2019年高考数学一轮复习(文科)训练题:周周测 11 含解析
更新时间:2023-12-22 12:16:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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周周测 11 直线与圆的方程综合测试 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2018·广西柳州月考)已知直线2x-y-3=0的倾斜角为θ,则sin2θ的值是( ) 13A.4 B.4 42C.5 D.5 答案:C 解析:由直线方程2x-y-3=0,得直线的斜率k=2.∵直线2x2sinθcosθ2tanθ-y-3=0的倾斜角为θ,∴tanθ=2,∴sin2θ=2=sinθ+cos2θ1+tan2θ2×24==.故选C. 1+2252.(2018·河南新乡一中周考)若m,n满足m+2n-1=0,则直线mx+3y+n=0过定点( ) 1??11??1A.?2,6? B.?2,-6? ????1??1?11?C.?6,-2? D.?-6,2? ????答案:B 解析:∵m+2n-1=0,∴m+2n=1.∵mx+3y+n=0,∴(mx+11111n)+3y=0,当x=2时,mx+n=2m+n=2,∴3y=-2,∴y=-6,1??1故直线过定点?2,-6?.故选B. ??3.直线l经过点M(2,1),若点P(4,2)和Q(0,-4)到直线l的距离相等,则直线l的方程为( ) A.3x-2y-4=0 B.x=2或3x-2y-4=0 C.x=2或x-2y=0 D.x=2或3x-2y-8=0 答案:B 解析:解法一 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,符合题意.当直线l的斜率存在时,依题意可设直线l的方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0,因为P(4,2)和Q(0,-4)到直线l的3距离相等,故|4k-2+1-2k|=|5-2k|,故2k-1=5-2k,解得k=2,则直线l的方程为3x-2y-4=0,选B. 解法二 由题意,所求直线经过P(4,2)和Q(0,-4)的中点或与过P(4,2)和Q(0,-4)的直线平行.当所求直线经过P(4,2)和Q(0,-4)的中点(2,-1)时,所求直线为x=2;当所求直线与过P(4,2)和Q(0,-4-23-4)的直线平行时,由kPQ==,得所求的直线方程为y-10-423=2(x-2),即3x-2y-4=0. 4.若直线l1:y=kx-k+1与直线l2:ky-x=2k的交点在第二象限,则k的取值范围是( ) 1??1??A.?2,1? B.?0,2? ????1??1?????C.-2,0 D.-1,-2? ????答案:B ??y=kx-k+1,解析:∵l1,l2有交点,∴k≠±1.由?可得??ky-x=2k, ??2k-1?y=k-1,x=k,k-1?故?2k-1?k-1>0,k<0,k-1 ?k2k-1??,因为交点在第二象限,,即交点坐标为?k-1k-1???0<k<1,得?1?k<2或k>1, 1所以0<k<2,故选B. 5.若两平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是5,则m+n=( ) A.0 B.1 C.-2 D.-1 答案:C 解析:因为l1,l2平行,所以1×n=2×(-2),解得n=-4,即|m+3|直线l2:x-2y-3=0.又l1、l2之间的距离是5,所以=5,1+4得m=2或m=-8(舍去),所以m+n=-2,故选C. 6.(2018·四川成都崇州崇庆中学期中)已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与y轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆的标准方程为( ) A.x2+(y-1)2=8 B.x2+(y+1)2=8 C.(x-1)2+(y+1)2=8 D.(x+1)2+(y-1)2=8 答案:A 解析:在x-y+1=0中,令x=0,解得y=1.∴圆心C(0,1).设|1+3|圆的半径为r,∵圆C与直线x+y+3=0相切,∴r==22,2∴圆的标准方程为x2+(y-1)2=8.故选A. 7.(2018·广州一模)已知圆C:x2+y2+kx+2y=-k2,当圆C的面积取最大值时,圆心C的坐标为( ) A.(0,1) B.(0,-1) C.(1,0) D.(-1,0) 答案:B k?2?322??解析:圆C的方程可化为x+2+(y+1)=-4k+1,所以当k??=0时圆C的面积最大.故圆心C的坐标为(0,-1). 8.(2018·长春三模)直线kx-3y+3=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦长的最小值为( ) A.25 B.5 C.210 D.10 答案:A 解析:易知直线kx-3y+3=0恒过圆内的定点(0,1),则圆心(1,3)到定点(0,1)的距离为5,当圆心到直线kx-3y+3=0的距离最大时(即圆心(1,3)到定点(0,1)的距离),所得弦长最小,因此最短弦长为2×10-5=25.