物理学中对称性问题研究

毕业设计（论文）

题 目 系 （院） 专 业 班 级 学生姓名 学 号 指导教师 职 称

物理学中对称性问题研究

物理与电子科学系

物理学 2009级1班 吴学霖 2009010597 卢振亮 讲师

二〇一三年六月十八日

独 创 声 明

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作者签名: 二〇一三年六月十八日

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作者签名:

二〇一三年六月十八日

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物理学中对称性问题研究

摘 要

从科学发展观的角度来看，自然界和现实社会中有很多关于对称性问题的例子，这些对称性的例子是自然界非常普遍存在的现象，大的到宇宙小的到原子分子，都具备不同程度的对称性问题。而且这些对称性问题在物理学中也具有普遍应用的规律，特别是电磁学中存在着许多惊人的对称性，电磁学中对称性的问题都要比普通物理其他部分多一些。我们可以利用对称性的问题使电磁学中的许多问题能更加清晰化和简单化。我们分析问题的时候运用普遍的对称性作为指引，利用高斯定理、安培环路定理和麦克斯韦方程组来解决这些简单性的问题，阐明了对称性原理在电磁学中的重要应用，举例说明了利用对称性求解电磁学问题 的简明性，因此，我们可以通过对称性的原理来解释、分析和证明问题会更加方便和准确，甚至可以根据所作出的一些预言就能够很快的被正确的证明出来。

关键词：物理学; 对称性；麦克斯韦方程组；电磁场；磁单极子；

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Symmetry problem in physics research

Abstract

from the perspective of scientific outlook on development, there are a lot of questions about symmetry in nature and the social reality of the example, the example of symmetry is very common phenomenon in nature, large of small molecules into atoms into the universe, all have different degrees of symmetry problem. And the symmetry problem also has universal application of the law in physics, particularly electromagnetism in the there are many amazing symmetry, symmetry in the electromagnetism problems more than other parts of general physics. We can take advantage of the symmetry of the problem can make a lot of problems in electromagnetism clearer and simplicity. We analyze problems when using common symmetry as a guide, using gauss theorem, the ampere loop theorem and maxwell's equations to solve the problem of the simplicity, clarified the principle of symmetry in the electromagnetism important application, illustrates the use of symmetry solving electromagnetic problems. Conciseness, so that we can be explained by the principle of symmetry, certificate of analysis and problem will be more convenient and accurate, and can even according to made some predictions could soon be proved out correctly.

Key words： physics; symmetry; Maxwell's equations; The electromagnetic field; Magnetic monopoles;

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目 录

引言 ······································································································································· 1 第一章 物理学中对称性的简介 ························································································· 2 1.1物理学中对称性的概念 ······················· 2 1.2对称性和物理学的发展 ······················· 2 1.3对称性在物理学发展中的运用 ···················· 2 第二章 物理学中电磁学的对称性 ····················································································· 5 2.1高斯定理和对称性的分析 ······················ 5 2.2安培环路定理与对称性的分析 ···················· 5 2.3麦克斯韦方程组的对称性的分析 ··················· 6 2.4镜像对称性特例 ·························· 6 第三章 关于电磁波在物理学中对称性问题的讨论 ························································ 11 3.1电磁波的预言与检验 ························ 11 3.2电磁波的性质 ··························· 11 3.3电磁场与空间对称性的计算 ····················· 11 第四章 关于麦克斯韦方程组和磁单极子 ················· 12 4.1麦克斯韦方程组 ························· 12 4.2磁单极子 ···························· 13 结论 ····································································································································· 18 参考文献 ····························································································································· 19 谢辞 ····································································································································· 20

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引 言

对称性，是指整体各部分之间的相称或对应,很久以来，对称性是人们在改变自然和认识自然过程中所产生的一种观念，在自然界物质世界的运动演化过程中，显示出各式各样的对称性[1]。在基础物理问题中，存在着广泛的对称性，如抛体运动的上升过程与下降过程的对称；地球自转与公转带来的白天、黑夜与一年四季的变化的对称；力学定律具有伽利略变换不变性的对称；晶体的点阵结构的对称；平面镜成像中物与像的对称；网络里电压和电流、阻抗和导纳的对称；正反粒子、波动性和粒子性的对称；信息论中信息输入与输出、狭义相对论中空间和时间的对称；电磁理论中电和磁的对称；描述电子在库仑场中运动的球函数等都体现了很高的对称性。此外，许多物理公式和图像都具有优美直观的对称性，如：基尔霍夫的电流方程组，用完美的对称、简洁的形式，奠定了电路网络的基础。哈密顿正则方程组也有很高的对称性，而麦克斯韦电磁方程组更显示了完美的对称——电场和磁场、时间和空间的对称性。

