简谐振动的研究,实验报告
更新时间:2024-01-10 22:35:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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实验5-2 简谐振动的研究
自然界中存在着各种各样的振动现象,其中最简单的振动是简谐振动。一切复杂的振动都可以看作是由多个简谐振动合成的,因此简谐振动是最基本最重要的振动形式。本实验将对弹簧振子的简谐振动规律和有效质量作初步研究。
【实验目的】
1.观察简谐振动现象,测定简谐振动的周期。 2.测定弹簧的劲度系数和有效质量。 3.测量简谐振动的能量,验证机械能守恒。 【实验器材】
气轨、滑块、天平、MUJ-5B型计时计数测速仪、平板档光片1个,“凹”形挡光片1个、完全相同的弹簧2个、等质量骑码10个。 【实验原理】
1. 振子的简谐振动
本实验中所用的弹簧振子是这样的:两个劲度系数同为k1的弹簧,系住一个装有平板档光片的质量为m的滑块,弹簧的另外两端固定。系统在光滑水平的气轨上作振动,如图5-2-1所示。
图5-2-1 弹簧振子 当m处于平衡位置时,每个弹簧的伸长量为x0,如果忽略阻尼和弹簧的自身质量,当m距平衡位置x时,m只受弹性回复力-k1(x+x0)和-k1(x-x0)的作用,根据牛顿第二定律得
?k1(x?x0)?k1(x?x0)?mdxdt22
令 k?2k1 (5-2-1) 则有 ?kx?m该方程的解为
x?Acos(?t??0) (5-2-2)
dxdt22
即物体系作简谐振动。其中
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??是振动系统的固有圆频率。
km (5-2-3)
由于弹簧总是有一定质量的,在深入研究弹簧振子的简谐振动时,必须考虑弹簧自身的质量。由于弹簧各部分的振动情况不同,因此不能简单地把弹簧自身的质量附加在振子(滑块)的质量上。可以证明,一个质量为ms的弹簧与质量为m的振子组成的振动系统,其振动规律与振子质量为(m+m0)的理想弹簧振子的振动规律相同。其振动周期为 T?2?m?m0k (5-2-4)
其中m0?cms,称为弹簧的有效质量,c为一常数。对绕制均匀圆筒状的弹簧,c的理论值为1/3,即弹簧的自身质量是其有效质量的3倍。在本实验中,k?2k1,m0?2m01,
ms?2ms1。m01和ms1分别为一个弹簧的有效质量和一个弹簧的自身质量。
本实验通过改变滑块(振子)质量m测出相应的振动周期T,求出k和m0 ,从而求得一个弹簧的劲度系数k1和有效质量m01。
2.简谐振动的运动学特征
把式(5-2-2)两端对时间求一阶导数,有 v?dxdt???Asin(?t??0) (5-2-5)
由式(5-2-2)和(5-2-5)式消去t ,有
v??(A?x) (5-2-6) 由上式可见,当x?0时,v的数值最大,即
vmax??A (5-2-7) 利用式(5-2-3)、式(5-2-4)和式(5-2-7)可求出k k?(m?m0)3.振动的能量
本实验中,任何时刻系统的振动动能为 Ek?12(m?m0)v (5-2-9)
22222vmA2ax2 (5-2-8)
系统的弹性势能为两个弹簧的弹性势能之和(以平衡位置处为零势能点),即
(x?0x)? Ep??k12?2?121?12?kx?10??2??(k1?x12)x?0221?k?0x??2112kx? kx5-2-10)( 2由式(5-2-3)、(5-2-9)及(5-2-10)得系统的总机械能 E?Ek?Ep?12(m?m0)v?212kx?212kA (5-2-11)
2其中k、A均不随时间变化,说明简谐振动的机械能守恒。本实验通过测定在不同位置x处滑块的运动速度v,从而求得Ek及Ep,观测它们之间的相互转换并验证机械能守恒。
【实验内容】
