2013年全国大学生数学建模A题国家奖优秀论文

车道被占用对城市道路通行能力的影响

摘要

本文主要研究车道被占用对城市道路通行能力影响的问题。基于对视频1和视频2所反应出来的数据进行处理、综合、提炼与分析，找出有用信息，得出实际通行能力的变化过程及不同车道之间的通行能力的差异。建立非线性多元回归模型，利用SPSS软件进行分析、MATLAB软件进行求解，得到函数关系。在此基础上建立微分方程模型，利用MATLAB软件求出车辆排队长度达到140m的时间。

对视频1和视频2中的大量数据进行了筛选、统计、调整和计算等一系列数据处理，得到各周期标准化的车辆数、持续时间、通行能力等15组数据，依此分析以下问题：

针对问题一，根据所得数据绘制出实际通行能力与周期的变化图像，对其进行多项式曲线拟合，做出实际通行能力随周期变化的拟合曲线，通过观察拟合曲线得到在事故发生期间通行能力逐渐下降，中间过程中会受某些因素影响而产生波动。

针对问题二，在问题一所得结论的基础上结合视频2，分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异，类比问题一做出通行能力拟合曲线，进而得到外侧与内侧的实际通行能力比为1:1.29。

针对问题三，在建立模型前，考虑到数据量较多且规律性不强，利用SPSS分别对排队长度和实际通行能力、持续时间、上游车流量进行回归分析。根据回归分析结果中的R2检验系数确定相关性，然后建立排队长度和实际通行能力、持续时间、上游车流量之间的多元非线性回归模型，利用MATLAB软件编程求得回归系数，从而求出多元非线性回归函数（见公式11），并利用MATLAB提供的residual函数命令计算残差值，最后做出残差图对模型进行检验。

针对问题四，主要是研究排队长度与时间的问题。在这140米道路路程中，车辆排队长度会随着时间的推移而改变。所以，在问题三的基础上，建立排队长度与时间的微分方程模型，利用MATLAB软件对模型编程求解，得出车辆排队到达上游路口所需要的时间为12.5分钟。

关键词：多项式曲线拟合 非线性多元回归 残差分析 微分方程模型

1

一、问题重述

车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。如处理不当，甚至出现区域性拥堵。

视频1（附件1）和视频2（附件2）中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用两条车道。请研究以下问题：

1. 根据视频1（附件1），描述视频中交通事故发生至撤离期间（从16:42:32

至17:01:33，共计19分钟）,事故所处横断面实际通行能力（道路上某一路段单位时间内通过某一断面的最大车辆数。）的变化过程。 2. 根据问题1所得结论，结合视频2（附件2），分析说明同一横断面交通

事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。

3. 构建数学模型，分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排队

长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。

4. 假如视频1（附件1）中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140

米，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离。请估算，从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达上游路口。

二、问题分析

2.1 问题一的分析

关于问题一，附件1给出了一段27分钟的视频。在这段视频中，可以发现事故发生至撤离期间的时间是从16:42:32到17:01:33，共计19分钟。由于题目要求描述在交通事故发生至撤离期间，分析事故所处横断面实际通行能力的变化过程。因此，首先以上游路口信号的变换时长为一个周期，对每一周期所通过的车辆数进行统计，将统计出来的车辆按照不同的折算系数进行标准化；然后计算每一周期的车辆通过事故点的时间；最后计算出基本通行能力，在基本通行能力的基础上，考虑车道宽度对通行能力的折减系数，进而求出道路的实际通行能力，将整理的数据利用Excel做出事故所处横断面实际通行能力变化过程的图形，结合实际生活情况对做出的图表进行分析。 2.2 问题二的分析

关于问题二，需要建立内侧、中间、外侧三种车道的实际通行能力模型。首先分析出模型可能需要的数据，找出合理的信息。以上游路口信号灯的变化时长作为一个周期，对需要的数据进行多次观察，取平均值确定模型单向三个车道的车辆数，以及每个周期车辆从上游路口到事发地点的时间。根据定义计算出三个车道的基本通行能力，并求解出三个车道的实际通行能力。