其次物理学中还存在着繁多的守恒定律，无论是一般的还是局部的守恒定律，都表示了自然过程的基本性质和关系的一种稳定性、相对的不变性，而守恒常常离不开对称，因为根据诺特定理：每一种对称性均对应于一个物理量的守恒定律，反之亦然旧o。运动定律的空间平移、时间平移、空间旋转的对称性分别对应着动量守恒、能量守恒、角动量守恒。而空间反演和电荷规范的对称性对应着宇称守恒定律和电荷守恒定律等。著名的数学物理学家韦尔认为：“对称是一个广阔的主题，在艺术和自然两方面都意义重大，很难找到可以论证数学智慧作用的更好的主题。”在各种物理问题的解决过程中，人们经常自觉或不自觉地使用对称性，在这些问题中，如果离开对称性，则有些求解是较为复杂的，而利用对称性来求解，就可以使复杂问题简单化。在现代物理学中，对称性更是研究现代物理前沿问题的一把钥匙，特别是在微观物理领域中，对称性已经成为研究物理问题的一种强有力的手段。

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第一章 物理学中对称性的简介

1.1物理学中对称性的概念

对称性实质是某种变化下的不变性，即通过某种变换不变，我们就说它具有某种对称性。对称性在物理学中占有十分重要的地位，并已成为认识物体形体构造及其相互作用规律的基础。例如：各向同性的固体导致它只存在两个弹性常数：物理规律在洛兰兹变换下具有不变性等等。

物理学的理论是建筑在时空对称性基础上的，即时间是均匀的，空间是各向同性的。这种时空对称性体现为：处于完全相同状态的空间各点。其物理状态和性质是相同的。对称性和守恒定律密切相关。早在1842年．Jacobi指出，体系具有空间坐标平移对称性时，其动量矩守恒：1897年，Schiliz 发现体系的时间平移不变性导致机械能守恒．这正是时空对称性与守恒定律的关系。

对称性概念通过1925年前后量子力学的革命。逐步演变成物理学的主流。人们在微观领域中找到了许多新的对称性和与其对应的守恒定律，如宇称、同位旋、CPT、SU(3)以及其它一些规范变换不变性等。对称性原理已成为人们探索微观世界运动规律的基本原理之一。对称性原理的巨大作用只需举两个例子就能说明：周期表的总结构，本质上是库仑定律各向同性的结果；反粒子(正电子、反质子、反中子等)的存在是根据洛伦兹变换的对称性从理论上预言的。除了时空对称性外，还有所谓内部对称性(变换中的时空坐标未改变)，重要的内部对称性有规范对称性。规范场(杨一密尔斯场)理论的发展，定域规范不变的要求自动地解决了自然界基本相互作用的形式，即自然界的所有基本力只有下列四种：电磁力、弱相互作用力、强相互作用力和引力，这四种力的基本方程都是由规范对称这个原则来支配的。

对称性也常常被称为不变性。关于变换的不变性分为六大类：(1)时空变换，这包括空间平移、空间转动、时间平移、时空联合变换(即洛伦兹变换)的不变性。(2)分立对称变换，即时间反演、空间反演和正反粒子变换，后者表现了正反粒子的对

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称性。(3)重子数、轻子数、代轻子数、电荷、同位旋这五个守恒定律k(4)全同粒子对称性和粒子反应中的交叉对称性。(5)规范变换不变性。(6)标度变换不变性，即白相似性。

