初二数学提高题

综合题

1．如图（1），直角梯形OABC中，∠A= 90°，AB∥CO, 且AB=2，OA=23，∠BCO= 60°。 （1）求证：?OBC为等边三角形；

（2）如图（2），OH⊥BC于点H，动点P从点H出发，沿线段HO向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段OA

向点A运动，两点同时出发，速度都为1/秒。设点P运动的时间为t秒，ΔOPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出t的取值范围； （3）设PQ与OB交于点M，当OM=PM时，求t的值。

解：1)根据勾股定理，AB=2，OA=23，则BO=4=2AB，所以△ABO是一个30°60°90°的三角形。 ∵AB//CO，∠A=90°∴∠AOC=180°-90°=90° ∵∠AOB=30°，∴∠BOC=90°-30°=60°=∠C ∴△OBC为等边三角形

2)∵点P运动的时间为t秒，∴OQ=PH=t ∵OH⊥BC，∴∠CHO=90°，

60?ABABABQMPCo图(2)

HH60?60?o图(1)

CoC（备用图）

3∴∠COH=30°，OH=( /2)BC=2 3∴∠QOP=60°，OP=2 -t 333∴S=1/2t(2 -t)× /2=3/2t- /4t2，且(0

3得到方程：2 -t=2t，解得t=(2/3)3

2. 如图，正比例函数图像直线l经过点A（3，5），点B在x轴的正半轴上，且∠ABO＝45°。AH⊥OB，垂足为点H。

OHBxylA （1）求直线l所对应的正比例函数解析式；

1

（2）求线段AH和OB的长度；

（3）如果点P是线段OB上一点，设OP＝x，△APB的面积为S，写出S与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。

解：1)设y=kx为正比例解析式，当x=3,y=5时，3k=5,k=5/3 2)AH即A的纵坐标，∴AH=5

∵AH⊥BH，∠ABH=45°，∴∠HAB=∠ABH=45°，∴AH=BH=5 OH即A的横坐标，∴OH=3 ∵OB=OH+BH，∴OB=5+3=8 3)∵OB=8，OP=x，∴BP=8-x

∴S△ABP=1/2BP×AH=1/2(8-x)×5=20-(5/2)x x的取值范围是0≤x＜8

3．（本题满分12分，第1题4分，第2题6分，第3题2分）

已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB上一点，AE⊥AB，且AE＝BD，DE与AC相交于点F。 （1）若点D是AB的中点（如图1），那么△CDE是 等腰直角三角形 三角形，并证明你的结论；

（2）若点D不是AB的中点（如图2），那么（1）中的结论是否仍然成立，如果一定成立，请加以说明，如

果不一定成立，请说明理由；

（3）若AD＝AC，那么△AEF是 等腰 三角形。（不需证明）

解：1)△CDE是等腰直角三角形

2）成立，在△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=∠B=45° ∵AE⊥AB，∴∠EAB=90°，∴∠EAC=90°-45°=45°=∠B 在△ACE与△BCD中，

∵AE=BD，∠EAC=∠B，AC=BC，∴△ACE≌△BCD ∴CE=CD，∠ACE=∠BCD

2

C图1BC图2BEDFAAEFD∵∠ACD+∠BCD=90°，∴∠ACD+∠ACE=90°，即∠DCE=90° ∴△CDE是等腰直角三角形

4．如图，直线l经过原点和点A(3,6)，点B坐标为(4,0) （1）求直线l所对应的函数解析式； （2）若P为射线OA上的一点，

①设P点横坐标为x，△OPB的面积为S，写出S关于x 的函数解析式，指出自变量x的取值范围． ②当△POB是直角三角形时，求P点坐标． 解：1)设y=kx为直线l的解析式

当x=3,y=6时，6=3k，k=2，∴y=2x是直线l的解析式 2)①P在射线OA上，设P横坐标为x，纵坐标为2x S=1/2×OB×2x=4x，∴S=4x是解析式，x的取值范围x＞0 ②在Rt△P?OB中，P的坐标(4，8) 在Rt△P?OB中，P的坐标(4/5，8/5)

5、如图，在等腰Rt△ABC的斜边AB上取两点M、N，使∠MCN=45°，设AM=m，MN=x，BN=n那么： （1）以x、m、n为边长的三角形是什么三角形？（请证明） （2）如果该三角形中有一个内角为60°，求AM:AB。 解：1)以x、m、n为边长的三角形是直角三角形

