2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷文科) 数学试题及答案(学生版)
更新时间:2023-05-06 09:26:01 阅读量: 实用文档 文档下载
2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷文科)
数学试题
一、单选题(本大题共10小题,每小题____分,共____分。)
1.设集合,则=()
A. B. C. D.
2.若复数,其中i为虚数单位,则=()
A. 1+I
B. 1?I
C. ?1+I
D. ?1?i
3.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是,样本数据分组为
.根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()
A. 56
B. 60
C. 120
D. 140
4.若变量x,y满足则的最大值是()
A. 4
B. 9
C. 10
D. 12
5.一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为()
~ 1 ~
A. B. C. D.
6.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面相交”的()
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
7.已知圆M:截直线所得线段的长度是,则圆M与圆N:
的位置关系是()
A. 内切
B. 相交
C. 外切
D. 相离
8.中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知,则A=()
A. B. C. D.
9.已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)= —f(x);当x>时,f(x+)=f(x—).则f(6)= ()
A. -2
B. -1
C. 0
D. 2
10.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称
y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()
A. y=sin x
B. y=ln x
C. y=e x
D. y=x3
二、填空题(本大题共5小题,每小题____分,共____分。)
11.执行右边的程序框图,若输入n的值为3,则输出的S
的值为_______.
12.观察下列等式:
;
;
;
;
……
~ 2 ~
照此规律,_________.
13.已知向量a=(1,–1),b=(6,–4).若a⊥(ta+b),则实数t的值为________.
14.已知双曲线E:–=1(a>0,b>0).矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是_______.
15.已知函数f(x)=其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是_______.
三、简答题(综合题)(本大题共6小题,每小题____分,共____分。)
16.某儿童乐园在“六一”儿童节退出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:
①若,则奖励玩具一个;
②若,则奖励水杯一个;
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率;
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.
17.设.
(1)求得单调递增区间;
(2)把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象,求的值.
~ 3 ~
18.在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥DB.
(I)已知AB=BC,AE=EC.求证:AC⊥FB;
(II)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH∥平面ABC.
19.已知数列的前n项和,是等差数列,且. (1)求数列的通项公式;
(2)令.求数列的前n项和.
20.设f(x)=x ln x–ax2+(2a–1)x,a∈R.
(1)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;
(2)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.
21.已知椭圆C:(a>b>0)的长轴长为4,焦距为2.
(2)求椭圆C的方程;
(3)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴与点N,交C于点A,
P(P在第一象限),且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线
交C于另一点Q,延长线QM交C于点B.
(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k',证明为定值.
(ii)求直线AB的斜率的最小值.
~ 4 ~
2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷文科)
数学试题参考答案
1-5.ABDCC 6-10.ABCDA
11.1 12.13.-5 14.2 15.
16.(Ⅰ)设获得玩具记为事件A,获得水杯记为事件B,获得一瓶饮料记为事件C
转盘转动两次后获得的数据记为,则基本事件空间为
共16种,事件A为,共5种
故小亮获得玩具的概率
(Ⅱ)事件B为共6种
故小亮获得水杯的概率,获得饮料的概率。
因为,所以小亮获得水杯比获得饮料的概率大。
17.(Ⅰ)f(x)=2sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)
=2sin x-( sin x+ cos x-2 sinxcosx)
=-cos2x+ sin2x-1
=sin2x-cos2x+-1
=2(sin2x-cos2x) +-1
=2sin(2x-) +-1
-+2kπ≤2x-≤+2kπ(),-+ kπ≤x≤+ kπ()
所以单调递增区间为[-+kπ,+kπ] ()
(Ⅱ)经变换g(x)=2 sinx+-1,g()=
~ 5 ~
~ 6 ~ 18.(Ⅰ)证明:因,所以与确定一个平面,连接,因为为的中点,所以;同理可得,又因为,所以平面
,因为平面,。
(Ⅱ)设的中点为,连,在中,是的中点,所以,又,所以;在中,是的中点,所以,又,所以平面
平面,因为平面,所以平面。
19.(Ⅰ)
得:
也符合
由
解得:
(Ⅱ)
得:
20.(Ⅰ)定义域(0,+∞)
g(x)=f’(x)= lnx+1-2ax+2a-1,g’(x)=-2a
①当a≤0时,g’(x)>0恒成立,g(x)在(0,+∞)上单调递增
②当a>0时,令g’(x)=0,得x=
g(x)在(0, )上单调递增, 在(,+∞)上单调递减
综上所述,当a≤0时,单调递增区间为(0,+∞)
当a>0时,单调递增区间为(0, ), 单调递减区间为(,+∞)
(Ⅱ)∵f(x)在x=1处取得极大值,∴g(1)=0
ln1+1-2a+2a-1=0在a取任何值时恒成立
①当a≤0时,g(x)在(0,+∞)上单调递增
即x(0.1)时,g(x)<0;x(1,+∞)时,g(x) >0
此时f(x)在x=1处取得极小值,不符合题意
②当a>0时,g(x)在(0, )上单调递增, 在(,+∞)上单调递减只需令<1,即a>
综上所述,a的取值范围为(,+∞)
21.(Ⅰ)由题意得,解得
所以椭圆的方程为。
(Ⅱ)(i)设直线
因为点为直线与轴的交点,所以,
因为点为线段的中点,
所以,得
~ 7 ~
所以点,所以
故为定值。
(ii)直线与椭圆方程联立
得:,
所以
,
所以
直线与椭圆方程联立
得,
所以
所以
因为点在椭圆上,所以,得
将②代入①得恒成立,
所以,所以,所以(当且仅当时取“=”)所以当时,的最小值为。
~ 8 ~
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