1.2 对称性和物理学的发展

对称性思想最早产生于古希腊科学美学家毕达哥拉斯（ 约前571年———前497年）的思想中。 毕达哥拉斯认为在所有的几何图形中，圆和球是最完美的图形，而匀速圆周运动则是最完美的运动。这种认识起源于对天体的观察。毕达哥拉斯从月面明暗交界处所显露出的圆弧形，认识到月亮是球形的；从月食现象中观察到地球投射在月亮上的影子推断地球也是球形的；由此他断言所有的天体都是球形的。 亚里士多德和他的老师柏拉图对此持有相同的认识，他们同样坚持大地是球形的主张。球形是最具对称性的立体图形，是唯一能在自身所占据的空间范围内作任何方向旋转而不变的图形。而这种高度对称性的图形是世界上最美的。 因此上帝理应是按照美的原则创造世界。这种认识在科学发展过程中是一次重大的飞跃。它实际在思想上突破了绝对上下和高低的观念，为后来牛顿的万有引力理论的提出作了思想准备。 同时古希腊人还发现了五种规则立体图形。它们分别是正四面体、正六面体、正八面体、正二十面体、正十二面体: 他们认为这种对称性几何图形分别代表着火、土、气、水和以太5种元素，并企图运用这5种几何图形来解释天体的结构。

总之，高度对称性一直深受古希腊的科学哲学家们的青睐。 特别在天文学研究中圆形及其在圆形轨道上的匀速运动几乎成了开普勒之前，欧洲天文学家研究天文学的最基本的原理。 无论是欧多克斯（前409———前356年）的天球层模型，还是托勒密的“地心说”结构，乃至后来的哥白尼的“ 日心说”理论均以此为出发点。就连后来由于发现了开普勒三定律而被人们尊称为“天空立法者”的开普勒，最初仍是怀着这种对对称性形式的狂热迷恋，去建立一种基于5种规则立体图形的行星轨道之直径比的理论。虽然结果以失败而告终，但他最终建立开普勒三定律仍然深受这种认识的启发。

伽利略是和开普勒处于同时代的一位伟大的物理学家。就在开普勒建立天体运行理论的过程中，伽利略同时在批判亚里士多德错误理论的基础上，构建地面宏观物体运动的理论。他确立了科学的自由落体定律、惯性定律与相对性原理，指出力是产

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生加速度的原因，为经典力学奠定了坚实的基础。其中的相对性原理指出，在静止与匀速直线运动状态中力学定律是相同的，揭示出了力学中静止状态与匀速直线运动状态的等价性。而这种等价性就是一种不变性，也就是物理学当中的对称性。伽利略的理论是构成牛顿力学的主要基石之一。牛顿力学当中的许多守恒定律，后来发现均是由对称性推出来的结果!如空间位移下的物理定律的不变性的结果是动量守恒；空间旋转下的不变性的结果是角动量守恒??。

1.3 对称性在物理学发展中的运用

在物理学发展的道路上，对称性的身影随处可见。首先一起来看看宏观世界中的对称性。如电动力学中静电力、静磁力的平方反比定律公式的发现，就是追求与万有引力平方成反比定律相“对称”而得到的。惠更斯对发生一维碰撞、质量相等的球以弹性碰撞前后速度变换的普遍结论也是利用对称性原理来推论的。在他考虑对心碰撞时，系统具有围绕球心连线的轴对称性和相对于质心C的点对称性。根据这些对称性的考虑，利用抽象对称法的推断得出两小球碰撞后的速度v1、v2应仍在此连线上，且有 v1=一 v2，这就推导出动量守恒的结论；在研究保守系与时间反演不变性关系时，就是从对称性原理出发，通过形象对称法和数学对称法阐明了保守系的运动规律具有时间反演不变性，即在保守系里运动过程是可逆的。而根据对称关系，推导出非保守系不具有时间反演不变性，耗散过程是不可逆的；法拉第根据电流的磁效应预言了磁也能产生电这一对称现象的存在；麦克斯韦从场的观点对法拉第电磁感应现象进一步思考，产生感应电流时，一定是有了促使导体中自由电荷做定向运动的电场。因此，他认为:这个现象的实质是变化的磁场在空间产生了电场。既然变化的磁场能够在空间产生电场，那么，变化的电场能不能产生磁场?麦克斯韦确信自然界规律的统一与和谐，相信电场和磁场具有对称之美。他大胆地提出假设：变化的电场也相当于一种电流，也在空间产生磁场，即变化的电场在空间产生磁场。宣告了完整电磁场理论的建立。

