教案八年级数学第15章整式的乘除和因式分解复习

新思维教育学科教师辅导讲义

讲义编号： dglssx704003

全球优质教育资源整合者 积的乘方法则： 积的乘方法则： ( ab) = a b ( n 是正整数)n n n

积的乘方，等于各因数乘方的积。 如： 2 x y z ) = ( 2) ( x ) ( y ) z = 32 x y z (3 2 5 5 3 5 2 5 5 15 10 5

幂的乘方法则： 幂的乘方法则： (a ) = am n

mn

( m, n 都是正整数)5 2 10

幂的乘方，底数不变，指数相乘。如： ( 3 ) = 3 幂的乘方法则可以逆用：即 a 如： 4 6 = ( 4 2 ) 3 = ( 4 3 ) 2mn

= (a m ) n = (a n ) m

单项式的乘法法则： 单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式 里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 注意： ①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 ②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。 ③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。2 3 如： 2 x y z 3

xy =

单项式的除法法则： 单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它 的指数作为商的一个因式。 注意：首先确定结果的系数(即系数相除) ,然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则 连同它的指数作为商的一个因式 如： 7 a b m ÷ 49a b2 4 2

零指数和负指数； 零指数和负指数；

a 0 = 1 ,即任何不等于零的数的零次方等于 1。

1 ( a ≠ 0, p 是正整数) ,即一个不等于零的数的 p 次方等于这个数的 p 次方的倒数 ap 1 1 如： 2 3 = ( ) 3 = 2 8 a p =3 2

1. 计算：2x · (-3x) __________. 2. 下列运算正确的是( ) 3 4 12 6 2 3 A. x ·x =x B. (-6x )÷(-2x )=3x 2 2 C. 2a-3a=-a D. (x-2) =x -4 3. 在①34·34=316 计算正确的有( ②(-3)4·(-3)3=-37 )2 新思维教育·教务管理部

③-32·(-3)2=-81

④24+24=25 四个式子中，

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全球优质教育资源整合者 A、1 个 4. 下列计算正确的是( A、x2+x3=2x5 B、2 个 ) B、 x2·x3=2x6 ) B、 3a ( 4a ) = 12a2 3

C、3 个

D、4 个

C、 (-x3)2 =-x6

D、 x6÷x3=x3

5. 下列各式中，计算正确的是( A、 3a 4a = 12a2 3 6

C、 2 x 3 x = 6 x3 2 6.

5

D、 ( x) ( x) = x2 3

5

252009×42009-8100×0. 5300 ) C、(23)4=212 D、 (

7. 下列运算正确的是( A、22×2 2=0-

B、(-2×3)2=-36

3 2 9 )= 2 2

8. 若单项式 x m y 8 与 2 x 2 y 3n + 2 的和仍是一个单项式，则这个和是_______. 9. 计算 2 x ( 3 xy ) 2 ( x 2 y )3 的结果是 10. 若 3x=3

. .

5 - ,3y=25,则 3y x= 22 2

11. (-ab) ·(ab ) = 12. 若(3m-2)x2yn+1 是关于 x,y 的系数为 1 的 5 次单项式；则 m-n2=5 2

.

13. 月球距离地球约为 3.84×10 千米，一架飞机速度约为 8×10 千米/时， 若坐飞机飞行这么远的距离 需 14. 计算： 天.

1 (1) (-3xy ) ·( 6 x3y)2;2 3

2 1 4 3 3 (2)4a x ·(- 5 a x y )÷(- 2 a5xy2) ;2 2

多项式： 二、 多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫 多项式的次数。 如： a 2ab + x + 1 ,项有 a 、 2ab 、 x 、1,二次项为 a 、 2ab ,一次项为 x ,常数项为 1,2 2 2

各项次数分别为 2,2,1,0,系数分别为 1,-2,1,1,叫二次四项式。 整式： 整式：单项式和多项式统称整式。 注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 多项式按字母的升( 幂排列： 多项式按字母的升(降)幂排列： 如： x 3 2 x 2 y 2 + xy 2 y 3 13 2 2 3 按 x 的升幂排列： 1 2 y + xy 2 x y + x

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全球优质教育资源整合者 按 x 的降幂排列： x 2 x y + xy 2 y 13 2 2 3

按 y 的升幂排列： 1 + x + xy 2 x y 2 y3 2 2

3

3 2 2 3 按 y 的降幂排列： 2 y 2 x y + xy + x 1

单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 单项式乘以多项式 即 m(a + b + c ) = ma + mb + mc ( m, a, b, c 都是单项式) 注意： ①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 ③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。 如： 2 x ( 2 x 3 y ) 3 y ( x + y ) 多项式与多项式相乘的法则； 多项式与多项式相乘的法则； 多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

