复变函数教案第四章

《复变函数与积分变换》教案 《复变函数》 第四章

章节名称：第四章 级数 学时安排：12学时

教学要求：使学生掌握复数列、复变函数项级数、幂级数等概念，以及复数列和

幂级数的收敛和发散的判定方法。

教学内容：复数列、复变函数项级数、幂级数等概念，以及复数列和幂级数的收

敛和发散的判定

教学重点：幂级数的研究 教学难点：幂级数收敛圆 教学手段：课堂讲授 教学过程： §1、复数项级数 1，复数列的极限：

1）定义：设{?n}(n?1,2,?)为一复数列，其中?n?an?ibn，又设??a?ib为一确定的复数。如果任意给定??0，相应地能找到一个正数N(?)，使?n????在n?N时成立，那么?称为复数列{?n}(n?1,2,?)在n??时的极限。记作

lim?n??。

n??也称复数列{?n}(n?1,2,?)收敛于??a?ib。

2）定理1：复数列{?n}(n?1,2,?)收敛于??a?ib的充要条件是

liman?a，limbn?b

n??n??2，级数的概念：

1）设{?n}?{an?ibn}(n?1,2,?)为一复数列，表达式

??n?1?n??1??2????n??

称为无穷级数，其最前面n项的和

sn??1??2????n

称为级数的部分和。

2）如果部分和数列{sn}收敛，那么级数??n称为收敛。并且极限limsn?s称

n?1n???为级数的和；如果数列{sn}不收敛，那么级数??n称为发散。

n?1? 21

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3）定理2：级数??n收敛的充要条件是级数?an和级数?bn都收敛。

n?1n?1n?1???注意：定理2将复数项级数的收敛问题转化为实数项级数的收敛问题，而由实数项级数?an和?bn收敛的必要条件

n?1n?1??liman?0，limbn?0

n??n??可得lim?n?0，从而推出复数项级数??n收敛的必要条件是lim?n?0

n???n?1n??4）定理3：如果??n收敛，那么??n也收敛，且不等式??n?n?1n?1n?1?????n?1?n成立。

注意：

a）如果??n收敛，那么称??n为绝对收敛；非绝对收敛的收敛级数为条件收

n?1n?1??敛。

b）??n绝对收敛的充要条件是级数?an和级数?bn都绝对收敛

n?1n?1n?1???5）正项级数的判别法举例（因为??n的各项都是非负的实数，所以它的收敛

n?1?性可用正项级数判别法）：

例1，下列数列是否收敛？如果收敛，求出其极限。

1in1）?n?(1?)e； 2）?n?ncosin

n?例2，下列级数是否收敛？是否绝对收敛？

??1i(8i)n(?1)n11）?(1?)；2）?；3）?[?ni]（练习）

nnn!n2n?1n?0n?1?§2、幂级数

1，幂级数概念：

1）复变函数项级数：设{fn(z)}(n?1,2,?)为一复变函数序列，其中各项在区域D内有定义，表达式

?fn?1?n(z)?f1(z)?f2(z)???fn(z)??

称为复变函数项级数，其最前面n项的和

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sn(z)?f1(z)?f2(z)???fn(z)

称为级数的部分和。

2）如果对于D内的某一点z0，极限

limsn(z0)?s(z0)

n??存在，那么我们称复变函数项级数?fn(z)?f1(z)?f2(z)???fn(z)??在z0收

n?1?敛。而s(z0)称为它的和；如果级数在D内处处收敛，那么它的和一定是z的一个函数s(z)：

s(z)?f1(z)?f2(z)???fn(z)??

s(z)称为级数?fn(z)?f1(z)?f2(z)???fn(z)??的和函数。

n?1?3）幂级数：当fn(z)?cn?1(z?a)n?1或者fn(z)?cn?1zn?1时，就得到函数项级数的特殊情形：

?n?0?cn(z?a)n?c0?c1(z?a)?c2(z?a)2???cn(z?a)n??

或

?n?0?cnzn?c0?c1z?c2z2???cnzn??

这种级数称为幂级数。

4）阿贝尔定理（收敛定理）：如果级数?cnzn?c0?c1z?c2z2???cnzn??在

n?0?z?z0(?0)收敛，那么对满足z?z0的z，级数级数必绝对收敛；如果在z?z0(?0)发散，那么对满足z?z0的z，级数必发散。

2，收敛圆与收敛半径

利用阿贝尔定理，可以得到一个幂级数的收敛情况： 1）如果一个幂级数对所有的正实数是收敛的，则级数在复平面内处处绝对收敛； 2）如果一个幂级数对所有的正实数除z?0外都是发散的，则级数在复平面内除原点外处处发散； 3）既存在使级数收敛的正实数，也存在使级数发散的正实数，设z??（正实数）时，级数收敛；z??（正实数）时，级数发散，

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那么在以原点为中心，?为半径的圆周内，级数绝对收敛；在以原点为中心，?为半径的圆周外，级数发散； 4）收敛圆与收敛半径 例，求幂级数

?n?0?zn?1?z?z2???zn??

的收敛范围与和函数 3，收敛半径的求法 1）定理2（比值法）如果lim?cn?1???0，那么级数

n??cn?n?0cnzn?c0?c1z?c2z2???cnzn??

的收敛半径为R?1?。

n??2）定理3（根值法）如果limncn???0，那么级数

?n?0?cnzn?c0?c1z?c2z2???cnzn??

的收敛半径为R?1?。

3）应用举例

例，求下列幂级数的收敛半径：

?n?1??zn（并讨论在收敛圆上的情形）； 3n(z?1)n（并讨论在z?0,2时的情形）； n?n?1练习：求下列幂级数的收敛半径：

?n?0?(cosin)zn.

4，幂级数的运算和性质 1）展开成幂级数：

?1例，把函数表成形如?cn(z?a)n的幂级数，其中a,b是不相等的复常数。

z?bn?02）复变幂级数的性质：

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复变幂级数也象实变幂级数一样，在其收敛圆内具有下列性质： 定理4：设幂级数?cn(z?a)n的收敛半径为R，那么

n?0?1）它的和函数f(z)，即f(z)=?cn(z?a)n是收敛圆：z?a?R内的解析函数；

n?0?2）f(z)在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到，即

f(z)=

'?n?1?ncn(z?a)n?1

3）f(z)在收敛圆内可以逐项积分，即

C?af(z)dz=

?c?nn?0C?(z?a)ndz， C?z?a?R

cn(z?a)n?1 n?1或 ?zf(?)d?=

?n?0?§3、泰勒级数

1，泰勒展开定理：

设f(z)在区域D 内解析，z0为D内一点，d为z0到D的边界上各点的最短距离，那么当z?z0?d时，

f(z)=?cn(z?z0)n

n?0?成立，其中 cn??1fn!(n)(z0),n?0,1,2,??.

注意：1）泰勒展开式f(z)=?cn(z?z0)n的右边即f(z)得泰勒级数；

n?02）泰勒级数收敛半径为z0到f(z)的最近奇点的距离。

3）任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数，而且是唯一的。 2，应用举例：

例1，把ez,sinz,cosz展开成z的幂级数。 例2，把函数

1展开成z的幂级数。

(1?z)2例3，求对数函数的主值ln(1?z)在z?0处的泰勒展开式。

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