多元函数条件极值的解法探讨

秒杀一切多元函数

2009年第3期第8卷(总第42期)

安徽电子信息职业技术学院学报

JOURNALOFANHUIVOCATIONALCOLLEGEOFELECTRONICS＆INFORMATIONTECHNOLOGY

No.32009

GeneralNo.42Vol.8

[文章编号]1671－802X(2009)03－0109－02

多元函数条件极值的解法探讨

张秀芳

（安徽省第一轻工业学校，安徽蚌埠

233010）

［摘要］通常我们在求函数条件极值问题时，原则上将条件极值问题转化成无条件极值问题来进行求解，本文介

绍了利用拉格朗日乘数法和方向导数法来解决条件极值问题，并将这两种方法进行了比较。

［关键词］条件函数；条件极值；拉格朗日乘数法；方向导数；梯度［中图分类号］O171.1［文献标识码］B

求函数在一个或多个条件函数限制下的极值，称为函数的条件极值。函数的条件极值问题有着重要的实用价值，在求函数极值问题时原则上将条件极值问题转化为无条件极值问题来进行求解。求解这类问题有几种方法，这里只介绍最为常用的拉格朗日乘数法和与之相似的方向导数法，并将它们进行了比较。

一、拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法是在求多元函数条件极值中最常用的一种方法，下面具体地来看看这种方法。

求函数f（x1，x2…，xn）在条件函数φ（x2，…xn）=0（k=1，2，kx1，…，m，m＜n）限制下的极值。

若f（x1，x2，…xn）及φk（x1，x2，…xn）=0（k=1，2…，（φ的秩为r=m续偏导数，且Jacobi矩阵鄣12n（φ≠0）式鄣，12n拉格朗日函数

L（x1，x2，…，xn，λ1，…λm）=f（x1，x2，…，x）λkφ（x2，…xn+Σkx1，k=1m

Σ

ΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣLx=2（1-μ）x-λ=0Ly=2（1-μ）y-λ=0Lz=2（1-4μ）z-λ=0x+y+z=0

x2+y2+4z2-1=0

得到（x，y，z）的解分别为（1，-1，0），（-1，

姨姨姨1，0），（-，（-f在

然后解方程组

Σ

Σ鄣L=0（i1，2，…n）ΣΣ1Σ（1）ΣΣ鄣L=0（k=1，2，…m）ΣΣ鄣λ从（1）中求出未知数M（x10，x20，…，xn0，λ10，λ20，…λm000

P（x10，x2，…，xn）。

例：求平面x+y+z=0与椭球面x2+y2+4z2+1积。

解：椭圆的面积为πab，其中a，b即求f（x，+y+z）=x2，+y2+z2最大距离与最小距离。于是，

x+y+z=0

下的最大值与最小值。

x2+y2+4z2=1

做Lagrange函数L（x，y，x，λ，μ）=x2+y2+z2-λ（x+y+z）-μ（x2+y2+4z2-1）

得到相应的方程组

Σ

＊［收稿日期］2009－02－24［作者简介］张秀芳（1983-），安徽青阳人，本科，

秒杀一切多元函数

教育园地

张秀芳———多元函数条件极值的解法探讨

第3期

里λ1，λ2，…，λm是一些固定的常数，这样我们就可以把这个条件转x2，…xn）=0在点（x1，x2，化为在一个条件下的极值问题。曲面φ（x1，

…xn）处的法向量为n=λ1鄣φλ2鄣φ+…+λm鄣φ+λ1鄣φλ2鄣φ+…

鄣x1鄣x1鄣x1鄣x2鄣x2

λm鄣φ+…+λ1鄣φλ2鄣φ+…+λn鄣φ2nnn

同样，设曲面φ（x1，x2，…xn）在点（x1，x2，…xn）处的切平面上的一个向量为（a1，a2，…an），则应有a1鄣φ+a1鄣φ+…+an鄣φ=0，即

12n

鄣φ+λ鄣φ+…+λ鄣φ鄣φ+λ鄣φ+…+λ鄣φa（+a（+…1λ12m2λ12m111212鄣φ1+λ鄣φ2+…+λ鄣φm+a（=0nλ12nnnn令a2=…an-1=0，得到λ1鄣φ1+λ2鄣φ2+…+λm鄣φm

nnaa1=-nn

λ11+λ22+…+λmm111从而我们得到一个向量λ1鄣φ1+λ2鄣φ2+…+λm鄣φm

nna，（-n0，an）消去an得到n0，

12mλ1+λ2+…+λm

111

（-λ1鄣φ1-λ2鄣φ2-…-λm鄣φm0，…，0，λ1鄣φ1+λ2鄣φ2+…+λm鄣φmnnn111同理，我们可得到另外n-2个向量解：椭圆的面积为πab，其中a，b分别是椭圆上的点到原点的

y，z）=x2+y2+z2在约束条件最大距离与最小距离。于是，即求f（x，

x+y+z=0

下的最大值与最小值。

x2+y2+4z2=1

φ1=x+y+z，φ2=x2+y2+4z2-1，鄣f=2x，鄣f=2y，鄣f=2z鄣φ=1，鄣φ=1，鄣φ=1；鄣φ=2x鄣φ=2y鄣φ=8z则代如方程组得到鄣鄣2x22x=λ1+λ·鄣12鄣鄣鄣鄣2y22y=λ1+λ·鄣鄣12鄣鄣鄣x+y+z=0鄣鄣鄣2

x+y2+4z2-1=0鄣

得到（x，y，z）的解分别为（1，-1，0），（-姨姨鄣

11，0），（），（-，

姨姨f在前两个点的值都是1，在后两个点的值都是1于是得到a=1，b=1；所以，所求椭圆的面积为πab=π。

姨姨容易看出，利用方向导数法和利用拉格朗日乘数法得到的结。

［参考文献］

[1]陈纪修.数学分析[M].高等教育出版社，2000.

[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等1993.

[3]唐军强.用方向导数发求解多元函数极值[M].科2008.

[4]张筑生.数学分析新讲[M].北京大学出版社,1990.

SolutiontoExploretheExtreme

ConditionsZhangXiu-ying

whenweresolvetheproblemof：Generally，

conditionsfunction，wealwaystransformitintoanextremeproblem.Thispaperintroducestheusemultipliermethodanddirectionderivativemethod

andmakesatheconditionalextremeproblem，

betweenthesetwomethods.

Keywords:conditionsfunction；conditionsextreme；；directionderivative；gradient

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/bl7j.html