广东省十校2014届高三上学期第一次联考数学理试题

“十校”2013—2014学年度高三第一次联考

理科数学试题

第Ⅰ卷 （选择题 共4 0分）

一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设集合P??3,log2a?，Q??a,b?，若P?Q??0?，则P?Q?（ ） A．?3,0? B．?3,0,2? C． ?3,0? D．?3,0,1,2? ,12．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是

????????zOA，OB，则复数1对应的点位于（ ）

z2B.第二象限 D.第四象限

A.第一象限 C.第三象限

3．已知等差数列?an?中，a2?5 ，a4?11，则前10项和S10?（ ）

A ． 55 B ． 155 C ． 350 D ． 400 4．学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n 个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10,50) （单 位：元），其中支出在?30,50?（单位：元）的同学 有67人，其频率分布直方图如右图所示，则n的值为（ ） A．100 B．120 C．130 D．390

?????????5．平面四边形ABCD中AB?CD?0，

????????????(AB?AD)?AC?0，则四边形ABCD是 （ ）

A．矩形 B．梯形 C．正方形 D．菱形

6． 一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰 直角三角形，则这个几何体的体积是 A．

13 B．1 C． D．2 22227．下列命题：①函数f(x)?sinx?cosx的最小正周期是?； ②函数f(x)?(1?x)③若

1?x是偶函数； 1?x?a11dx?1(a?1)，则a?e； ④椭圆2x2?3y2?m(m?0)的离心率不确定。 x其中所有的真命题是（ ）

A.①② B.③④ C.②④ D.①③

8．设三位数n?abc，若以a,b,c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有( )

A．45个 B．81个 C．165个 D．216个

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）

(一)必做题(9～13题)

?39． 已知sin(??)?,?0?????，则tan?=________．

2210．若(1?2x)5?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4?a5x5,

则a3= 。

11. 右图是一个算法的程序框图，最后输出的W＝________.

12．在区间[?5,5]内随机地取出一个数a，使得1?{x|2x2?ax?a2?0}

的概率为 ．

13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩

上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图4中的实心点个数1，5，12，22，?， 被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1?1，

第2个五角形数记作a2?5，第3个五角形数记作a3?12，第4个五角形数记作 a4?22，??，若按此规律继续下去，若an?145，则n? ．

1

5

12

图4

22

（二）选做题：第14、1 5题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计

算前一题的得分．

14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知在平面直角坐标系xoy中圆C的参数方程为：

??x?3?3cos?，（?为参数），以OX为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：ks5u ?y?1?3sin?????cos(??)?0,6

则圆C截直线所得弦长为 .

的内接三角形， 于点D，

15.(几何证明选讲选做题)如图，△ABC是PA是的切线，PB交AC于点E,交PA=PE,?ABC?

60?，PD=1，PB=9，则EC= 三、解答题（本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 16．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?31sinπx?cosπx, x?R． 22（1）求函数f(x)的最大值和最小值；

（2）设函数f(x)在[?1,1]上的图象与x轴的交点从左到右分别为M、N，图象的最高点为

P,

?????????求PM与PN的夹角的余弦．

17．（本小题满分12分）

PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可 入肺颗粒物。我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．

某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶） （I）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，求

恰有一天空气质量达到一级的概率;

（II）从这15天的数据中任取三天数据，记?表示抽到PM2.5 监测数据超标的天数，求?的分布列;

（III）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，

则一年（按360天计算）中平均有多少天的空气质量达到 一级或二级．

19．（本小题满分14分）

设Sn为数列?an?的前n项和，对任意的n?N?，都有Sn?(m?1)?man(m为正常数)． （1）求证：数列?an?是等比数列； （2）数列?bn?满足b1?2a1,bn?bn?1,(n?2,n?N?)，求数列?bn?的通项公式；

1?bn?12n?1（3）在满足（2）的条件下，求数列{cos(n?1)?}的前n项和Tn．

bn

x2y2320．（本大题满分14分）如图，已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，以

ab2椭圆C

的左顶点T为圆心作圆T：(x?2)2?y2?r2(r?0)，设圆T与椭圆C交于点M与点N．

（1）求椭圆的方程； ????C????（2）求TM?TN的最小值，并求此时圆T的方程； y （3）设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点，

且直线MP,NP分别与x轴交于点R,S，O为坐标原点， P求证：OR?OS为定值． M 21．（本大题满分14分） 已知函数 RTSOxx2f(x)?ln(2ax?1)??x2?2ax(a?R).