然后对模型结果的单向三车道的流量比例进行分析，再次分析事故车辆占据右转和直行道路后通行能力的变化过程。

最后与视频1的实际通行能力进行各时间段对比分析，同一横断面事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。 2.3 问题三的分析

2

对于问题三，在建立交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系模型前，首先利用SPSS对排队长度和实际通行能力、持续时间、上游车流量进行单因素相关性检验。

然后在检验的基础上，建立排队长度和实际通行能力、持续时间、上游车流量之间的多元非线性回归模型，利用MATLAB软件编程求得回归系数，并写出函数关系式。

最后为了检验模型的正确性，利用MATLAB的residual函数命令计算残差值，并做出残差图对模型进行检验。 2.4 问题四的分析

对于问题四，主要是研究排队长度与时间的函数关系问题。在这140米道路路程中，车辆排队长度会随着时间的推移而改变。所以，在问题三的基础上，建立排队长度与时间的微分方程模型，利用MATLAB软件对模型编程求解，得出车辆排队到达上游路口所需要的时间。

三、模型假设

1、假设驾驶员反应条件对通行能力的修正系数为1； 2、假设缺失视频对整体数据的统计无影响； 3、假设车辆行驶都遵循国家规定的交通法规；

4、假设忽略非机动车、行人、地形等因素对交通的影响。

四、符号说明

f宽：车道宽度对通行能力的折减系数； ； WO：机动车道宽度（m）

CB：车行道的基本通行能力；

qi：第i周期的车辆数，i?1,2,3,?15； ti：第i周期车次的通行时间，i?1,2,3,?15；

Q：车行道的实际通行能力；

fp：驾驶员条件对通行能力的修正系数；

T：信号周期（min）；

； s：上游路口至事发地点的路程（m）

L：车辆排队的队长（m）；

五、模型的建立与求解

5.1问题一模型的建立与求解 5.1.1模型前的准备

题目要求我们描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。

查阅通行能力方面的材料[1]，通行能力是指道路上某一路段单位时间内通过

3

某一断面的最大车辆数，单位以辆/小时（或辆/昼夜、辆/秒）表示。可分为基本通行能力和实际通行能力。

由视频可知：每车道通过的车辆型号不同，因此需将不同的车辆进行标准车型转化。

在对行驶通过的车辆进行统计时，为统计方便，将车辆分为两个车型，小型载货汽车和小轿车归为小型车；中型载货汽车和公共汽车归为大型车。统计出两种车型的车辆之后，再根据车型分类及折算系数[2]进行标准车型转换。 车型分类及折算系数：在交通量调查中，应按不同车型进行交通量分类统计。为准确衡量道路的通行能力，还需要把不同车型的交通量换算为标准车当量交通量。各类车辆换算成当量车的换算系数见表1。 表1 交通量调查车型划分及车辆折算系数 荷载及功率 机动车车型 换算系数 备注 小型载货汽车 1.0 载质量≤2吨 中型载货汽车 1.5 2吨<载质量≤7.0吨 包括吊车 大型载货汽车 2.0 7吨<载质量≤14吨 特大型载货汽车 3.0 载质量>14吨 拖挂车 3.0 包括半挂车、平板拖车 集装箱车 3.0 小型客车 1.0 额定座位≤19座 大型客车 1.5 额定座位>19座 包括轻骑、载货摩托车及载摩托车 0.4-0.6 货（客）机动三轮车等 拖拉机 4.0 非机动车车型 自行车 0.2 包括助动车 三轮车 3 畜力车 5 由于车道宽度对车辆的行车速度有很大的影响，车道宽度达不到要求，则必然影响车速，从而影响路段的通行能力。在城市道路设计中，标准车道宽度为3.50m，当车道宽度大于该值时，不影响通行能力；当车道宽度小于该值时，车辆行驶速度下降，通行能力减小。

