非线性方程的数值计算方法实验

《数值方法》实验报告

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非线性方程的数值计算方法实验

【摘要】在利用数学工具研究社会现象和自然现象，或解决工程技术等问题

?0的求解问题，时，很多问题都可以归结为非线性方程f（x）无论在理论研究方

面还是在实际应用中，求解非线性方程都占了非常重要的地位。综合当前各类非线性方程的数值解法，通过比较分析，二分法，迭代法，牛顿—拉夫森方法，迭代法的收敛阶和加速收敛方法，以上的算法应用对某个具体实际问题选择相应的数值解法。

关 键 词 非线性方程；二分法；迭代法；牛顿-拉夫森法；割线法等。

一、实验目的

通过本实验的学习，应掌握非线性方程的数值解法的基本思想和原理，深刻认识现实中非线性方程数值的意义；明确代数精度的概念；掌握二分法、不动点迭代法、牛顿迭代法、割线法等常用的解非线性方程的方法；培养编程与上机调试能力。

二、实验原理

二分法：单变量函数方程： f（x）=0

其中，f(x)在闭区间[a，b]上连续、单调，且f(a)*f(b)<0,则有函数的介值定理可知，方程f（x）=0在（a，b）区间内有且只有一个解x*，二分法是通过函数在区间端点的符号来确定x*所在区域，将有根区间缩小到充分小，从而可以求出满足给定精度的根x*的近似值。 下面研究二分法的几何意义：

设a1=1, b1=b, 区间?a1,b1?，中点x1=

a1?b1及f?x1?，若f?x1?=0，则x*=x1，2若 f(a1)*f(x1)<0，令a2=a1，b2=x1，则根x*? [a2,b2]中，这样就得到长度缩小一半的有根区间[a2,b2]，若 f(b1)*f(x1)<0，令a2=x1，b2=b1，则根x*? [a2,b2]中，这样就得到长度缩小一半的有根区间[a2,b2],即f(a2)f(b2)<0,此时b2-a2=

b1?a1,对有根区间[a2,b2]重复上述步骤，即分半求中点，判断中2电处符号，则可得长度有缩小一半的有根区间[a2,b2],

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如图所示：

重复上述过程，第n步就得到根x*的近似序列?xn?及包含x*的区间套，如下： （1）[a1,b1]?[a2,b2]?....[an,bn]?... （2）f(an)f(bn)?0,x*?[an,bn] （3）an-bn=1=…=2(an?1?bn?1)(4) xn?b?a 2n?1an?bnb?a,且|x*-xn|?n?1 (n=1,2,3…..) 22显然limxn，且xn以等比数列的收敛速度收敛于x*，因此用二分法求f（x）=0的实根x*可以达到任意指定精度。

（二）迭代法：对给定的方程给定初值

，由此来构造迭代序列

，有

，则

就是方程

，将它转达换成等价形式：

。

，如果迭代法收敛，即

的根。在计算中当

小于给定的精度控制量时，取为方程的根。

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（三）牛顿迭代法：设方程f(x)=0在其根x*的某个领域U(x*，?)内有一阶连续导数，且f’(x*) ≠0。求f(x)=0的根x*，首先要将f(x)=0转化为等价形式x??(x)，并使? (x)满足不动点迭代的一般理论。

于是我们令? (x)=x+h(x)f(x),可由? ‘(x1)=0来确定h(x)的结构，根据?’(x)=1+h’(x*)f(x*)+h(x*)f’(x1)=1+h(x*)f’(x*)=0可得

h(x*)=-1/f’(x*) ，由于f’(x) ≠0，且f’(x) 连续，因此当h(x)=-1/f’(x) 时， h’(x1)=0，即令? (x)=x-f(x)/f‘(x)， 从而有迭代格式 xk?1 = xk?f(xk) （k=0,1,2，…..） f'(xk)由于x1, x2, x3…….都在U领域里，从而当B比较小时，可用f’(x0)可近似代替f’(xk),xk?1= xk-

（四）割线法：设xk,xk?1为方程f(x)=0的两个近似根。用差商得：f(xk)-f(xk?1)/

f(xk)

，此方法称为牛顿迭代法。 f(x0)

xk- xk?1，代替牛顿迭代公式中的导数f’(xk)，于是得到如下的迭代公式： xk?1=xk-f(xk)(xk?xk?1)。

f(xk)?f(xk?1)

下面研究割线法的几何意义：

经过点（xk,f(xk)）及点（xk?1,f(xk?1)）两点作割线，其点斜式方程为： Y=f（xk）-

f(xk)?f(xk?1)f(xk)(x?xk)，其零点为X=xk- (xk?xk?1)xk?xk?1f(xk)?f(xk?1)把X用xk?1表示即得到迭代格式，需要两个初值此割线与 X 轴交点的横坐标就是新的近似值xk?1，如图所示。

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三、实验内容

（一）、实验描述

1.P40.1:参照程序2.1求解出单调收敛的不动点。

2.P49.1:已知初值，时间和末值，求解汇率。 4.P69.1：已知运动方程求解运动时间和距离。

（二）、实验题目

1.使用程序2.1求解下面每个函数的不动点（尽肯能多）近似值，答案精确到 小数点后12位。同时，构造每个函数的图和直线y=x来显示所有不动点。

(d)g(x)?xx?cos(x)

2.如果在240个月内每月付款300美元，求解满足全部现金A为500000美元的 汇率I的近似值（精确到小数点后10位）。

4.设投射方的运动程为

y?f(t)?9600(1?e?t/15)?480tx?r(t)?2400(1?e?t/15)

（a） 求当撞击地面时经过的时间，精确到小数点后10位。

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（b） 求水平飞行行程，精确到小数点后10位。

四、实验结果及分析

1. P40.1（d）： 算法：

（1）输入函数g，p0,tol,max1,令k=2。

（2）判断k>max1是否成立，如成立输出结果，如不成立，执行（3）。 （3）令p(k)=g(p(k-1)),err=|p(k)-p(k-1)|。

(4)判断err

到（2）。

end output k=k+1 Y errmax1 Y Input g,p0,tol;k=2 star

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/bm96.html