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一、测量弹簧的劲度系数和有效质量。 1.准备工作
(1)用酒精棉球擦拭气轨表面(在供气时)以及滑块内表面,用薄的小纸条检查气孔是否有堵塞。
(2)记下不带挡光片的滑块的净质量(由实验室给出),并用天平称量平板挡光片以及两个弹簧的质量。将平板挡光片固定在滑块上,其总质量即为滑块质量m,两根弹簧质量的一半即为ms1。
(3)将滑块放在气轨中央,静态调节气轨水平(参阅实验5-1),打开气源,挂接上两个弹簧。
2.测定弹簧振子的振动周期
(1)将MUJ-5B型计时计数测速仪的“功能”选为“T周期”( MUJ-5B型计时计数测速仪的使用参阅实验5-1)。
(2)使滑块离开平衡位置一定距离(10cm左右)自由释放,待振动稳定时,测出它振动20个周期所需的时间t,重复5次,求出振动周期的平均值T。
(3)在滑块上加2个骑码,即使滑块的质量增加10.00g ,按照上述方法测量其振动周期。然后依次增加2个骑码,共加5次,测出各次的振动周期,填入表5-2-1。
二、测量简谐振动的能量,验证机械能守恒。
1.称量“凹”形挡光片的质量,将“凹”形挡光片固定在滑块上,其总质量即为滑块质量m。
2.按MUJ-5B计时计数测速仪的“转换”键输入“凹”形挡光片两前沿之间的距离?x。 3.令弹簧振子的振幅A?10.00cm,当滑块位于极大位置处(即x?10.00cm)时,速度为零,弹簧振子的总能量E0?12kA。
24.将光电门放在平衡位置处,测出滑块通过平衡位置(即x?0.00cm)时的速度vmax,反复测量5次,将测量数据填入表5-2-2中。
5.将光电门移至x?2.50cm处,保持弹簧振子的振幅不变,测出滑块通过该处的速度,测量5次。用同样的办法测出滑块通过x?5.00cm和7.50cm时的速度。将测量数据填入表5-2-2中。 【数据处理】
1.计算一个弹簧的劲度系数k1和有效质量m01。
表5-2-1 利用振动周期与质量的关系测k和m0的数据表
m?_____g,ms1?_____g
i mi/g 1 2 3 4 5 6 t1/s t2/s t3/s t4/s t5/s t/s Ti/s Ti/s2 2 计算k和m0的方法如下:
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由式(5-2-4)可得 T?4?(m?m0)/k,因此可以用逐差法处理数据,求出平均值
k,除以2就是一个弹簧的劲度系数k1。将k代入式(5-2-4)求出平均值m0,除以2就是
22一个弹簧的有效质量m01,与一个弹簧的自身质量ms1比较一下,看比值是不是1/3。
2.利用式(5-2-8)计算k值并与前面的结果比较。
表5-2-2 测量简谐振动能量的数据表
m?m0?_____g,A?10.00cm v/m/s x/cm 0.00 2.50 5.00 7.50 10.00 v1 v2 v3 v4 v5 v 3.验证机械能守恒。
将表5-2-2中求得的v填入表5-2-3,然后按表格要求进行数据处理。研究实验结果得出结论。
表5-2-3 验证机械能守恒的数据表
m?m0?_____g, A?10.00cm x/cm v/m/s Ep?12kx/J2 Ek?12?m?m0?v2/J E?Ep?Ek/J E?E0E0?100% 0.00 2.50 5.00 7.50 10.00 【注意事项】
1.测量振动周期,挡光片用平板形。 2.测量滑块速度,挡光片用“凹”形。
3.测量简谐振动的能量验证机械能守恒时,各次实验要严格保持振幅不变。 4.气垫导轨的相关注意事项请参阅实验5-1。 【思考题】
1. 本实验通过计算求得弹簧的劲度系数k和有效质量m0,能用作图法求出k和m0吗?
2.如果两个弹簧劲度系数分别为k1和k2,且k1?k2,这样的振动是否是简谐振动?在这种情况下,测量k和m0的方法是否要改变?
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