再一起领略微观世界中的对称性。例如电磁学中很多定律就是利用电磁现象与力学现象的内在对称性而得出的。狄拉克曾以对单纯的数学形式的对称美的追求，在没有实验证据支持的条件下，大胆地提出了反物质假说，即正电子学说。这在当

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时曾被很多人认为是一种没有事实根据的玄想。但是狄拉克坚信自己的科学美学思想，独特地提出并坚持正电子学说．狄拉克从正能态的电子提出负能态的反粒子～ 正电子概念更是应用对称性方法的一个光辉典范。物理学史上对这一事件有详细记载．1928年1月，狄拉克在研究粒子的相对论性量子理论时，取得了重大突破，得到了新的电子波动方程一狄拉克方程：(P。一a 1P1 一a2P2一a3P3一a4 m c)ψ =0，式中P1、P2、P3为动量的三个分量。它对于动量和能量的相对论性四矢的4个分量是线性的。这个方程在数学上不仅简洁，而且优美，也能统一解释许多量子力学的实验事实。但该方程描述电子内部运动的矩阵有四列四行，而描述被观察电子的两个自旋态的矩阵只要两列两行，即方程给出的态比描述实验情况所需的态多了1倍。狄拉克接着通过研究又发现，有半的态与电子的负能态有关，因此，当时他面临抉择：是把不可观测的负能态排除出去呢?还是接受负能态，以保持方程的完美性呢?坚持对称美的狄拉克大胆的选择了后者。通过进一步的研究，他又发现占据负能态的空穴可看成是带正电荷的正能粒子。但当时知道的带正电荷的粒子只有质子，质子质量又为电子质量的1840倍，然而理论揭示正能与负能之间完全对称，这种粒子(空穴)质量应与电子质量相同。究竟是这种对称理论本身存在问题? 还是预示一种新的粒子存在，以保持这种正能、负能之间的完全对称? 对追求科学美和对称性毫不动摇的狄拉克又勇敢地选择了后者，并于1931年5月正式宣称，带正电的空穴，其质量与电子相同，电荷则与之相反，它就是电子的反粒子一正电子。1932年美国物理学家安德逊在宇宙射线中发现了正电子，使狄拉克的理论从数学形式的美终于变成了物质世界的真。狄拉克还从对称思想出发，发展了薛定谔的波函数理论。在迅速掌握了薛定谔使用的本征值矢技巧以后，狄拉克运用娴熟的数学技巧处理波函数．他用对称波函数描述玻色子服从玻色一爱因斯坦统计法则；用反对称波函数描述费米子服从费米一狄拉克统计法则。这样，狄拉克循着对称的思路，发现了微观粒子的统计类型与波函对称性质问的内在联系。

随着科学的发展，表述对称理论的主要数学工具—— 群表示论也已成了近代数学中的一个重要分支。1890年著名俄国结晶学家及几何学家费得洛夫用群论方法解决了结晶学的基本任务之即规则的空间点系的分类问题。晶体的对称是多种多样的，总共有多少种呢?在此以前无人知晓，经用群论推算，总共有230种．具有对称性的晶体就是经过某些对称操作后能完全回复原状的晶体。晶体的对称操作有旋转、反

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映、象转、倒反、旋转倒反5种，其中前两种是基本的，后3种可以由前两种联合运用而得到．旋转所依赖的轴，称为旋转轴或对称轴，反映所依赖的面叫镜面或对称面。倒反所依赖的点叫对称中心。旋转指的是一个晶体如绕某一轴旋转360°／n，l(n=1，2，3，4，6)后能回复原状，则我们称此晶体具有咒次对称轴，如立方晶体具有4个3次对称轴。反映指的是一个晶体如沿通过其中心的某一平面进行反映后所得晶体和原来的完全一样，即该平面的一方为另一方的像，则此晶体具有镜面即具有反映面对称。可以证明，有32种不同的晶体宏观对称操作，它们构成了所谓晶体点群。全面分析晶体结构的对称性，还必须考虑平移．用来概括晶体结构全部对称操作(转动加平移)所构成的群，叫空间群。在理论上，可严格证明空间群有230种，即所有晶体结构就其对称性而言共有230种类型。由此，人们对结晶对称有了更全面、深刻的认识。数学对称理论反映了自然界形形色色的对称规律。