故选A. 9.(2018·山东济宁期中)已知圆M:(x-a)2+y2=4(a>0)与圆N:x2+(y-1)2=1外切,则直线x-y-2=0被圆M截得线段的长度为( ) A.1 B.3 C.2 D.23 答案:D 解析:由题意,a2+1=2+1,∴a=22,圆心M(22,0)到|22-0-2|直线x-y-2=0的距离d==1,∴直线x-y-2=02被圆M截得线段的长度为24-1=23,故选D. 10.过原点O作圆x2+y2-6x-8y+t=0的两条切线,切点分别为P,Q若|PQ|=4,则t的值为( ) A.5 B.20 C.10或20 D.20或5 答案:D 解析:由题意知,圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=-t+25,设圆心为E(3,4),则|OE|=5,圆的半径为25-t(t<25),所以|OP|=|OP|t225-?25-t?=t.所以sin∠OEP=|OE|=5,故|PQ|=t2|PE|·sin∠OEP=2×25-t×5=4,得t2-25t+100=0,解得t=20或t=5,故选D. 11.若圆O:x2+y2=4与圆C:x2+y2+4x-4y+4=0关于直线l对称,则直线l的方程是( ) A.x+y=0 B.x-y=0 C.x+y+2=0 D.x-y+2=0 答案:D 解析:圆C的标准方程为(x+2)2+(y-2)2=4,故圆心C的坐标为(-2,2).因为圆O与圆C关于直线l对称,所以直线l过OC的中点(-1,1),且垂直于OC,又kOC=-1,故直线l的斜率为1,直线l的方程为y-1=x-(-1),即x-y+2=0.故选D. 3???9?512.若直线l:y=k(x-4)与曲线C:?x-2?2+y2=4?3<x≤3?只????有一个交点,则k的取值范围为( ) 3??2525??3? A.?4,-4?∪?-7,7?????2525?B.?-,7? 7??3??2525??3????,-C.44?∪?-7,7? ??2525?? D.?-,77??答案:C 3?229?5???3??????解析:曲线C:x-2+y=43<x≤3是以C2,0?为圆心,r???????525?3?,=2为半径的劣弧EF(如图所示,不包括两端点),且E?,3??3?525??,又直线l:y=k(x-4)过定点D(4,0),当直线l与C相F?,-3??3?25???3????k?-4??0-?-3?32??2??3?切时,由k2+1=2得k=±4,又kDE=-kDF=-54-3=-7 3??2525??3??时,直线l:y=k(x5,结合图形可知当k∈4,-4?∪?-7,7????3?229?5?????-4)与曲线C:x-2+y=43<x≤3?只有一个交点. ????二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在相应题号后的横线上. 13.(2018·长春二模)已知点A(1,0),B(3,0),若直线y=kx+1上存在一点P,满足PA⊥PB,则k的取值范围是________. ?4??答案:-3,0? ??解析:解法一 设P(x0,kx0+1),依题意可得kPA·kPB=-1,即kx0+1kx0+12×=-1,即(k2+1)x20+(2k-4)x0+4=0,则Δ=(2k-4)x0-1x0-3422-16(k+1)≥0,化简得3k+4k≤0,解得-3≤k≤0,故k的取值范?4?围是?-3,0?. ??解法二 若直线y=kx+1上存在点P,满足PA⊥PB,则直线y|2k+1|22=kx+1与以AB为直径的圆(x-2)+y=1有公共点,故2≤1,1+k?4?4即3k2+4k≤0,故-3≤k≤0,k的取值范围为?-3,0?. ??14.(2018·长沙一模)已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方
程为________. 答案:6x-y-6=0 解析:设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M′(a,?b),则反射光线所在直线过点M′,所以?-3+ab+4?2-2+3=0,b-4=-1,a-?-3? 解得a=1,b=0.又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为y-0x-1=,即6x-y-6=0. 6-02-115.(2018·福建福州文博中学月考)直线3x+y-23=0截圆x2+y2=4得劣弧对应的圆心角的大小为________. π答案:3 |-23|解析:圆心到直线的距离为d=2=3,∴弦长为2×4-3=2,∴弦与两个半径构成的三角形为正三角形,∴直线3x+y-23π22=0截圆x+y=4得劣弧对应的圆心角的大小为3. 16.(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),→→≤20,则点P的横坐标的取值点P在圆O:x2+y2=50上.若PA·PB范围是________. 答案:[-52,1] 解析:方法1:因为点P在圆O:x2+y2=50上, 所以设P点坐标为(x,±50-x2)(-52≤x≤52). 