3

（1）若x=2为f(x)的极值点，求实数a的值；

（2）若y?f(x)在?3,???上为增函数，求实数a的取值范围；

N1(1?x)3b?有实根，求实数b的最大值。 （3）当a??时，方程f(1?x)?23x“十校”2013—2014学年度高三第一次联考

理科数学答案

一、选择题 C B B A D A D C

1. 【答案】C 【解析】由P?Q??0?,得log2a?0∴a?1，从而b=0，P?Q??3,0,1 ?，，

2．【答案】B 【解析】复数z1??2?i，z2?i，

z1?2?i?(2?i)i????1?2i， 2z2ii3．【答案】B 【解析】由??a2?a1?d?5?a?2?1)??1?S10?10a1?10(10d?155。 2?a4?a1?3d?11?d?3)?10?0.67， 4．【答案】A 【解析】支出在?30,50?的同学的频率为1?(0.01?0.023n??????????????????????5．【答案】D 【解析】AB?CD?0?AB??CD?DC?ABCD是平行四行边形， ????????????????????????????(AB?AD)?AC?DB?AC?0?DB?AC，?平行四行边形ABCD是菱形。

6．【答案】A 【解析】四棱锥如图，V?67?100。 0.671121?(1?2)?2?? 32227．【答案】D 【解析】①f(x)??(cos2x?sin2x)??cos2x,T?②

2??? 21?x?0??1?x?1, f(x)定义域不关于原点对称，f(x)不是偶函数。 1?x③若

?a1a1dx?lnx?lna?ln1?lna?1?a?e，则a?e；ks5u

1x22222④2x2?3y2?m(m?0)?x?y?1,a2?m,b2?m,e2?c2?a?2b?1?e?32333aamm23（确定）

8．【答案】C 【解析】a,b,c要能构成三角形的边长，显然均不为0。即a,b,c?{1,2,3,???,9} （1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为n1，由于三位数中三个数码都相同，所

1以，。n1?C9?9（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为n2，由于三位数中只有2个不同数码。设为a、b，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数2码组（a，b）共有2C9组。但当大数为底时，设a>b，必须满足b?a?2b。此时，不能构

成三角形的数码是 a b 9 8 7 6 5 4 3 2 1 4，3 4，3 3，2 3，2 2，1 2，1 1 1 1，2 1，2 1 1 2共20种情况。 同时，每个数码组（a，b）中的二个数码填上三个数位，有C3种情况。 22故n2?C3(2C9?20)?156，。 综上，n?n1?n2?165。

二、填空题：9．

3；10． 80 ； 11． 22 ； 13． 10 ；14． 42；15． 4 。 39．【答案】?333 【解析】 sin(??)?cos??,?0?????所以??300，tan?=

2233310．【答案】80 【解析】T3?1?C5(2x)3?80x3，a3?80

11．【答案】22 【解析】第1次运算得：S=1，T=3 ；第2次运算得：S=8 ，T= 5 ；第3

次运算得：S=25－8 =17>10, 这时输出的W＝17+5=22 12．【答案】

3222【解析】由1?x|2x?ax?a?0，得a?a?2?0??1?a?2， 10

??所以所求概率为

3． 1013．【答案】10 【解析】由于a2?a1?4,a3?a2?7,a4?a3?10,???，

类比得an?an?1?4?3[(n?1)?1]?3n?2

所以an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)?????(an?an?1)?1?4?7?????(3n?2)

?1?3n?23n?13n?129n?n，由an?n?145，得n?10或n??（舍） 2223??x?3?3cos?14．【答案】42【解析】圆C的参数方程为?的圆心为(3,1),半径为3,

??y?1?3sin?