内在对称性指的是自然规律内在质的对称，它反映了理论内在的和谐与统一程度。爱因斯坦在创立相对论的过程中，就认为自然科学的理论不仅要求一些基本概念或基本方程具有形式上的对称性，而且要求理论本身具有内在对称性。实际上，由于对称性意味着不变性，进一步发展为意味着经过某种对称变换后物理规律的不变性，这就意味着守恒．常常一种对称性意味着对应一个守恒定律，因此，早在1842年，雅可比就指出，对于个能够用拉氏量L来描述的体系，L在体系平移下的不变性将导致动量守恒；在空间转动下的不变性将导致角动量守恒。在粒子物理中，利用对称理论与方法，把粒子按多重态分类，导致新粒子的发现，引进了夸克。

德布罗意运用对称添补法，预言了物质波的存在；爱因斯坦运用对称平衡法创立了狭义相对论；洛伦兹变换的不变性导致了统计力学和量子力学，也是运用数学对称法的结果。从以上事例可看出，物理学史上对称性在物理学中的应用可以说数不胜数。在近代粒子物理理论中，对称理论与方法居于主导地位，粒子物理中一些最新的进展，如粒子分类、弱电统一理论、超对称理论、对称破缺和质量起源等都是考虑到对称性，运用描述对称性的工具一群论来进行的。对称性在现代物理理论中被作为第一性原理来运用。

第二章 物理学中电磁学的对称性

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2.1高斯定理和对称性的分析

求如图2所示半径为R，电荷线密度为λ的无限长均匀带电圆柱面在柱内外产生的电场强度。

解：因电荷柱对称，电场柱对称： E沿径向，且距轴线r相等处E大小相等。

过场点作与带电柱面同轴的柱形高斯面S，(见图1)

图1

其高为h，于是有：

∮LΕ?d S=(∫上底+∫下底+∫侧面)Ε?d S

=O+0+2πr h E=∑qi n t /ε0

当r

∑qi n t=0

E=0 当r>R

∑qi n t=λh E=λ/(2πε0 r)

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方向垂直轴线，沿径向

2.2安培环路定理与对称性的分析

求如图3所示总匝数为Ⅳ，电流为，的密绕圆螺绕环的磁场分布

解：因是载流密绕螺绕环，磁场轴对称。距轴线等r处磁场大小相等，方向沿切线。

作同轴圆形环路L(见图2)，根据安培环路定理有:

图2

∮LΒ?d L=μ0ΣIi n t 2πr B=μ0ΣIi n t

L环在管内ΣIi n t=NI 环管内磁场B=μ0NI／(2πr) L环在管内ΣIi n t=0 环管外磁场B=0

有时，用高斯定理或安培环路定理时也可能遇到电荷、电流体系对称性“残缺”的情况，对这一类问题我们完全可以用“补偿法来”操作，这样仍可归结到对称性问

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题的求解当中，有关这方面的解法，在电磁学中有典型的应用，于此不一一阐述。 2.3麦克斯韦方程组的对称性的分析

在电磁学中，由亥姆霍兹定理易知，场源的分布确定场的分布，而场的性质是由场的通量、环流即高斯定理、安培环路定理描述，源的性质由源的散度、旋度描述，场矢量由场源唯一确定。根据对称性原理，当场源具有某种对称性时，场的分布也具有相同的对称性。麦克斯韦方程组是电磁学的核心和灵魂，其所概括的电磁学基本规律，也必具有对称性。下面，将电磁学中电场与磁场的基本性质及电场与磁场的相互关系作一个系统的总结，从而对麦克斯韦方程组的对称性有一个更为直观的r解和掌握，更好地理解对称性原理在电磁学中的应用。

从上面的揽要可见，麦克斯韦方程组高度地概况了电场、磁场的基本性质，以及电场和磁场之间相互激励的普遍规律，方程组简洁、优美，具有融洽的对称性。如果能引入“磁荷”作为激励磁场的源，则对称性得到了完美的体现。关于“磁荷”的概念，读者可参阅相关文献。 2.4镜像对称性特例

