2.2.3直线与平面平行的性质定理

直线与平面平行的性质定理

复习1. 直线和平面有哪几种位置关系？有什么特征

平行、相交、在平面内 2. 直线和平面平行的判定定理 如果平面外的一条直线和平面内的一条 直线平行，那么这条直线和这个平面平行.a b a // a // b a

b

思考(1)如果一条直线和一个平面平行，那么 这条直线和这个平面内的直线有怎样的位置 关系？

平行或异面(即不相交)a b

a b α

α

(2)已知直线a∥平面α,如何在平面α内找 出和直线a 平行的一条直线？

思考 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，直 线A1B1//面CDD1C1. 由长方体性质，我们知道A1B1 // C1D1. D1

C1

A1 D AE

B1F

另一方面，我们发现 A1B1 // 面CDD1C 1 A1B1 面A1B1C 1 D1 C1D1 =面CDD1C 1 面A1B1C 1 D1C

B

猜想:过A1B1的平面A1B1FE与面CDD1C1交于直线EF, 则A1B1 / /EF?

直线与平面平行的性质定理如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和 这个平面相交，那么这条直线与交线平行.

(1)该定理中有三 个条件： 缺一不可！!!

a //

β a a // b b α

a b

(2)该定理作用：“线面平行 线线平行” 线面平行性质定理也是找平行线的重要依据.

(3)应用该定理，关键是经过直线找平面或 作出平面与已知平面相交，并找出两平面的 交线.

例4、 已知平面外的两条平行直线中的一条平行 于这个平面,求证另一条也平行于这个平面.已知a // , a // b, b , 求证 : b // .证明:过直线a作平面 ,使得 a // a

c.

a // c b // c c b b // a // b c

a c

b

例 如图所示的一块木料中，棱BC//平面A'B'C'D', (1) 要经过面A'B'C'D'内的一点P和棱BC将木料锯开， 应该怎样画线？ (2) 所画的线和平面ABCD是什么位置关系？解：(1) 在平面A'C'内，过点P作直线EF,使EF ∥ B'C',并分别 交棱A'B',C'D'于点E,F. 连接BE,CF. D' 则EF,BE,CF就是应画的线.(2)因为棱BC平行于平面A'C' , 平面BC'与平面A'C'交于B'C', A' 所以，BC ∥ B'C'. 由(1)知，EF ∥ B'C' , 所以EF ∥ BC,因此EF ∥ BC, A EF不在平面AC,BC在平面AC上， 从而EF ∥平面AC.BE,CF显然都 与面AC相交.F

C' C

P DE

B' B

画出图(要画的线画完整)、叙述清楚规范、证明

练习 1.已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外 一点，M是PC的中点，在DM上取一点G,画出 过G和AP的平面.P MG

D H AO

C

B

2、空间四边形ABCD被一平面所截，E、F、G、H分别

在AC、CB、BD、DA上，截面EFGH是矩形.(1) 求证: CD // 平面EFGH; (2) 求异面直线AB、CD 所成的角.AH E D B F C G

1. 判断下列命题是否正确

? (1) 若直线l 平行于平面α内的无数条直 线，则l∥α.

(×)α

ll 或l∥

(2) 设a、b为直线,α为平面,若a∥b,且 b在α 内，则a∥α .a

(×)

α

b

(3)若直线l∥平面α,则l与平面α内的 任意直线都不相交. (√)(4) 设a、b为异面直线，过直线a且与 直线b平行的平面有且只有一个.b

(√)

a

练习：1、 如果一条直线和一个平面平行,则这条直线( D )

A 只和这个平面内一条直线平行；B 只和这个平面内两条相交直线不相交； C 和这个平面内的任意直线都平行； D 和这个平面内的任意直线都不相交。

2、直线a//平面α,平面α内有n条互相平行的直 线，那么这n条直线和直线a( ) C (A)全平行 (B)全异面 (C)全平行或全异面 (D)不全平行或不全异面

3、直线a//平面α,平面α内有n条交于一点的直 线，那么这n条直线和直线a 平行的 ( B ) (A)至少有一条 (B)至多有一条 (C)有且只有一条 (D)不可能有

4、过直线 l 外两点,作与 l 平行的平面,这样的平面 ( )

A. 能作无数个; B. 只能作一个; C. 不能作出; D. 上述情况都有可能.

4. 如图所示, P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M、N 分别为AB、PC 的中点，平面PAD 平面PBC =L 求证： (1)BC // L (2)MN //平面PADEL

P

N

D C

A

M

B

5. 如图，ABCD与ABEF是两个全等正方形，AM=NF, 求证：MN // 平面BCED

C

M

A N

B

F

E P

小结线面平行 线面平行的判定定理：线线平行 如果不在一个平面内的一条直线和平面 内的一条直线平行,那么这条直线和这 个平面平行.

线面平行的性质定理： 线面平行

线线平行

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.

作业：P62 5,6 选做题： 求证：如果一条直线和两个相交平面平行， 那么该直线与相交平面的交线平行. (先转化为符号语言，写出已知求证， 并画出图形，然后严谨的证明过程证明)

要求：叙述准确、条件充分、步骤完整！

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