因为A(-12,0),B(0,6), →→→所以PA=(-12-x,-50-x2)或PA=(-12-x,50-x2),PB→=(-x,6+50-x2). =(-x,6-50-x2)或PB→→≤20,先取P(x,50-x2)进行计算, 因为PA·PB所以(-12-x)·(-x)+(-50-x2)(6-50-x2)≤20,即2x+5≤50-x2. 5当2x+5≤0,即x≤-2时,上式恒成立; 5当2x+5≥0,即x≥-2时,(2x+5)2≤50-x2,解得-5≤x≤1,故x≤1. 同理可得P(x,-50-x2)时,x≤-5. 又-52≤x≤52,所以-52≤x≤1. 故点P的横坐标的取值范围为[-52,1]. →→=(-x,6-y). 方法2:设P(x,y),则PA=(-12-x,-y),PB→→≤20,∴ (-12-x)·∵ PA·PB(-x)+(-y)·(6-y)≤20, 即2x-y+5≤0. 如图,作圆O:x2+y2=50,直线2x-y+5=0与⊙O交于E,F两点, ∵ P在圆O上且满足2x-y+5≤0, ∴ 点P在EDF上. 22??x+y=50,由?得F点的横坐标为1. ?2x-y+5=0? 又D点的横坐标为-52, ∴ P点的横坐标的取值范围为[-52,1]. 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分) 过点M(0,1)作直线,使它被两条直线l1:x-3y+10=0,l2:2x+y-8=0所截得的线段恰好被M所平分,求此直线方程. 解:过点M且与x轴垂直的直线是x=0,它和直线l1,l2的交点10???分别是0,3?,(0,8),显然不符合题意,故可设所求直线方程为y=??kx+1,又设该直线与直线l1,l2分别交于A,B两点,则有 ??yA=kxA+1,①? ??xA-3yA+10=0, ??yB=kxB+1,②? ??2xB+yB-8=0. 7由①解得xA=, 3k-17由②解得xB=. k+2因为点M平分线段AB, 所以xA+xB=2xM, 771即+=0,解得k=-4. 3k-1k+21故所求的直线方程为y=-4x+1, 即x+4y-4=0. 18.(本小题满分12分) 已知圆M经过A(1,-2),B(-1,0)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和为2. (1)求圆M的方程; 1??(2)若P?2,2?为圆内一点,求经过点P被圆M截得的弦长最短时??的直线l的方程. 解:(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 令y=0,得x2+Dx+F=0,则圆在x轴上的截距之和为x1+x2=-D; 令x=0,得y2+Ey+F=0,则圆在y轴上的截距之和为y1+y2=-E. 由题意有-D-E=2,即D+E=-2. 又∵A(1,-2),B(-1,0)在圆上, 1+4+D-2E+F=0,??∴?1-D+F=0,??D+E=-2,故所求圆M的方程为x2+y2-2x-3=0. (2)由(1)知,圆M的方程为(x-1)2+y2=4,圆心为M(1,0). 1???当直线l过定点P2,2?且与过此点的圆的半径垂直时,l被圆截??10-21得的弦长最短,此时kPM==, 1-2211∴kl=-k=-2,于是直线l的方程为y-2=-2(x-2),即4xPM+2y-9=0. 19.(本小题满分12分) (2018·黑龙江鸡西虎林一中第一次月考)已知圆C:(x-1)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A,B两点. (1)当l经过圆心C时,求直线l的方程; D=-2,??解得?E=0,??F=-3. (2)当弦AB被点P平分时,写出直线l的方程; (3)当直线l的倾斜角为45°时,求弦AB的长. 解:(1)已知圆C:(x-1)2+y2=9的圆心为C(1,0),因为直线l过点P,C,所以直线l的斜率为2,直线l的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0. 1(2)当弦AB被点P平分时,l⊥PC,直线l的方程为y-2=-2(x-2),即x+2y-6=0. (3)当直线l的倾斜角为45°时,斜率为1,直线l的方程为y-2=x-2,即x-y=0. 1圆心到直线l的距离为,圆的半径为3,所以弦AB的长为34. 220.(本小题满分12分) 已知点P(0,5)及圆C:x2+y2+4x-12y+24=0. (1)若直线l过P点且被圆C截得的线段长为43,求l的方程; (2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程. 解析:(1)∵⊙C的标准方程为(x+2)2+(y-6)2=16, ∴圆心坐标为(-2,6),半径r=4. 设l:y=kx+5,由直线l被⊙C截得的弦长为43及⊙C的半径|-2k-6+5|3r=4知⊙C的圆心到直线l的距离d=2,∴=2,∴k=4;21+k当k不存在时,直线l为x=0,满足题意. 3∴l的方程为y=4x+5或x=0. (2)设弦的中点为M(x,y),将y=kx+5代入⊙C的方程中,得(1+k2)x2+2(2-k)x-11=0. 2k-4设弦两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=, 1+k22k2-4k12k2-4k+10∴y1+y2=k(x1+x2)+10=+10=. 