作△ACM≌△BCD，∴∠ACM=∠BCD，CM=CD，∠MCN=∠NCD=45° 在△MNC与△DNC中

∵CM=CD，∠MCN=∠DCN，CN=CN，∴△MNC≌△DNC ∴MN=DN=n，AM=BD=m

∵∠A=∠CBA=∠CBD=45°，∴∠DBN=45°+45°=90° ∴△DBN(以x、m、n为边长的三角形)是个直角三角形

6．已知：如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝1，P是AB边上

BQPAR3 C不与A点、B点重合的任意一个动点，PQ⊥BC于点Q，QR⊥AC于点R。 （1）求证：PQ＝BQ；

（2）设BP＝x，CR＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）当x为何值时，PR//BC。

解：1)∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠B=∠C=45° ∵PQ⊥BC，∴∠PQB=90°，∴∠B=∠BPQ=45°，∴BQ=PQ 2)∵BP=x，BQ=PQ，PQ⊥BQ，∴勾股定理BQ=PQ=（1/2） x

∵∠A＝90°，AB＝AC＝1，∴勾股定理CB= ，∴CQ= -(1/2) x ∵QR⊥AC，∴勾股定理得y=1-0.5x，且x的取值范围0

∴得到方程x/2=1-x，解得，x=2/3 ∴当x为2/3的时候，PR//BC

7．在直角三角形ABC中，∠C＝90，已知AC＝6cm，BC＝8cm。 （1）求AB边上中线CM的长；

（2） 点P是线段CM上一动点（点P与点C、点M不重合），求出△APB的面积y（平方厘米）与CP的长x（厘米）之间的函数关系式并求出函数的定义域

○

（3）是否存在这样的点P，使得△ABP的面积是凹四边形ACBP面积的

2，如果存在请求出CP的长，如果3不存在，请说明理由。

解：1)∵∠C＝90，AC＝6cm，BC＝8cm，∴AB=10cm，∴CM=1/2AB=5cm 2)作CD⊥AB，PE⊥AB

∵S△ABC=(1/2)AB×CD,S△ABP=(1/2)AB×PE， ∴S△ABC/S△ABP=CD/PE

∵S△ABC=1/2×6×8=24，AB=10，∴CD=48/5

∵PM=5-x，∴S△PMB/S△ABC=PD/CE=(5-x)/5，∴y/24=(5-x)/5，y=(24/5)(5-x)是解析式，其中x的定义域0

4

○

∴当x=5/2时△ABP的面积是凹四边形ACBP面积的2/3。

8、如图，在长方形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，

点Q从点C向点D运动，且保持AP=CQ。设AP=x，BE=y

（1）线段PQ的垂直平分线与BC边相交，设交点为E求y与x的函数关系式及x取值范围；

（2）在（1）的条件是否存在x的值，使△PQE为直角三角形?若存在，请求出x的值，若不存在请说明理由。 解：连接PF、QF， ∵EF垂直平分PQ，∴PF=QF

∵∠A=∠D=90°，∴AP2+AF2=DF2+DQ2

即x2+(6-y)2=y2+(8-x)2,∴3y=4x-7,y=(4x-7)/3 其中x的定义域0

9．在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过点B作∠CBE=∠A，BE与射线CA相交于点E，与射线CD相交于点F．

（1）如图, 当点E在线段CA上时, 求证：BE⊥CD；

（2）若BE=CD，那么线段AC与BC之间具有怎样的数量关系？并证明你所得到的结论； （3）若△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．

解：1)∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴AD=BD=CD，∴∠CBA=∠DCB，∠A=∠DCA ∵∠CBE=∠A，∴∠CBE+∠EBA=∠A+∠EBA，即：∠CBA=∠BEC，∴∠DCB=∠BEC ∵∠CBE+∠BEC=90°，∴∠CBE+∠DCB=90°，∴∠BFC=90°，即CD⊥BE 2)∵BE=CD，∴BE=AD=BD=CD，∴AB=2BE

∵∠CBE=∠A，，∠BCE=∠ACB∴△BCE∽△ACB，∴BC：CA=1：2，∴AC=2BC 3）∵△BDF是等腰三角形，∠BFD=90°，∴∠BDF=45° ①当点E在线段CA上时，∠A=1/2∠BDF=22.5°