例1 如图1所示为一块很大的接地导体板，在与导体板相距为d的A处放有带电量为一q的点电何。

（1）试求板上感应电荷在导体内P点产生的电场强度；

（2）试求感应电荷在导体外P 点产生的电场强度(P与P 点对导体板右表面是对称的)；

（3）在本题情形，试分析证明导体表面附近的电场强度的方向与导体表面垂直； （4）试求导体上的感应电荷对点电荷一q的作用力；

（5）若在切断导体板与地的连线后，再将+Q电荷置于导体板上，试说明这部分电荷在导体板上如何分布可达到静电平衡(略去边缘效应)。

图3

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图3

解析 在讨论一个点电荷受到面电荷(如导体表面的感应电荷)的作用时，根据“镜像法”可以设想一个“像电荷”，并使它的电场可以代替面电荷的电场，从而把问题大大简化。

（1）导体板静电平衡后有 E感=E点，且方向相反，因此板上感应电荷在导体内P点产生的场强为Ep=k q/r2，其中r为AP间距离，方向沿AP，如图4所示。

图4

（2）因为导体接地，感应电荷分布在右表面，感应电荷在P点和Pˊ 点的电场具有对称性，因此有EPˊ = k q/r2，方向如图4所示。

（3）考察导体板在表面两侧很靠近表面的两点P 和Pˊ 。如前述分析，在导体外P1 ˊ，点感应电荷产生的场强大小为E i Pi ˊ= k q/r 。点电荷q在该点产生的场强大小也是Eq Pˊ1 = k q/r2 。 它们的方向如图5所示。

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图5

从图3可以看出，P ˊ，点的场强为上述两个场强的矢量和，即与导体表面垂直。

(1)重复(2)的分析可知，感应电荷在一q所在处A点的场强为E =k q/（2d），i A 方向垂直于导体板指向右方，该场作用于点电荷一q的电场力为F=-q E i A =k q2/4d2，负号表示力的方向垂直于导体板指向左方。

(2)切断接地线后，导体板上原来的感应电荷仍保持原来的分布，导体内场强为零．在此情况下再将+Q电荷加在导体板上，只要新增加的电荷在导体内部各处的场强为零，即可保持静电平衡，我们知道电荷均匀分布在导体板的两侧表面时，上述条件即可满足。显然这时+Q将均匀分布在导体板的两侧面上，才能保证板内场强为零，实现静电平衡。

第三章 关于电磁波在物理学中对称性问题的讨论

3.1电磁波的预言和检验

1864年2月8日，Maxwell在英国皇家学会宣读了他的论文《电磁学的动力学基础》，导出了了电磁波的动波方程，得出电磁波的电磁波的传播速度等于光速，同时得出结论：光是电磁波的一种形式。揭示了光现象和电磁现象的联系。在这篇论文中用醒目的斜体字写到：“我们不可避免的推论，光是媒介中起源于电磁现象的横波”。

值得一提的是，Maxwell在论文中一直运用力学模型。他本人清醒的认识到它的力学模型是暂时的，他仅适用于显示已知的电磁现象之间的真实的力学联系，不是最终理论。事实上，电磁学真是借助于这个力学模型而诞生的。

1885年德国物理学家赫兹用实验验证了电磁波的存在。 3.2电磁波的性质

电磁波频率低时，主要借由有形的导电体才能传递。原因是在低频的电振荡中，磁电之间的相互变化比较缓慢，其能量几乎全部返回原电路而没有能量辐射出去；电磁波频率高时即可以在自由空间内传递，也可以束缚在有形的导电体内传递。在

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自由空间内传递的原因是在高频率的电振荡中，磁电互变甚快，能量不可能全部返回原振荡电路，于是电能、磁能随着电场与磁场的周期变化以电磁波的形式向空间传播出去，不需要介质也能向外传递能量，这就是一种辐射。举例来说，太阳与地球之间的距离非常遥远，但在户外时，我们仍然能感受到和煦阳光的光与热，这就好比是“电磁辐射借由辐射现象传递能量”的原理一样。电磁波为横波。电磁波的磁场、电场及其行进方向三者互相垂直。振幅沿传播方向的垂直方向作周期性交变，其强度与距离的平方成反比，波本身带动能量，任何位置之能量功率与振幅的平方成正比。其速度等于光速c（3×10^8m/s）。在空间传播的电磁波，距离最近的电场（磁场）强度方向相同，其量值最大两点之间的距离，就是电磁波的波长λ，电磁每秒钟变动的次数便是频率f。三者之间的关系可通过公式c=λf。