1+k21+k2∵M为AB的中点, x1+x2k-2y1+y26k2-2k+5∴x=2=,y=2=, 1+k21+k2消去k,得x2+y2+2x-11y+30=0. 当k不存在时,过点P的弦所在的直线为x=0,代入⊙C的方程,得y2-12y+24=0,此时点M的坐标为(0,6).点M(0,6)满足方程x2+y2+2x-11y+30=0,∴过点P的⊙C的弦的中点的轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0. 21.(本小题满分12分) 已知圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0与圆C2:x2+y2+2x+2y-8=0. (1)求两圆公共弦长; (2)求以两圆公共弦为直径的圆的方程. 解析:(1)两圆方程相减得x-2y+4=0,此即两圆公共弦所在直线方程. |1+10+4|又圆C1的圆心C1(1,-5)到公共弦的距离d==35, 5圆C1的半径r1=50=52, L2由d2+(2)2=r2得L=2r2即公共弦1(L为公共弦长),1-d=25,长为25. (2)直线C1C2的方程为2x+y+3=0, 直线C1C2与相交弦所在直线x-2y+4=0的交点为(-2,1),即为所求圆的圆心. L又因为所求圆的半径为2=5, 所以以相交弦为直径的圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5. 22.(本小题满分12分) (2018·江苏宿迁调研)在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=64,圆O1与圆O相交,圆心为O1(9,0),且圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21. (1)求圆O1的标准方程; (2)过定点P(a,b)作动直线l与圆O,圆O1都相交,且直线l被圆O,圆O1截得的弦长分别为d,d1.若d与d1的比值总等于同一常数λ,求点P的坐标及λ的值. 解析:(1)∵圆O:x2+y2=64,圆O1与圆O相交,圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离是21,∴圆O1的半径为4.∵圆心为O1(9,0),∴圆O1的标准方程为(x-9)2+y2=16. (2)当直线l的斜率存在时,设方程为y-b=k(x-a),即kx-y-ka+b=0. |ka-b||-9k+ka-b|∴O,O1到直线l的距离分别为h=, 2,h1=21+k1+k?|ka-b|2??2∴d=264-?2?1+k?, ??d1=2?|-9k+ka-b|??216-?2??. 1+k??∵d与d1的比值总等于同一常数λ, ?|ka-b|2???|-9k+ka-b|????2??2?2?∴64-?, 2?=λ?16-?2??1+k?1+k?????∴[64-a2-16λ2+λ2(a-9)2]k2+2b[a-λ2(a-9)k+64-b2-λ2(16-b2)=0. 由题意,上式对任意实数k恒成立,∴64-a2-16λ2+λ2(a-9)2=0,2b[a-λ2(a-9)]=0,64-b2-λ2(16-b2)=0同时成立. ①如果b=0,则64-16λ2=0, ∴λ=2(舍去负值),从而a=6或18; ∴λ=2,P(6,0),P(18,0). a②如果a-λ2(a-9)=0,显然a=9不满足,则λ2=,代入a-964-a2-16λ2+λ2(a-9)2=0,从而得3a2-43a+192=0,Δ=432-4×3×192=-455<0,故方程无解,舍去. 当点P的坐标为(6,0)时,若直线l的斜率不存在,此时d=47,dd1=27,∴d=2也满足.当点P的坐标为(18,0),若直线l的斜率1不存在,此时直线l与两圆都相等,故不满足. 综上,满足题意的λ=2,点P有两个,坐标分别为(6,0),(18,0).
d1=2?|-9k+ka-b|??216-?2??. 1+k??∵d与d1的比值总等于同一常数λ, ?|ka-b|2???|-9k+ka-b|????2??2?2?∴64-?, 2?=λ?16-?2??1+k?1+k?????∴[64-a2-16λ2+λ2(a-9)2]k2+2b[a-λ2(a-9)k+64-b2-λ2(16-b2)=0. 由题意,上式对任意实数k恒成立,∴64-a2-16λ2+λ2(a-9)2=0,2b[a-λ2(a-9)]=0,64-b2-λ2(16-b2)=0同时成立. ①如果b=0,则64-16λ2=0, ∴λ=2(舍去负值),从而a=6或18; ∴λ=2,P(6,0),P(18,0). a②如果a-λ2(a-9)=0,显然a=9不满足,则λ2=,代入a-964-a2-16λ2+λ2(a-9)2=0,从而得3a2-43a+192=0,Δ=432-4×3×192=-455<0,故方程无解,舍去. 当点P的坐标为(6,0)时,若直线l的斜率不存在,此时d=47,dd1=27,∴d=2也满足.当点P的坐标为(18,0),若直线l的斜率1不存在,此时直线l与两圆都相等,故不满足. 综上,满足题意的λ=2,点P有两个,坐标分别为(6,0),(18,0).
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