线性系统的频域分析法

第五章 线性系统的频域分析法

5-1 什么是系统的频率响应？什么是幅频特性？什么是相频特性？什么是频率特性？ 答 对于稳定的线性系统，当输入信号为正弦信号时，系统的稳态输出仍为同频率的正弦信号，只是幅值和相位发生了改变，如图5-1所示，称这种过程为系统的频率响应。

图5-1 问5-1图

称为系统的幅频特性，它是频率

的函数：

的函数； 称为

称为系统的频率特

系统的相频特性，它是频率

性。

稳定系统的频率特性可通过实验的方法确定。 5-2 频率特性与传递函数的关系是什么？试证明之。 证 若系统的传递函数为s用

代替。证明如下。

，则相应系统的频率特性为

，即将传递函数中的

假设系统传递函数为：

输入 时，

经拉氏反变换，有： 稳态后，则有： 其中：

将

与 写成指数形式：

则： 与输入

比较得：

幅频特性 所以

相频特性

是频率特性函数。

5-3 频率特性的几何表示有几种方法？简述每种表示方法的基本含义。 答 频率特性的几何表示一般有3种方法。

⑴幅相频率特性曲线（奈奎斯特曲线或极坐标图）。它以频率 为参变量，以复平面上的矢量来表示出

的一种方法。由于的频率特性

即可。

与

对称于实轴，所以一般仅画

⑵对数频率特性曲线（伯德图）。此方法以幅频特性和相频特性两条曲线来表示系统的频率特性。横坐标为

，但常用对数

分度。对数幅频特性的纵坐标为

，单位为“。”

，单位为dB。对数相频特性的纵坐标为

（度）。 采用

可给作图带来很大方便。

⑶对数幅相频率特性曲线（尼柯尔斯曲线）。这种方法以

为纵坐标。

为参变量，

和

都是线性分度。横坐标按

分度可以扩大频率的表示范围，幅频特性

为横坐标，

5-4 什么是典型环节？

答 将系统的开环传递函数基于根的形式进行因式分解，可划分为以下几种类型，称为

典型环节。①比例环节k(k>0) ；②积分环节⑤一阶微分环节

；③微分环节s；④惯性环节；

；⑥延迟环节；⑦振荡环节；⑧二

阶微分环节 ；⑨不稳定环节。

典型环节频率特性曲线的绘制是系统开环频率特性绘制的基础，为了使作图简单并考虑到工程分析设计的需要，典型环节对数幅频特性曲线常用渐近线法近似求取。 5-5 什么是最小相位系统及非最小相位系统？最小相位系统的主要特点是什么？

答 在s平面上，开环零、极点均为负实部的系统称为最小相位系统；反之，开环零点或极点中具有正实部的系统称为非最小相位系统。

最小相位系统的主要特点是：相位滞后最小，并且幅频特性与相频特性有惟一的确定关系。如果知道最小相位系统的幅频特性，可惟一地确定系统的开环传递函数。 5-6 什么是频率特性Nyquist图？

答 在s平面上，当s=0到

的极坐标图

取根平面上的封闭围线包围全部右半 平面，此封闭围线由整个虚轴（从s=-∞ 到s=+∞ ）和右半平面上半径为无穷大的半圆轨迹组成。这一封闭围线称作奈奎斯特轨迹，如图5-2所示。