电磁波的传播不需要介质，同频率的电磁波，在不同介质中的速度不同。不同频率的电磁波，在同一种介质中传播时，频率越大折射率越大，速度越小。且电磁波只有在同种均匀介质中才能沿直线传播，若同一种介质是不均匀的，电磁波在其中的折射率是不一样的，在这样的介质中是沿曲线传播的。通过不同介质时，会发生折射、反射、绕射、散射及吸收等等。电磁波的传播有沿地面传播的地面波，还有从空中传播的空中波以及天波。波长越长其衰减也越少，电磁波的波长越长也越容易绕过障碍物继续传播。 机械波与电磁波都能发生折射、反射、衍射、干涉，因为所有的波都具有波动性。衍射属于粒子性；折射、反射 、干涉为波动性。具体性质如下：

（1）电磁波是衡波，因为k⊥E,k⊥H。

（2）电场强度于磁场相互垂直，且E,H ，k 三个矢量构成一个右手螺旋系。 （3）E和H的幅度成比例

（4）传播速度为v=ω/Κ=c/（με）1/2， v=c/n 图形如下：

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3.3电磁场[2]与空间对称性的计算

首先来看，在无源空间内，麦氏方程组为：

如果对场量作如下的对偶变换

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（3.1）

（3.2）

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（3.1）式就变为

（3.3）

其中，Eˊ，Bˊ是E，B的对偶场。

结果表明，对无源空间的麦氏方程组进行对偶变换，只不过改变方程的次序而已。这就表示在无源空间电磁场的分布符合空间对称性的要求。

在有源空间，麦氏方程组为

同样用(2．2)进行变换，结果发现在有源空间，描述电磁场的麦氏方程不存在对偶性。这是由于空间只存在电荷，而不存在磁荷，导致方程组中源的不对称，从而引起方程组对偶性的破坏。如果假定空间存在磁荷(磁单极)，令ρm ， j m，为其磁荷密度和磁流密度，则麦氏方程组可改写为

（3.4）

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（3.5）式中第二个方程中 j m。前的负号，是由磁荷守恒所要求的。对此方程求散度，并联系第三个方程，得

（3.6）式是磁荷守恒的连续性方程。

此时再利用(3.2)式对其进行变换，同时对源也作如下变换 其中

(3.8)

（3.5）式就变换为

（3.7）

（3.6）

(3.5)

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此时Eˊ，Bˊ与E，B存在对偶关系。

第四章 关于麦克斯韦方程组和磁单极子

4.1麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组（英语：Maxwell's equations），是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程。它由四个方程组成：描述电荷如何产生电场的高斯定律、论述磁单极子不存在的高斯磁定律、描述电流和时变电场怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律、描述时变磁场如何产生电场的法拉第感应定律。

麦克斯韦方程组的积分形式：

这是1873年前后，麦克斯韦提出的表述电磁场普遍规律的四个方程。其中：（1）描述了电场的性质。在一般情况下，电场可以是库仑电场也可以是变化磁场激发的感应电场，而感应电场是涡旋场，它的电位移线是闭合的，对封闭曲面的通量无贡

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献。（2）描述了磁场的性质。磁场可以由传导电流激发，也可以由变化电场的位移电流所激发，它们的磁场都是涡旋场，磁感应线都是闭合线，对封闭曲面的通量无贡献。（3）描述了变化的磁场激发电场的规律。（4）描述了变化的电场激发磁场的规律。变化场与稳恒场的关系：

当

时，方程组就还原为静电场和稳恒磁场的方程：

在没有场源的自由空间，即q=0, I=0，方程组就成为如下形式：

无场源的自由空间中麦克斯韦方程组

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麦克斯韦方程组的积分形式反映了空间某区域的电磁场量(D、E、B、H)和场源(电荷q、电流I)之间的关系。