查阅资料求出车道宽度对通行能力的折减系数[3]，依据车道宽度对通行能力的折减系数求解出车道的实际通行能力。车道宽度对通行能力的折减系数f宽可按下式确定：

?50?Wo?1.5?*100% f宽??2（Wo?16Wo/3）*100%??54?188Wo?3.5mWo?3.5m （1）

5.1.2模型的建立

通过观看视频1可以发现事故发生至撤离期间的时间是从16:42:32到17:01:33，共计19分钟。首先以红绿灯的信号周期为波次，对每一波所通过的

4

车辆数进行统计，将统计出来的车辆进行标准化。然后计算每一波次的车辆通过事故点的时间，最后计算出基本通行能力和从上游路口到事发地点的平均速度。

以基本通行能力为基础，考虑到各种因素对基本通行能力的影响，确定其修正系数，再以此修正系数乘以基本通行能力，即得实际道路、交通在一定环境条件下的实际通行能力[4]。

车行道的基本通行能力：CB?qi ?3600 （2）

ti车行道的实际通行能力：Q?CB?f宽?fp。 （3） 5.1.3模型结果分析 通过以上数据的收集与处理，得出表2： 表2 视频1的相关数据 经历时基本通行能速度 实际通行能周小型大型标准化车辆间 力 (km/h力 期 车 车 数 (s) （pcu/h） ) （pcu/h） 1 12 4 18 61 1062 14.16 930 2 13 1 14.5 84 621 10.29 544 3 14 0 14 79 638 10.94 558 4 15 1 16.5 73 814 11.84 712 5 12 0 12 68 635 12.71 556 6 20 1 21.5 83 1060 11.84 928 7 19 0 19 90 760 9.60 665 8 18 1 19.5 101 695 8.55 608 9 19 0 19 103 664 8.39 581 10 23 1 24.5 108 817 8.00 715 11 13 2 16 106 543 8.15 475 12 18 2 21 102 741 8.47 649 13 14 0 14 108 467 8.00 408 14 17 1 18.5 166 401 5.20 351 15 14 1 15.5 55 1015 15.71 888 利用Excel绘制出道路实际通行能力散点图，并对其进行六次拟合: 视频1的实际通行能力拟合曲线100090080070060050040030020010000实际通行能力/(pcu/h)实际通行能力拟合曲线y = 0.0032x6 - 0.1965x5 + 4.8252x4 - 59.086x3 + 366.54x2 - 1038.8x +1627.42R = 0.76745101520周期/(min)

5

图1 实际通行能力拟合曲线

由图1可知：当事故发生时，实际通行能力不发生改变，发生事故后，会造成通行能力减弱。

第4周期通行能力上升的原因，是前一个周期有一个大型车堵住了出口，造成第4周期通行能力的相对上升。

第5周期车辆行驶过来时，由视频可见交警出现，交警下车指挥交通，处理事件，所以出现了通行能力增加的现象。

第14周期车辆行驶过来时，事故车辆即将撤离，此时的交通最为拥挤，所以此时的通行能力最弱；当事故车辆撤离后，道路恢复到正常的通行能力。

由图1结合视频还可以看出每当有大型车通过时，都会造成前一个周期通行能力的降低，当大型车通过后，往往造成下一个周期的通行能力上升，相邻周期通行能力的波动取决于前一周期大型车的数量，大型车数量越多，波动越明显。结合实际情况本文所做的图像较为符合。 5.2问题二模型的建立与求解 5.2.1模型的建立

由视频2可得：事故发生时间是从17:34:17至18:03:30。首先以上游路口信号灯的变化时长作为一个周期，分别对内侧、中间、外侧三个车道从上游路口至事故地点的车辆数进行统计，然后按照参考文献的定义计算出三个车道的基本通行能力，最后以基本通行能力为基础，按Q?CB?f车道?fp求解出三个车道的实际通行能力。

单行三通道经过车辆计算：

29??q内??qj?q红j?1?29??q中??qj?q红 （4）

j?1?29??q外??qj?q红j?1?式中：q红—上游路口红灯时，右转向经过的车辆； 单行三通道速度的计算：

?sv??内t内?s? （5） ?v中?t中?s?v??外t外?