时，

变化的轨迹称为系统频率特性

的极坐标图？什么是奈奎斯特（Nyquist）轨迹、

图5-2 Nyquist轨迹

图5-3 Nyquist图

当s沿Nyquist轨迹变化时，即s=-∞j到 变化时s=+∞j，在开环传递函数平

面上对应的轨迹称为Nyquist图，如图5-3所示。

5-7 Nyquist稳定判据的主要内容是什么？简述频率稳定判据的主要特点。

答 奈奎斯特稳定判据是根据系统开环频率特性曲线图，判定系统闭环稳定性的判据。具体如下。

反馈控制系统闭环极点在s的右半平面的个数（不稳定根的个数）： Z=N+P

式中P为系统开环极点在s右半平面的个数；N为系统开环Nyquist图顺时针环绕(-1,j0)的次数。

这里，系统开环Nyquist图可根据系统开环极坐标图

，然后做出它关

于实轴的对称部分即可。

N=0，则系统稳定；N>0 ，系统不稳定。

主要特点：①应用开环频率特性曲线判断闭环稳定性。 ②便于研究系统参数和结构变化对稳定性的影响。 ③易于研究包含延迟环节系统的稳定性。

④奈氏判据稍加推广还可以用来分析某些非线性系统的稳定性。

5-8 什么是系统的幅稳定裕度、相稳定裕度？其各自的物理含义是什么？

答 ⑴幅值裕度GM 当系统开环相频特性为180du时，系统开环频率特性幅值的倒数

称为幅值裕度，所对应的频率 满足

称为相角交界频率。即

相位裕计划经济PM 系统开环频率特性的幅值为1时，系统开环频率特性的相角与

180du的和称为相角裕度，所对应的频率

满足

称为系统截止频率（剪切频率）。即：

PM>0 ，则系统稳定，反之为不稳定。

幅稳定裕度的分贝(dB)形式及相稳定裕度通常用R和r来表示。 ⑵幅值裕度GM说明 当系统的开环增益大为原来的GM倍时，闭环系统处于临界稳定（为维持闭环稳定K所能增大的最大倍数）。 相位裕度PM说明 当系统对频率为