4.1.1 微分形式

麦克斯韦方程组微分形式：在电磁场的实际应用中，经常要知道空间逐点的电磁场量和电荷、电流之间的关系。从数学形式上，就是将麦克斯韦方程组的积分形式化为微分形式。利用矢量分析方法，可得：

麦克斯韦方程组微分形式

注意：(1)在不同的惯性参照系中，麦克斯韦方程有同样的形式。

(2) 应用麦克斯韦方程组解决实际问题，还要考虑介质对电磁场的影响。例如在各向同性介质中，电磁场量与介质特性量有下列关系：

在非均匀介质中，还要考虑电磁场量在界面上的边值关系。在利用t=0时场量的

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初值条件，原则上可以求出任一时刻空间任一点的电磁场，即E(x,y,z,t)和B(x,y,z,t)。

麦克斯韦方程组微分形式（高斯单位制）

麦克斯韦方程组微分形式（高斯单位制）

麦克斯韦方程组 Maxwell's equations

方程组的微分形式，通常称为麦克斯韦方程。 在麦克斯韦方程组中，电场和磁

场已经成为一个不可分割的整体。该方程组系统而完整地概括了电磁场的基本规律，并预言了电磁波的存在。

麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流假说的核心思想是：变化的磁场可以激发涡旋电场，变化的电场可以激发涡旋磁场；电场和磁场不是彼此孤立的，它们相互联系、相互激发组成一个统一的电磁场。麦克斯韦进一步将电场和磁场的所有规律综合起来，建立了完整的电磁场理论体系。这个电磁场理论体系的核心就是麦克斯

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韦方程组。

4.1.2 复数形式

对于正弦时变场，可以使用复矢量将电磁场定律表示为复数形式。

在复数形式的电磁场定律中，由于复数场量和源量都只是空间位置的函数，在求解时，不必再考虑它们与时间的依赖关系。因此，对讨论正弦时变场来说面采用复数形式的电磁场定律是较为方便的。 4.2磁单极子

磁单极子是理论物理学弦理论中指一些仅带有N极或S极单一磁极的磁性物质，它们的磁感线分布类似于点电荷的电场线分布。这种物质的存在性在科学界时有纷争，截至2012年尚未发现这种物体。可以说是21世纪物理学界重要的研究主题之一。假设将磁棒一切为二，则不会发生一半是指北极，另一半是指南极的状况，而会是切开的每一个部分都有其自己的指北极与指南极。如果继续截下去，每段磁棒总是会有相应的南北两极。而磁单极子，如果真的存在的话，则是完全不同的物体。它是一个完全独立的南极，完全没有跟任何北极链接，或者反之亦然。

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结 论

通过对高斯定理、安培环路定理和麦克斯韦方程组的分析以及对电磁场的计算，得出物理学中对称性问题研究的简洁性，也是解决物理难题的一种方式。就其本质而言，综观电磁学的理论体系，在分析具有对称分布的电荷、电流的问题中，合理的应用对称性原理进行分析，往往可以使得分析过程简化而明晰，有助于学生对电磁学基本原理的理解和学习，同时可以避免使用场强叠加原理分析而带来的复杂的积分运算。在电磁学教学中，有意识的把握这种对称性，重视引导学生从对称性的角度思考问题对提高教学效果、培养学生的抽象思维能力有积极的作用。

参考文献

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[12]Bradner, Hugh (1941) Electron-optical studies of the photoelectric effect. Dissertation (Ph.D.), California Institute of Technology

谢 辞

本文自始至终都是在导师卢振亮讲师的悉心指导下完成的。卢老师广博的专业知识、严谨的工作和科研作风、精益求精的治学态度，以及正直的为人一直给予我潜移默化的影响，同时老师渊博的知识和平易近人的态度令我深为佩服，在老师的指导下，我不仅学到了丰富的专业知识，而且获得了宝贵的处世之道，使我无论在科研上还是生活上都受益非浅。在此，本人向卢老师表示衷心的感谢。在我的学习和生活中还得到了很多其他老师的教诲和同学的帮助。感谢物理系老师在课题的进行中给予的帮助和建议。此外，还要感谢物理系创新实验室为论文的撰写提供的支持。

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