(3a + 2b)(a 3b)如：

( x + 5)( x 6)

多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。 即： ( am + bm + cm) ÷ m = am ÷ m + bm ÷ m + cm ÷ m = a + b + c

1. 下列说法正确的是 (

) B、

A、 6 x 7 的项是 6 x 和 7

x + y xy 和 都是单项式 2 2 2x 1 , 8 , ab + c 都是整式 2) D、p=7,q=-12 )

C、

x +1 和 x 2 + xy + y 2 都是多项式 y

D、 m ,

2. 若(x-3) (x+4)=x2+px+q,那么 p、q 的值是( A、p=1,q=-12 B、p=-1,q=12

C、 p=7,q=12

2 3 3 2 3. 一个多项式加上 3 x y 3 xy 得 x 3 x y ,则这个多项式是(

A、 x 2 + 3 xy 2

B、 x 3 3 xy 2 )

C、 x 3 6 x 2 y + 3 xy 3 D、 x 2 6 x 2 y 3 xy 3

4. 下列各式计算结果错误的是( A、4xn+2(-

3 n-1 x )=-3x2n+1 4

B、(-2an)2·(3a2) 3=108a2n+6

C、(x4y+6x3y2-x2y2)÷(3x2y)=3x2+2xy-3x D、(3xn+1-2xn)·5x=15xn+2-10xn+14

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全球优质教育资源整合者 5. 多项式 x2y-x3y2-1+y4 是

次

项式，其中常数项是

.

6. 若代数式 2a2+3a+1 的值是 6,则代数式 6a2+9a+5 的值为 7. 先化简，再求值:

.

1 3 1 2 1 2 x+(- x+ y2)-(2x- y2) (其中 x= ,y= ) . 2 2 3 3 3 3 1 (2)[(xy+2) (xy-2)-2x2y2+4]÷xy(其中 x=10,y=- ) 25(1) 设 m2+m-2=0,求 m3+3m2+2000 的值. 8. 化简求值：5(m+n)(m-n)–2(m+n) –3(m-n) ,其中 m=-2,n=2 2

1 . 5

9. (a+b)(a-2b)=

(a+4b)(m+n)=

.

10. ( x y + 9)( x + y 9)2 11. [(3 x + 4 y ) 3 x(3 x + 4 y )] ÷ ( 4 y ) 1 x 2 ( x + 2)( x 2)-(x + ) 2 x 12. 13. [(x+y)2-(x-y)2]÷(2xy) 14. 化简求值：

(1) 2( x 3)( x + 2) (3 + a )(3 a )其中 a = 2. ,x=1 15. 若(x2+px+q) 2-2x-3)展开后不含 x2,x3 项，求 p、q 值. (x2 2 平方差公式：

平方差公式 ( a + b)( a b) = a b 注意平方差公式展开只有两项

三、

公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边 是相同项的平方减去相反项的平方。 如： ( x + y z )( x y + z )2 2 2 完全平方公式： 完全平方公式： (a ± b) = a ± 2ab + b

公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方， 而另一项是左边二项式中两项乘积的 2 倍 注意：

a 2 + b 2 = (a + b) 2 2ab = (a + b) 2 2ab (a b) 2 = (a + b) 2 4ab ( a b) 2 = [ (a + b)] 2 = (a + b) 2 ( a + b) 2 = [ (a b)] 2 = (a b) 2新思维教育网站： 5 新思维教育·教务管理部

全球优质教育资源整合者 完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的 2 倍。 三项式的完全平方公式： 三项式的完全平方公式：

(a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc

1. 下列式子可以用平方差公式计算的是( A、 (-x+1)(x-1) B、(a-b)(-a+b) )

) C、 (-x-1)(x+1) D、(-2a-b)(-2a+b)

2. 下列各式中计算正确的是 (

A、 (2p+3q)(-2p+3q)=4p2-9q2 C、 (2p-3q)(-2p-3q)=-4p2+9q2 3. 若 a2+b2=5,ab=2,则(a+b)2= .

1 2 1 1 a b-b)2= a4b2- a2b2+b2 2 4 2 1 1 D、 ( - a2b-b)2=- a4b2-a2b2-b2 2 4B、(

4. 若(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,那么 a+b 的值是 5. 若一三角形的底为 4a +2

. .

1 1 4 2 ,高为 16a 2a + ,则此三角形的面积为 2 4

6. 计算:(1)6a5b6c4÷(-3a2b3c)÷(2a3b3c3) .2 22

(2)(x-4y)(2x+3y)-(x+2y)(x-y).2

7. 已知 ( a + b ) = 11 , ( a b ) = 5 ,求(1) a + b ; (2) ab 8. 4292-1712. 9. (-a+b+c)(a+b-c)=[b-(2

)][b+(

)]. . .

