2015年邵阳市二中数学自主招生考试试题

2015年邵阳市二中数学招生考试试题

一、选择题（共30分）

1、关于-(-a)2的相反数，有下列说法：1）等于a2; 2)等于（-a）2；3）值可能为0；4）值一定是正数。其中正确的有（ ）

A、1个； B、2个； C、3个； D、4个

2、如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为81，则第2015次输出的结果为（ ）

A、3； B、27； C、9； D、1

3、今年学校举行足球联赛，共赛17轮（即每队均需

参赛17场），记分办法：胜1场得3分，平1场得1

分，负1场得0分，在这次足球比赛中，小虎足球队

得16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足

球队所负场数的情况有（ ）

A、2种； B、3种 C、4种； D、5种

4、某班有50名学生，在一次考试中，统计出平均分

为70分，方差为75，后来发现有2名同学分数登错了，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后的平均分和方差分别为（ ）

A、 70，25； B、70，51 C、65，51 D、65，75

5、如图，是A、B、C反比例函数y k(k 0)图象上的三点，作x

直线l，使A、B、C到直线l的距离之比为3：1：1，则满足条件的

直线l共有（ ）

A、4条； B、3条 C、2条； D、1条

6、如图△ABC，已知，以B为圆心、AB长为半径画弧，交BC于D点，

以C为圆心、AC长为半径画弧，交BC于E点。若∠B=400，∠C=360，

则关于AD、AE、BE、CD的大小关系，下列正确的是（ ）

A、AD=AE； B、AD<AE C、BE=CD； D、BE<CD

7、如图，在⊙O中，AB=2CD，那么（ ）

A、⌒⌒AB=2CD

⌒⌒； B、AB < CD ⌒⌒⌒⌒C、AB =2 CD ； D、AB 与CD 大小关系无法比较

8、如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为（5，0），对

角线OB=4，若反比例函数y k（k≠0，x>0）经过点C，则kx

的值等于（ ）

A、12； B、8 C、15； D、9

9、如图，抛物线y ax bx c与x轴交于点A（-1，0），顶点

坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2），

（0，3）之间（包含端点），则下列结论：1）当x>3时，y<0；2）3a+b>0；

3）-1≤a≤ 22；4)3≤n≤4 .其中，正确的是（ ） 3

A、1)，2）； B、3），4） C、1），4）； D、1），3）

10、如图，在坐标系中入置一菱形OABC，已知∠ABC=600，OA=1，

先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转600，连

续翻转2015次，点的落点依次为B1,B2,B3……，则B2014的坐标

为（ ）

A、(1340.5，0)； B、（1340，0）

C、（1342.5，0）； D、（1344，0）

二、填空题（共24分）

11、已知大小、形状都相同的四个小球上分别标有1，2，3，4四个号码，从中任取两个小球，则这两个小球中的最大号码的概率为 ；

12、已知，2 223344=2，3 =3,4 =4…，类比这些等式，若33881515

6 aa=6（a,b均为正整数），则bb

13、如图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600 米，E为弧CD上一点，且OE⊥CD,垂足为F，OF=300米，则这段弯路的长度约为（圆周率取3.14）

14、我们知道|x-2|与|x-1|的几何意义分别是点x到点2、1的距

离，则关于x的不等式|x-2|+|x-1|≥2中的x取值范围是

15、如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=600，将△ABC沿射线

BC的方向平移，得到△A´B´C´,再将△A´B´C´绕点A´逆时针旋转

一定角度后，点B´恰好与点C重合，则平移的距离为 ，旋转角的度数为 。

16、如图，点A、B、C分别是半圆M与坐标轴的交点，AB为半圆直径，半圆圆心M（1，0），半径为2，直线l：y

相切于点C

x 23，则将直线向下平移个长度单位后将与半圆M3

17、如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1 x2(x≥0)与

x2

y2 (x≥0)的图象于B、C两点，过点C作y轴的平行线交的图3

象于点D，直线RE//AC，交y2的图象于点E，则

18、给出下列四个命题：

①若a>b，c>d，则DE ABab cd

②若a、b是ab<0满足的实数，则|a+b|<|a-b|

③若a>b，则ab 1 a1 b

a2 b2

1 ab ④若a>0,b>0,a≠b,a+b=2,则2

其中正确的命题序号是 （填上所有正确命题的序号）

三、解答题（共24分）

（）+|-4cos600| 19、（8分）计算：（-1）2015×

20、（8分）先化简分式 12 3 x 3(x 2) 2xx 3x÷，再从不等式组的解集 2 x 1x 1 x 1 4x 2 5x 1中取一个合适的值代入并求解。

21、（8分）如图，△ABC在中，AB=AC，D为△ABC外接圆的弧AC上的点（不与点A、C重合），延长BD至点B，延长AD交BC的延长线于点F

（1）、∠CDF=∠EDF

（2）、AB×AC=AD×AF

四、应用题（共24分）

22、（8分）某校八年级为了了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某一天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数之比为5：2，请结合图中相关数据回答下列问题：

（1）求出所抽取的学生人数，并补全直方图；

（2）该年级共有学生500人，请估计全年级在这一天里发言次数不少于12的人。

（3）已知A组发言的学生中恰有1位女生，E组发言的学生中有2位男生，现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率。

2012年投资建成了一个拥有180个车位的地下停车场，所有车位都用于出租，租期一年，没租出的每个车位每年公司需支出费用（维护费、管理费）400元，2013年，公司将每个车位的租金定为一年6000元，所有车位全部租出：

（

1）2014年，公司将每个车位的租金提高至一年6800元，请问该公司至少需要租出多少个车位才能使得其收益不低于2013年？

（2）由于购车人数不断增加，人们对车位的需求越来越大，公司决定于2015年继续提高租金，经调查发现，在2013年的基础上，每提高100元的租金，租车的车位将减少3个，为了获得103.8万元的收益，公司需要将租金定为一年多少元？

24、（8分）如图，在海面上生成了一股强台风，台风中心（记为点M）们于滨海市（记作点A）的南偏西150，距离为612千米，且位于临海市（记作点B）正西方向60千米处。台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东600的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次台风的侵袭。

（1）滨海市、临海市是否受到此次台风的侵袭？请说明理由。

（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少时间？

五、综合题（ 共18分）

25、（10分）如图，在坐标系xoy中，已知D（-5，4），B（-3，0），过D点作DA，DC分别垂直于x轴、y轴，垂足为A、C两点，动点从O点出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒。

（1）当t为何值时，PC//DB

（2当t为何值时，PC⊥BC

（3）以点P为圆心，PO的长为半径⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与△BCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值。

26、（8分）如图1，抛物线y ax2 bx c(a 0)的顶点为M，直线y=a与x轴平行，且与抛物线交于点A、B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A、B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高。

（1）抛物线y 12x对应的碟高为 2

抛物线y=4x2对应的碟宽为 。

抛物线y=ax2(a>0)对应的碟宽为

抛物线y a(x 2) 3(a 0)对应的碟宽为

（2）若抛物线y ax 4ax

x轴上，求a的值。

225(a 0)对应的碟宽为6，且在3

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