Q ，求1

OP 2＋1

OQ 2的值．

[解] (1)由题意得，c a ＝22，a 2c

－c ＝1， 解得a ＝2，c ＝1，b ＝1.

所以椭圆的方程为x 22

＋y 2

＝1. (2)由题意知OP 的斜率存在．

当OP 的斜率为0时，OP ＝2，OQ ＝2，所以1OP 2＋1

OQ 2＝1.

当OP 的斜率不为0时，设直线OP 方程为y ＝kx .

由????? x 22

＋y 2＝1y ＝kx

得(2k 2＋1)x 2＝2，解得x 2＝22k 2＋1，所以y 2＝2k 22k 2＋1， 所以OP 2＝2k 2＋22k 2＋1

. 因为OP ⊥OQ ，所以直线OQ 的方程为y ＝－1k

x . 由?

???? y ＝2

y ＝－1k x 得x ＝－2k ，所以OQ 2＝2k 2＋2. 所以1OP 2＋1OQ 2＝2k 2＋12k 2＋2＋12k 2＋2＝1. 综上，可知1

OP 2＋1

OQ 2＝1.

【例7】 (中，椭圆C ：

x 2a 2＋y 2

b 2

＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点(在x 轴上方)，连接PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，设PF 1→＝λF 1Q →

.

(1)若点P 的坐标为? ??

??1，32，且△PQF 2的周长为8，求椭圆C 的方程； (2)若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈????

??12，22，求实数λ的取值范围． [解] (1) 因为F 1，F 2为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点，

所以PF 1＋PF 2＝QF 1＋QF 2＝2a ，从而△PQF 2的周长为4a .

由题意，得4a ＝8，解得a ＝2.

因为点P 的坐标为? ??

??1，32，所以1a 2＋94b 2＝1， 解得b 2＝3.

所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23

＝1.

(2)法一：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0. 设Q (x 1，y 1)．

因为P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a ，即P ? ??

??c ，b 2a . 因为F 1(－c,0)，所以PF 1→＝?

????－2c ，－b 2a ，F 1Q →＝(x 1＋c ，y 1)． 由PF 1→＝λF 1Q →

，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－b 2a

＝λy 1， 解得x 1＝－λ＋2λc ，y 1＝－b 2λa ，所以Q ? ????－λ＋2λc ，－b 2λa . 因为点Q 在椭圆上，所以? ??

??λ＋2λ2e 2＋b 2

λ2a 2＝1， 即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1， 因为λ＋1≠0，

所以(λ＋3)e 2＝λ－1，从而λ＝3e 2＋11－e ＝41－e －3. 因为e ∈????

??12，22，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5. 所以λ的取值范围为????

??73，5. 法二 因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0.

因为P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2

a ，即P ? ??

??c ，b 2a . 因为F 1(－c,0)，故直线PF 1的方程为y ＝b 2

2ac (x ＋c )．

由?????

y ＝b 22ac x ＋c ，x 2a 2＋y 2

b 2＝1，得(4

c 2＋b 2)x 2＋2b 2cx ＋c 2(b 2－4a 2)＝0. 因为直线PF 1与椭圆有一个交点为P ? ????c ，b 2a .设Q (x 1，y 1)， 则x 1＋c ＝－2b 2c 4c 2＋b 2，即－c －x 1＝2b 2c 4c 2＋b 2. 因为PF 1→＝λF 1Q →， 所以λ＝2c －c －x 1＝4c 2＋b 2b 2＝3c 2＋a 2a 2－c 2＝＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3. 因为e ∈????

??12，22，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5. 所以λ的取值范围为????

??73，5. [规律方法] (1)求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．

(2)求解特定字母取值范围问题的常用方法：①构造不等式法：根据题设条件以及曲线的几何性质(如：曲线的范围、对称性、位置关系等)，建立关于特定字母的不等式(或不等式组)，然后解不等式(或不等式组)，求得特定字母的取值范围．②构造函数法：根据题设条件，用其他的变量或参数表示欲求范围的特定字母，即建立关于特定字母的目标函数，然后研究该函数的值域或最值情况，从而得到特定字母的取值范围．③数形结合法：研究特定字母所对应的几何意义，然后根据相关曲线的定义、几何性质，利用数形结合的方法求解．

[举一反三]

(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F (－1,0)，左准线为x ＝－2.

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．

①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA →＝λAF →，PB →＝μBF →

，求证：λ＋μ为常数；

②若OA ⊥OB (O 为原点)，求△AOB 的面积的取值范围．

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