的信号的相角滞后再增大PM度时，闭环系统

处于临界稳定。

5-9 试简要叙述如何绘制极坐标图。

答 ⑴首先将系统的开环频率特性函数分解为下列两种标准形式：

PM>0

及

⑵确定幅相曲线的起始点与终止点和曲线的基本形状。 起始点为：

终止点为：

其中

为系统开环根轨迹增益，

和

分别为开环传递函数具有正实部的极点

和零点的个数。 对于最小相位系统：

由上可知，起始点位置与系统型号有关，终止点相角与分子和分母多项式次数的差值有关。对实际系统总有

。

⑶确定曲线是否穿越实轴和虚轴。 令穿越实轴。 令

，得到

，若

为实数，则曲线穿越虚轴，若

为复数，则曲线不

，得到

，若

为实数，则曲线穿越实轴，若

为复数，则曲线不

穿越虚轴。

⑷对于含有积分环节的系统，开环幅相特性应作相应补充：从开环幅相曲线上对应于

的点起，用虚线逆时针补画半径为

的圆弧。

5-10 如何绘制Bode图。

答 ⑴将开环传递函数按典型环节进行分解，并将转折频率从小到大的顺序排列为

。

⑵绘制起始低频渐近线，即

的左边部分。起始低频渐近线为一直线，其斜率为-20v，

，即渐近线或其延长线在

处

取决于系统积分环节的个数。并且通过点的值为

。

⑶渐近线斜率在频率

处发生改变，变化的数值决于对应的典型环节的种类。同

样，在后面的各转折频率处，渐近线斜率都相应改变。在每个相邻转折频率间，渐近线为一直线。

⑷根据误差曲线求是得各典型环节的修正量，加到渐近曲线上，并通过各修正点作光滑曲线。

5-11 什么是系统频率特性的谐振峰值统，上述指标及截止频率

？什么是带宽频率和系统带宽？对于二阶系

的关系是什么？对于高阶系

、相位裕度r与阻尼系数

统，幅值裕度和相位裕度及谐振峰值是如何确定的？ 答 ⑴系统闭环频率特性幅值的最大值称为谐振峰值 ⑵当闭环系统频率特性的输出幅值 对应的频率

称为带宽频率。频率范围

。

的0.707倍时，

下降为输入幅值 称为系统带宽。

⑶对于典型的二阶系统，闭环传递函数数为：

，相应的开环传递函

谐振峰值： 谐振频率： 带宽频率：

截止频率：

相位裕度：

典型二阶系统的幅值裕度为∞ 。

⑷对于高阶系统，工程上常用图解法近似确定幅值裕度和相位裕度，谐振峰值则由下述经验公式确定：

超调量：

调节时间：

5-12 已知单位反馈系统的开环传递函数为，当系统的输入

时，闭环系统的稳态输出为，试计算参数K和T的数

值。

分析：根据题意，应首先求出系统的闭环传递函数，然后根据频率特性的定义来求解。

解 系统的闭环传递函数为： 闭环系统频率特性为：

由系统频率特性的 定义知：

即

即

因此有：

5-13 已知单位反馈系统的开环传递函数如下所示，试绘制对数幅频特性渐近曲线：

⑴ ⑵ 。

分析：要画出系统的开环幅频特性，必须首先熟悉各典型环节的标准形式及Bode图形状，注意各典型环节转折频率的确定。

解 ⑴

转折频率为： 起始低频渐近线通过点：

时

，

，并且通过点 (0.1,60)；

变为变为

； 。

所以：①起始低频渐近线斜率为 ②当渐近线到达 ③当渐近线到达

时，斜率由时，斜率由

系统对数幅频特性曲线如图5-8所示。

⑵

转折频率为： 当

时，

所以：①起始低频渐近线斜率为 ②当渐近线到达 ③当渐近线到达

时，斜率由时，斜率由

，并且通过点 (1,-20)；

变为变为

； ；

④当渐近线到达时，斜率由变为。

系统对数幅频特性曲线如图5-9所示。

图5-8 对数幅频特性曲线

图5-9 对数幅频特性曲线

5-14 设控制系统的开环传递函数为 性的极坐标图

，并确定

，试画出开环频率特

曲线与实轴是否相交，如果相交，

试确定相交点处的频率和相应的幅值。用Nyquist稳定判据判断闭环系统的稳定性。 解 开环系统是由两个积分环节、两个惯性环节和比例环节组成的。

开环系统频率特性为：

确定起点和终点：

时

，

时

，

组成系统的环节均为最小相位环节，当 时， 的角度

从-180°单调地减小到-360°，所以幅相曲线与实轴无交点。 系统的概略极坐标图如图5-10所示。

图5-10 极坐标图 由于系统型次为大的

的圆弧。

，应补画圆弧，由 的对应点起逆时针补作半径为无穷

根据Nyquist稳定判据，位于S右半平面的开环极点数 ，由图可知P=0，N=1+2 ，则： Z=P+N=2 系统不稳定。

5-15 已知系统方块图如图5-11所示：

图 5-11 方块图

试用Nyquist稳定判据判断闭环系统的稳定性，并确定K的取值范围。

分析：首先应画出极坐标图及Nyquist图，然后用Nyquist稳定判据判断闭环系统的稳定性。画极坐标图时，频率特性函数既要写出其幅值和相角表达式，又要写出其实部和虚部表达式。

解 ⑴系统开环频率特性：

⑵当 时，

与虚轴的交点为： 令

与实轴的交点为： 令

，此时有。

⑶由此可画出

的极坐标图如图5-12所示。

，说明曲线穿越实轴，此时，

，此时有

，说明曲线不穿越虚轴。

⑷由极坐标图可进一步画出Nyquist图如图5-13所示。

图5-12 极坐标图 图5-13 Nyquist图 由于系统有一个开环极点，系统型次为时针补作半径为无穷大的

的圆弧。

，应补画圆弧，由

的对应点起逆

⑸根据Nyquist稳定判据，讨论如下： ①当k=1时，

过(-1,j0) 点，系统临界稳定；

②当k>0时， P=1,N=-1,Z=N+P=0，系统稳定； ③当K<0时， P=1,N=+1,Z=N+P=2，系统不稳定。 例5-5 设某系统的开环传递函数为：