直线普通方程为?(cos?cos??31?sin?sin)?x?y?0,即3x?y?0, 6622|3?1|?1, 3?12圆心C(3,1)到直线3x?y?0的距离为d?所以圆C截直线所得弦长|AB|?2r2?d2?232?12?42 015．【答案】4 【解析】弦切角?PAE??ABC?60，又PA=PE,

所以?PAE为等边三角形，由切割线定理有PA?PD?PB?9，所以AE=EP=PA=3， ED=EP?PD=2，EB=PB?PE=9?3=6，由相交弦定理有：EC?EA?EB?ED?12

2EC?12?3?4

三、解答题： 16．解：（1）f(x)?

31πsinπx?cosπx?sin(πx?)， ???3分 226π)?1， 6 ∵x?R，∴?1?sin(πx?∴函数f(x)的最大值和最小值分别为1，－1． ???5分

ππ)?0得πx??kπ,k?Z．???6分 661515∵x?[?1,1]，∴x??或x?，∴M(?,0),N(,0).???8分

6666

π11由sin(πx?)?1，且x?[?1,1]得x?，∴ P(,1),???9分

633

?????????11∴PM?(?,?1),PN?(,?1), ???10分

22??????????????????3PM?PN??????． ???12分 ∴cosPM,PN?????|PM|?|PN|5（2）解法1：令f(x)?sin(πx?解法2：过点P作PA?x轴于A,则|PA|?1, ???6分 由三角函数的性质知|MN|?115T?1, |PM|?|PN|?12?()2?, ???8分 2222225?2?1?????????|PM|?|PN|?|MN|34由余弦定理得cosPM,PN?=?．???12552|PM|?|PN|2?4分

解法3：过点P作PA?x轴于A,则|PA|?1, ???6分

由三角函数的性质知|MN|?1T?1,|PM|?|PN|?1?()?．???8分

2222215在Rt?PAM中，cos?MPA?|PA|125．???10分 ??|PM|552分

∵PA平

?M，

∴cos?MPN?cos2?MPA?2cos2?MPA?1?2?(25)2?1?3?12分

5517.解：（Ⅰ）记“从15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质

12C5?C1045量达到一级”为事件A， P(A)?. ???4分 ?3C1591（Ⅱ）依据条件，其中N?15,M?5,n?3，?服从超几何分布：?的可能值为0,1,2,3

???5分

其分布列为：

k3?kC5C10P???k???k?0,1,2,3?. ???83C15? P 0 1 2 3 分

24 9145 9120 912 91（Ⅲ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为P?分

一年中空气质量达到一级或二级的天数为?，则?～B(360,)102?，?9153?E??360?2?240， ??11分 32???10分

3

?一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级 ?? 12分

11CD, FE CD,所以AB FE?18.证明：记PD中点为F。连结EF、FA ，则 AB

221分

所以FABE为平行四边形。?BE//AF ???2分 又AF?面PAD,EF?面PAD ?BE//面PAD ???4分 （2）连结

BD

在直角梯形ABCD中。?ADC??DAB?900，

BC2?AD2?(DC?AB)2?2，BD2?AD2?AB2?2，所以BD2?BC2?4?CD2，

BC?BD ?? 5分

?????PD?面ABCD?PD?BC，? 6分 ???又BC?BD ， BD?PD?D?BC?面PDB，? 7分 而BC?面PBC ?面PBD?面PBC ?? 8分

面PCD?面ABCD面PCD?面ABCD?CDPD?CDPD?面PCD

19．（本小题满分14分）

（1）证明：当n?1时，a1?S1?(m?1)?ma1，解得a1?1．?????1分 当n?2时，an?Sn?Sn?1?man?1?man．即(1?m)an?man?1．????2分

anm?(n?2)． an?11?mm∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列． ????????3分

1?m（2）解：b1?2a1?2． ?????????4分

bn?11111∵bn?，∴??1，即??1(n?2)．????5分

bnbn?1bnbn?11?bn?1又m为常数，且m?0，∴

?1?1是首项为，公差为1的等差数列．?????ks5u????6分 ?2?bn?2112n?1(n?N?)．????7分 ∴，即bn???(n?1)?1?2n?1bn22∴?22n?1（3）解：由（2）知bn?，则cos(n?1)??(?1)n?1(2n?1)?2n

2n?1bn所以Tn?1?2?3?2?5?2?7?2????????(?1)8分

当n为偶数时，

234n?1(2n?1)?2n ??