单行三通道基本通行能力的计算：

6

?q内*3600?CB内?t内?q? ?CB中?中*3600 （6）

t中?q外?CB??外t*3600外?式中：t内—内侧通道由上游路口行驶至事故地点的时间； t中—中间通道由上游路口行驶至事故地点的时间； t外—外侧通道由上游路口行驶至事故地点的时间； 单行三通道实际通行能力的计算：

?3600tx?txkQ?*?外Ttr?3600tx1?* ?Q中? （7） Tt1?3600tx2?Q?*内?Tt1?式中：tx—有效绿灯时长；

txk—受行人和非机动车影响向右转车绿灯损失时间； tr—右转车车头时距； tx1—有效绿灯信直行时长； tx2—有效绿灯信左转时长；

5.2.2模型的结果分析

通过对视频2数据的处理得到下表（表3-5）：

表3 不同周期的各车道的车流量 中间道车内车道车外车道车中间道车内车道车周期 外车道车周期 流量（辆） 流量（辆） 流量（辆） 流量（辆） 流量（辆） 流量（辆） 1.05 11.34 8.61 16 1.425 15.39 11.685 1 1.15 12.42 9.43 17 1.175 12.69 9.635 2 1.075 11.61 8.815 18 1.225 13.23 10.045 3 1.025 11.07 8.405 19 0.6 6.48 4.92 4 1.025 11.07 8.405 20 1.025 11.07 8.405 5 0.925 9.99 7.585 21 1.2 12.96 9.84 6 1.05 11.34 8.61 22 0.9 9.72 7.38 7

7

8 9 10 11 12 13 14 15 1.375 1.1 0.775 0.95 1.175 0.625 1.25 1.025 14.85 11.88 8.37 10.26 12.69 6.75 13.5 11.07 11.275 9.02 6.355 7.79 9.635 5.125 10.25 8.405 23 24 25 26 27 28 29 0.95 1.35 1.125 0.925 1.175 1.05 0.875 1.425 10.26 14.58 12.15 9.99 12.69 11.34 9.45 15.39 7.79 11.07 9.225 7.585 9.635 8.61 7.175 11.685 由视频中的信息统计出的三种车道车辆数可知，不符合题目所给的各车道流量比例，题目给的信息中：右转流量比例21%，直行流量比例44%，右转流量比例35%。事故发生后，事故车辆占据了外侧通道和中间通道，造成单向三车道的车流量发生变化，变化后右转流量比例约为5%，直行流量比例约为54%，右转流量比例约为41%。

分析造成车流量比例发生变化的原因：一方面，当右转车辆经过上游路口，发现前方道路发生拥堵时，有一部分车辆会调转车头，从别的道路行驶；另一方面，一部分车辆在事故地点上游提前换车道行驶，从而造成三种车道的流量比例发生变化。

表4不同车道各周期的车速 周期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 外车道车中间车道车内车道车周外车道车中间车道车内车道车速（km/h） 速（km/h） 速（km/h） 期 速（km/h） 速（km/h） 速（km/h） 18.8 16.6 22.7 17.3 18 16 22.7 30.9 24 28.8 16 21.6 43.2 18 12.7 54 25.4 30.9 28.8 36 61.7 43.2 30.9 19.6 43.2 54 17.3 28.8 24 28.8 36 36 48 54 43.2 54 43.2 36 24 43.2 43.2 43.2 43.2 48 28.8 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 10.8 7.2 6.2 6.8 8.5 5.9 10 10.5 4.8 6.4 3.9 4.5 3.9 7 18 10.8 8.6 8 9 9.4 15.4 9.2 9.2 9.4 5.3 5.1 4.4 5.4 27 14.4 12.3 8.5 8.6 10.8 11.4 11.7 9 7.7 5.9 6.2 5.3 5.8 由表4可知：外侧车道的速度明显小于中间车道和内侧车道的速度，而中间车道又小于内侧车道的速度。结合实际生活情况，城市单向三车道的车速是相差无几的，即使有一定的速度差，也不会出现三个车道的速度相差很大的情况。

分析单向三车道的速度差异性原因：由附件所给的视频可知，上游路口至事发地点240米的路程就有两个小区路口。当外侧车道的车辆即将经过小区路口时，为了避免交通事故的出现，司机会潜意识的降低车速，以较低的速度通过小