试求当系统剪切频率

时的开环增益K值。

分析：明确剪切频率的概念及纯滞后环节的模值为1。 解 根据剪切频率的定义知：

即

因为

，所以

5-16 设某单位负反馈系统的前向通道的传递函数为 ⑴计算系统的剪切频率

及相位裕度

；

及谐振频率

。

，试：

⑵计算系统闭环幅频特性的相对谐振峰值

分析：明确系统闭环幅频特性的相对谐振峰值及阻尼比

的关系以及

和

的求取。

及谐振频率 与系统自然频率

解 ⑴系统的开环传递函数为：

开环频率特性为：

对于 有：

求解上式得：

根据相角裕度的定义，得：

⑵计算及。

系统的闭环传递函数为可得二阶系统的自然频率

及阻尼比

，将其与二阶系统的标准形式进行比较，为：

已知二阶系统的

及

与参数

及

的关系为：

由此求得：

5-17 已知最小相位开环系统的渐近对数幅频特性曲线如图5-14所示，试： ⑴求取系统的开环传递函数； ⑵利用稳定裕度判断系统稳定性；

⑶如果要求系统具有 的稳定裕度，试确定开环放大倍数应改变的倍数。

图5-14 对数幅频特性曲线

分析：系统一定是最小相位系统，否则，不能越位根据对数幅频特性曲线确定系统的开环传递函数。

解 ⑴系统开环传递函数的基本形式为：

由于开环频率特性起始低频渐近线通过(0.1,40) 点，则：

所以：

⑵开环对数幅频特性为：

系统开环对数相频特性为：

令

求解截止频率

，只有

在其所属频率范围

内，

所以：

故系统临界稳定。

⑶由于： 若要求

，即

，解得，设

。

则应

若要求系统的相稳定裕度为为截止频率。

则系统开环对数幅频特性为：

为开环放大倍数需改变的倍数，

属于 的频率范围，所以有：

5-18 某控制系统的方块图如图5-15及Bode图如图5-16所示。图5-16中给出有无纯滞后两种情况下的两条相频特性，系统的幅穿频率为

。试求：

⑴有纯滞后和无纯滞后两种情况下的相稳定裕度； ⑵若系统有纯滞后时，保证相稳定裕度为40°，开环放大倍数应改变的倍数？

，开环放大倍数为

图5-15 方块图 解 ⑴由图可知：

⑵由图5-16可知，若系统有纯滞后时，保证相稳定裕度为40° ，则幅穿频率应为

，设开环放大倍数应增大

倍，则系统的幅频特性为：

显然， 即：

在范围内，所以

图5-16 Bode图

5-19 设反馈系统开环幅相曲线如图5-17所示，开环增益K=500，S右半平面的开环极点数P=0，试确定使闭环系统稳定的K值范围。

图5-17 开环幅相曲线

分析：根据系统的幅相曲线，应首先确定系统的型次。另外注意：无论K如何变化，过-180°的临界频率

不会变化。即当K改变时，系统穿越频率

不变，

仅是幅相曲线与负实轴的交点沿负实轴移动。

解 设：

，

由图5-17可知，幅相曲线与负实轴的交点对应的临界频率分别为因此有：

当K=500时

其中

。当K变化时，系统的临界频率不会变，仅是幅相曲线与负实轴的

时幅相曲线与负实轴的交点分别位于(-1,J0)点，即：

交点沿负实轴移动，设K分别为

和

求解：

当K变化时，奈氏曲线的四种形式如图5-18(a)、(b)、(c) 、(d)所示： 由于系统

，故从

的起点，逆时针补作半径为无穷大的

的圆弧。

根据奈氏判据可判定系统的闭环稳定性。

①当010000JF，P=0,N=2,Z=2，系统不稳定。

综上述分析，当0

图5-18 K变化时的系统奈奎斯特图

5-20 设单位反馈系统的结构图如图5-19所示，试用奈奎斯特图来确定使系统稳定时K的临界值。

图5-19 结构图 分析：因为有延迟环节

，所以当

从0->∞变化时，幅角也会从0->∞变化，所

以奈氏曲线必为螺旋线，因为开环极点在S右半平面的个数P=0，所以只要N=0，则Z=0，系统就稳定。 解

所以奈氏图如图5-20所示。

图5-20 Nyquist图

若A点在(-1,j0)点的右边，则奈氏图不包围(-1,j0)点，则N=0，所以系统稳定，反之，系统不稳定。 因为：

令 解方程，求 将 令

，即： 的最小正值，可得：代入

可得：

得：K=2.65

所以当K<2.65时，系统稳定。

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