Tn?1?2?5?23??9?25???????(2n?3)?2n?1?[3?22?7?24???????(2n?1)?2n]

令S?1?2?5?23??9?25???????(2n?3)?2n?1 ???① 则4S?1?23?5?25??9?27???????(2n?7)?2n?(2n?3)?2n?1???② ①-②得 ?3S?1?2?4?23?4?25???????4?2n?1?(2n?3)?2n?1

4?23(1?4)?(2n?3)?2n?1 =1?2?1?4?6?32?2n?3?3(2n?3)?2n?126?(6n?13)?2n?1==

?3?326?(6n?13)?2n?1?S? ??10

9分

令S/?3?22?7?24???????(2n?1)?2n ???③

n?124S/?3?24?7?26???????(2n?5)?2n?(2n?1)?2n?2???④

③-④得?3S/?3?22?4?24?4?26???????4?2n?(2n?1)?2n?2

n?124?24(1?4)?(2n?1)?2n?2 =12?1?4?36?64?2n?4?3(2n?1)?2n?228?(6n?7)?2n?2==

?3?328?(6n?7)?2n?2/?S? ??11分

926?(6n?13)?2n?128?(6n?7)?2n?2(6n?1)?2n?1?2/?Tn?S?S????

999 ??12分

当n为奇数时，n-1为偶数,

[6(n?1)?1]?2n?2?Tn?Tn?1?(?1)(2n?1)?2???(2n?1)?2n

9(?6n?7)?2n?2?(18n?9)?2n(12n?2)?2n?2(6n?1)?2n?1?2??=

999?(6n?1)?2n?1?2?(n为偶数）??9 ??????14分 ?Tn??n?1?(6n?1)?2?2(n为奇数）?9?法二： Tn?1?2?3?22?5?23?7?24????????(?1)n?1(2n?1)?2n ??

n?1n①

?2Tn??1?22?3?23?5?24?7?25????????(?1)n?1(2n?3)?2n?(?1)n?1(2n?1)?2n?1?②

????9分

①-②得：

3Tn?1?2?2?22?2?23?2?24?2?25????????(?1)n?1?2?2n?(?1)n?1(2n?1)?2n?1 ????10分

?23[1?(?2)n?1]=2??(?1)n?1(2n?1)?2n?1 ????

1?(?2)12分

6?8?(?1)n?12n?2?3(?1)n?1(2n?1)?2n?1=

3?2?(2?6n?3)?2n?1(?1)n?1(6n?1)?2n?1(?1)n?1?2?? ???13分

33(?1)n?1(6n?1)?2n?1?2?Tn? ????

914分

20.本题考查椭圆的方程和几何性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想 解：（1）依题意，得a?2，e?c3，?c?3,b?a2?c2?1； ?a2x2?y2?1 ． ???????3分 故椭圆C的方程为4（2）方法一：点M与点N关于x轴对称，设M(x1,y1)，N(x1,?y1)， 不妨设y1?0．

x由于点M在椭圆C上，所以y1?1?1． （*） ?????4分

422由已知T(?2,0)，则TM?(x1?2,y1)，TN?(x1?2,?y1)，

?TM?TN?(x1?2,y1)?(x1?2,?y1)?(x1?2)2?y1222

x58152?(x1?2)?(1?1)?x1?4x1?3?(x1?)2?．???6分

45544????????81由于?2?x1?2，故当x1??时，TM?TN取得最小值为?．

55383132由（*）式，y1?，故M(?,)，又点M在圆T上，代入圆的方程得到r?．

555251322故圆T的方程为：(x?2)?y?． ???????8分

25方法二：点M与点N关于x轴对称，故设M(2cos?,sin?),N(2cos?,?sin?)， 不妨设sin??0，由已知T(?2,0)，则

TM?TN?(2cos??2,sin?)?(2cos??2,?sin?)412s?)2?．??6分 ?(2co?s?2)2?sin??5co2s??8co?s?3?5(co?55????????4183故当cos???时，TM?TN取得最小值为?，此时M(?,)，