②当点E在线段CA延长线上时，∠BAC=(180°-∠CDA)/2=67.5°

10．已知：如图，正比例函数

的图象与反比例函数的图象交于点

5

（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；

（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？ （3）

是反比例函数图象上的一动点，其中 轴，交

线

于点

轴于点

；过点

作直线

过点

轴交轴于点

与作直线，交直

的

．当四边形的面积为6时，请判断线段

大小关系，并说明理由．

解：1)∵A在两个函数图象上，∴2=3k,k=2/3，即正比例函数y=2x/3 ∴2=k/3,k=6，即反比例函数y=6/x

2)当0

S四边形OADM=S梯形OADB-S△OMB=[（n-2)+n]×(3/2)-(mn/2)=3n-3-3=3n-6=6 ∴n=4，∴m=6/4=3/2，即M(3/2,4) ∵A(3,2)，∴OC=BD=3，∴BM=DM

11．已知：如图，在⊿ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6，点D在边BC上，AD平分∠CAB，E为AC上的一个

动点（不与A、C重合），EF⊥AB，垂足为F． （1）求证：AD=DB；

（2）设CE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式； （3）当∠DEF=90°时，求BF的长. 解：1）∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠A=60°, ∵AD平分∠CAB，∴∠BAD=30°=∠B，∴AD=DB

2）∵BF=y=AB-AF=12-AF，∵EF⊥AB,∠A=60°，∴∠AEF=30° ∴AF=1/2AE=1/2(AC-CE)=1/2(6-X)，∴y=12-1/2(6-X)=9+1/2x ∴y=9+1/2x为解析式

3)∵∠DEF=90°,∴∠EDA=∠BAD=∠EAD=30°，∴∠EDC=30°∴AE=ED=2EC， ∵AE+EC=AC=6，∴EC=2

当EC=x=2时，y=9+1/2×2=10，即BF=10

ECD第26题图BAF 6

12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D是边AC上不与点A、C重合的任意一点，DE⊥AB，

垂足为点E，M是BD的中点. （1）求证：CM=EM；

（2）如果BC=3，设AD=x，CM=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）当点D在线段AC上移动时，∠MCE的大小是否发生变化？如果不变，求出∠MCE的大小；如果发生变化，说明如何变化.

解：1）∵∠ACB=90°，DE⊥AB，∵M是BD的中点，∴CM=1/2BD=EM 2）∵CM=y，∴BM=DM=EM=y

∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC， ∵BC=3，∴AB=23，∴AC=3，∴CD=3-x

∴(3-x)2+3=4y2，y=1/2 ,其中x的定义域是0

∵∠ACB=90° ，∠A=30°，∴∠ABC=60°

∵∠ABC=∠MBC+∠MBE=60°，∵∠MBC+∠MCB=∠CMD，∠MBE+∠MEB=∠EMD ∴∠CME=∠CMD+∠EMD=2∠ABC=120°， ∵CM=EM，

∴∠MCE=∠MEC=30°。 ∴∠MCE大小不变

13、如图，已知长方形纸片ABCD的边AB=2，BC=3，点M是边CD上的一个动点（不与点C重合），把这张长方

形纸片折叠，使点B落在M上，折痕交边AD与点E，交边BC于点F． （1）、写出图中全等三角形；

（2）、设CM=x，AE=y，求y与x之间的函数解析式，写出定义域；

（3）、试判断?BEM能否可能等于90度？如可能，请求出此时CM的长；如不能，请说明理由．

AEDBMCD第26题图

EA解：1)△BEF≌△MEF，根据翻折得到。 △ABE≌△DEM，AAS

2)∵△BEF≌△MEF，∴BE=ME，∴BE2=ME2 ∵∠A=∠D=90°∴AE2+AB2=DM2+DE2

7

MBFC∵AB=CD=2，AD=3，CM=x，AE=y

∴代入得y2+4=(2-x)2+(3-y)2，解得y=(x2-4x+9)/6 其中x的定义域0

3)∵∠BEM=90°∴∠AEB=180°-90°-∠DEM=∠DME∴∠ABE=∠DME

在△ABE与△DEM中，∵∠ABE=∠DME，∠A=∠D，BE=ME，∴△ABE≌△DME ∴AE=DM，AB=DE，∴2=3-y，y=1，∴当y=1时，1=2-x，x=1 ∴CM=1时∠BEM为90°

14、已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC的垂直平分线DE分别交BC、

AC于点D、E，BE和AD相交于点F，设∠AFB＝y, ∠C＝x （1）求证：∠CBE＝∠CAD； （2）求y关于x的函数关系式； （3）写出函数的定义域。

解：1)∵∠BAC=90°，AD是BC上中线，∴AD=BD=CD，∴∠C=∠CAD ∵DE是BC的垂直平分线，∴BE=CE，∴∠C=∠CBE，∴∠CAD=∠CBE