8

区路口；另一方面，根据道路交通法规定[5]单行三车道的内侧通道速度最快，中间车道速度其次，外侧车道的速度最低。

由表4可以看出，后期的车速比前期的车速相差很大，对比表3分析：在统计后期处于下班高峰期，此时道路上的车辆较多，对车速影响较大，从而使得车速较低。

表5 不同周期不同车道的实际通行能力 外车道实中间车道内车道实外车道实中间车道内车道实周实际通行际通行能际通行能实际通行际通行能周期 际通行能期 力(pcu/h) 能力(pcu/h) 力(pcu/h) 力(pcu/h) 能力(pcu/h) 力(pcu/h) 207 434 346 16 178 1 208 437 347 17 140 2 178 372 296 18 118 3 178 374 297 19 67 4 199 418 332 20 141 5 194 407 324 21 144 6 201 422 336 22 104 7 214 448 357 23 112 8 187 391 311 24 99 9 146 307 244 25 83 10 180 376 299 26 68 11 199 418 332 27 94 12 143 299 238 28 93 13 192 403 320 29 102 14 147 309 246 15 绘制出实际通行能力折线图,并对其进行六次拟合: 视频2的实际通行能力拟合曲线373 293 248 141 296 302 217 235 208 173 142 196 195 215 296 233 197 112 235 241 173 187 165 138 113 156 155 171 实际通行能力/(pcu/h)1200100080060040020000y = 0.0001x6 - 0.0098x5 + 0.35x4 - 6.0663x3 + 50.335x2 - 184.4x +1140.92R = 0.8093实际通行能力拟合曲线5101520周期/(min)253035

图2实际通行能力拟合曲线

由图2知，图像可分为三阶段：第一段为第1周期至第10周期，第二段为第11周期至第18周期，第三段为第19周期至29周期。

第一阶段为事故发生前期，即时间发生在17:34:17—17:43:32，前期实际通行能力波动幅度不大，实际通行能力在800—1000pcu/h之间时，基本不受影响。结合表3、表4的分析，此时不是下班高峰期，车辆相对较少，整体速度较快，而且此时以小型车居多，大型车较少，事故车辆占据外侧和中间车道，把车

9

流速最快的车道即内侧车道空出，通过路口的能力性较强。因此实际通行能力受影响较小。

第二阶段为事故发生中期，即时间发生在17:43:32—17:51:32，中期通行能力出现波动变化，且浮动较大，实际通行能力在600—1000 pcu/h之间时，受影响程度较大。结合表3、表4的分析，此时处于下班高峰期，车辆较多，且大型车的数量增加，整体速度会降低。因此对实际通行能力的影响明显。

第三阶段为事故发生后期，即时间发生在17:51:32—18:03:30，后期实际通行能力较低，实际通行能力在400—600 pcu/h之间时，受影响比较明显。结合表3、表4的分析，此时处于下班高峰期，车辆集中出现，大型车出现频繁，路段上又有一部分中期尚未通过的车辆，属于交通拥堵期，车速较慢，大型车较多，因此后期通行能力较低。 5.2.3视频1和视频2的对比分析

通过视频可得事故持续时间，视频1中的事故持续时间为16:42:32—17:01:33，共计19分钟。视频2中事故持续时间为17:34:17—18:03:30，共计29分钟。由于事故发生时间不一致，为了分析说明同一横断面事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异，本文选取了事故发生后一段时间的实际通行能力数据对整体进行分析。

表6 不同时间段的视频1、2的实际通行能力 视频1通行 视频2通行 视频1通行 视频2通行 周期 周期 能力(pcu/h) 能力(pcu/h) 能力(pcu/h) 能力(pcu/h) 1 930 987 10 715 679 2 544 992 11 475 916 3 558 847 12 649 702 4 712 850 13 408 534 5 556 950 14 351 473 6 816 925 15 400 394 7 665 888 16 450 446 8 608 855 17 500 444 9 581 949 通过Excel软件对表6作出散点图，并对其进行拟合。

通行能力比较1200100080060040020000510周期1520视频1通行能力视频2通行能力多项式 (视频1通行能力)多项式 (视频2通行能力)通行能力

图3 视频1、2的通行能力变化趋势

10

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/bl7v.html