5555132又点M在圆T上，代入圆的方程得到r?．ks5u

25

故圆T的方程为：(x?2)?y?2213． ???8分 25(3) 方法一：设P(x0,y0)，则直线MP的方程为：y?y0?y0?y1(x?x0)，

x0?x1令y?0，得xR?22x1y0?x0y1xy?x0y1， 同理：xS?10， ????10分

y0?y1y0?y122故xR?xS?x1y0?x0y1y0?y122 （**） ??????11分

2222又点M与点P在椭圆上，故x0?4(1?y0)，x1?4(1?y1)，????????12分 代入（**）式，得： xR?xS?4(1?y1)y0?4(1?y0)y1y0?y1222222?4(y0?y1)y0?y12222?4．

所以OR?OS?xR?xS?xR?xS?4为定值．????????14分

方法二：设M(2cos?,sin?),N(2cos?,?sin?)，不妨设sin??0，P(2cos?,sin?)，其中sin???sin?．则直线MP的方程为：y?sin??令y?0，得xR?sin??sin?(x?2cos?)，

2cos??2cos?2(sin?cos??cos?sin?)，

sin??sin?2(sin?cos??cos?sin?)同理：xS?，??????12分

sin??sin?4(sin2?cos2??cos2?sin2?)4(sin2??sin2?)??4． 故xR?xS?2222sin??sin?sin??sin?所以OR?OS?xR?xS?xR?xS?4为定值．????14分ks5u

x[2ax2?(1?4a)x?(4a2?2)]2a2?x?2x?2a?21．(1)解：f?(x)? ??1分

2ax?12ax?1因为x = 2为f (x)的极值点，所以f?(2)?0

2a即?2a?0，解得：a = 0 4a?1又当a = 0时，f?(x)?x(x?2)，从而x = 2为f (x)的极值点成立． (2)解：∵f (x)在区间[3，+∞)上为增函数，

x[2ax2?(1?4a)x?(4a2?2)]≥0在区间[3，+∞)上恒成立． ∴f?(x)?2ax?1??2分 ??3分 ??4分

??5分

①当a = 0时，f?(x)?x(x?2)≥0在[3，+∞)上恒成立，所以f (x)在[3，+∞)上为增函数， 故a = 0符合题意．

??6分

②当a≠0时，由函数f (x)的定义域可知，必须有2ax + 1 > 0对x≥3恒成立，故只能a > 0，

所以2ax2?(1?4a)x?(4a2?2)≥0在区间[3，+∞)上恒成立． ??7分

1令g(x)?2ax2?(1?4a)x?(4a2?2)，其对称轴为1? ??8分

4a1∵a > 0，∴1??1，从而g (x)≥0在[3，+∞)上恒成立，只要g (3)≥0即可，

4a3?133?13≤a≤由g(3)??4a2?6a?1≥0，解得： ??9分 443?133?13∵a > 0，∴0?a≤．综上所述，a的取值范围为[0，] ??10分

44(1?x)3b1b?可化为，lnx?(1?x)2?(1?x)?． (3)解：a??时，方程f(1?x)?3xx2问题转化为b?x[lnx?x?x2]在(0，+∞)上有解 ??11分

(2x1?())?x1令h(x)?lnx?x?x2，则h?(x ks5u?12分 )??12?x?xx当0 < x < 1时，h?(x)?0，∴h (x)在(0，1)上为增函数

当x > 1时，h?(x)?0，∴h (x)在(1，+∞)上为减函数

故h (x)≤h (1) = 0，而x > 0，故b?xh(x)≤0 即实数b的最大值是0． ??14分

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