10. 多项式 x +kx+25 是另一个多项式的平方，则 k=

11. 5. 如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,那么 a+b 的值为

因式分解： 四、 因式分解： 常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法…… 3 2 (3x +3x)÷(x +1)= . 对于任意的正整数 n,代数式 n(n+7)-(n+3)(n-2)的值是否总能被 6 整除，请说明理由 下面是对多项式(x2-4x+2) 2-4x+6)+4 进行因式分解的过程. (x 解：设 x2-4x=y 原式=(y+2) (y+6)+4 = y2+8y+16 =(y+4)2 =(x -4x+4) 回答下列问题： (1)第二步到第三步运用了因式分解的_______.新思维教育网站： 6 新思维教育·教务管理部2 2

(第一步) (第二步) (第三步) (第四步)

全球优质教育资源整合者 A.提取公因式 C.两数和的完全平方公式 B.平方差公式 D.两数差的完全平方公式

(2)这次因式分解的结果是否彻底？________. (填“彻底”或“不彻底”) 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________.

(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x) 2-2x+2)+1 进行因式分解. (x

1. 从左到右的变形，是因式分解的为 ( A.ma+mb-c=m(a+b)-c2 2

)2 2 3 3

B.(a-b)(a +ab+b )=a -b2 2

C.a -4ab+4b -1=a(a-4b)+(2b+1)(2b-1)

D.4x -25y =(2x+5y)(2x-5y) )2 22 (D) x + 9

2. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(2 22

(B) 5m 20 mn (C) x y (A) a + ( b) 3. 如图是用 4 个相同的小矩形与 1 个小正方形镶嵌而成的 正方形图案，已知该图案的面积为 49,小正方形的面积 为 4,若用 x,y 表示小矩形的两边长(x>y),请观察 图案，指出以下关系式中，不正确的是 ( ) A.x+y=7 B.x-y=2 2 2 C.4xy+4=49 D.x +y =25 4. 因式分解：

(1) x 2 x +

1 4

2 2 (2) (3a 2b) (2a + 3b)

2

2

2

(3)2x y-8xy+8y

(4)a (x-y)-4b (x-y)

2 2 2 (5) x 2 xy + y z

(6) 1 + x + x (1 + x )

2

2

2

(7)9a (x-y)+4b (y-x);

(8)(x+y) +2(x+y)+1

四、拓广探索!(本大题共 22 分) 拓广探索 ( 1. “光明”中学为了改善校园建设，计划在长方形的校园中间修一个正方形的花坛，预计正方形花坛的边长 比场地的长少 8 米，比它的宽少 6 米，并且场地的总面积比花坛的面积大 104 平方米，求长方形的长和 宽. 2. 如果代数式 8ma b 与 8nat 2 t 5

b 是关于 a 、 b 的单项式，且它们是同类项.

3. 求 (5t 26)

2009

的值；7 新思维教育·教务管理部

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全球优质教育资源整合者 4. 若 8ma b 8nat 2 t 5

b = 0 ,且 ab ≠ 0 ,求 (8m 8n) 2009 的值.

5. 由 102×(2×103)=2×102×103=2×105 这样的式子不难想到，x2(2x3)=2x5 (1)阅读并在每条横线上写出得出该式的依据. (6an 1)(-2ab)-

=6an 1(-2)a·b-

① ② ③

=-12(a =-12a

n-1

a)·b ·b

n-1+1

=-12anb (2)仿照上面解题过程求 6. 研究下列算式： 1×3+1=22 2×4+1=32 3×5+1=42 4×6+1=52 ……

3 2 2 2 35 a b 与 ab c 的乘积. 4 3

第九项的算式是_________________________________, 上述是否有规律，如有，用含 n(n 为正整数)的代数式表示出来；如没有，说明理由. 7. 把多项式 2mx -4mxy+2my 分解因式的结果是__________.2 2

8. 分解因式： a-b) +8ab=____________. (22

9. 已知 a、b、c 为△ABC 的三边，且满足 a + b + c ab bc ac = 0 (1)说明△ABC 的形状； (2)如图①以 A 为坐标原点，AB 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，D 是 y 轴上一点，连 DB、 DC,若∠ODB=60°,猜想线段 DO、DC、DB 之间有何数量关系，并证明你的猜想。2 2 2

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作业布置

上次作业完成情况 优秀 学生表现 教师签字： 教师签字： 良

好 一般 优秀

本次课堂表现 良好 一般

学生建议

学生签字： 学生签字：

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