2)∵∠AFB=∠CBE+∠ADB=∠CBE+∠C+∠CAD，∵∠AFB＝y, ∠C＝∠CAD=∠CBE=x，∴y=3x 3)0

15、已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝6，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上（点E、F与△ABC顶点不重合），AD平分∠CAB，EF⊥AD，垂足为H． （1）求证：AE＝AF：

（2）设CE＝x，BF＝y，求x与y之间的函数解析式，并写出定义域；

（3）当△DEF是直角三角形时，求出BF的长． 解：1)在△AEH与△AFH中 ∵AD平分∠CAB，EF⊥AD，∵AH=AH ∴△AEH≌△AFH ∴AE=AF

2)∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6∴AB=12

AFCBDE 8

∵CE=x，BF=y∴AE=AC-CE=6-x，AF=AB-BF=12-y ∵AE=AF，∴6-x=12-y，y=x+6

∴y=x+6为解析式，其中0＜x＜6为x的定义域

3)在△AED与△AFD中，∵AE=AF ，∵AD平分∠CAB，AD=AD ∴△AED≌△AFD，∴∠AED=∠AFD∴∠CED=∠DFB ∵EF⊥AD，∴∠EDF=90°∴∠CDE+∠BDF=90° ∵∠C=90°，∴∠CDE+∠CED=90°，∴∠BDF=∠CED ∵∠CED=∠DFB，∴∠BDF=∠DFB，∴BF=BD

∵∠C=90°,AC=6,∠CAD=∠BAD=1/2∠CAB=30°∴CD=23

9

∵∠BAD=∠B=30°∴BD=AD=2CD=43∴BF=BD=43 ∴当△DEF是直角三角形时，BF的长为43

16．已知?ABC中，AC =BC, ?C=120,点D为AB边的中点，?EDF?60,DE、DF分别交AC、BC于E、F点．

（1）如图1，若EF∥AB．求证：DE=DF ．

（2）如图2，若EF与AB不平行． 则问题（1）的结论是否成立？说明理由． 解：1)∵EF//AB，∴∠FEC=∠A=30° ∵∠EFC=∠B=30°，∴EC=CF，∴∠A=∠B ∵AC=BC，∴AE=BF ∵D是AB中点，∴DB=AD

在△ADE与△BDF中，∵∠A=∠B，AE=BF，AD=BD，∴△ADE≌△BDF ∴DE=DF

2)过D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N ∵AB=AC，∠C=120°，∴∠A=∠B=30°，

∴∠ADM=∠BDN=60°，∴∠MDN=180°-∠ADM-∠BDN=60° ∵AC＝BC、AD＝BD，∴∠ACD＝∠BCD，∴DM＝DN。

∴∠EDM＝∠MDN－∠EDN＝60°－∠EDN＝∠EDF－∠EDN＝∠FDN，∴∠EDM＝∠FDN 在△DEM与△DFN中，∵∠DME＝∠DNF＝90°，DM＝DN，∠EDM＝∠FDN，∴△DEM≌△DFN， ∴DE＝DF，1)中结论仍然成立

17．如图（第27题图1）,已知?ABC中, BC=3, AC=4, AB=5,直线MD是AB的垂直平分线，分别交AB、AC于

??M 、D点.

（1）求线段DC的长度；

（2）如图（第27题图2），联接CM，作?ACB的平分线交DM于N .

求证:CM＝MN

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解：1)连接BD，设DC为x

∵DM是AB的垂直平分线,∴AM=MD=2.5 ∴得到方程(4-x)^2-2.5^2+2.5^2=3^2+x^2， 解得x=7/8，即CD长7/8

2)∵CM为AB边中线，∠ACB=90°∴MC=MB ∵CN平分∠ACB，∴∠ACM=∠BCM=45°

∴∠CDM=180°-(45°-∠1+∠1+∠2)，∴∠B=45°+∠1

∵BCDM是四边形，∠DMB=∠ACB=90°，∴∠MDC+∠B=180°，即135°-∠2+45°+∠1=180°∴∠1=∠2 ∴CM=MN

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解：1)连接BD，设DC为x

∵DM是AB的垂直平分线,∴AM=MD=2.5 ∴得到方程(4-x)^2-2.5^2+2.5^2=3^2+x^2， 解得x=7/8，即CD长7/8

2)∵CM为AB边中线，∠ACB=90°∴MC=MB ∵CN平分∠ACB，∴∠ACM=∠BCM=45°

∴∠CDM=180°-(45°-∠1+∠1+∠2)，∴∠B=45°+∠1

∵BCDM是四边形，∠DMB=∠ACB=90°，∴∠MDC+∠B=180°，即135°-∠2+45°+∠1=180°∴∠1=∠2 ∴CM=MN

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